1、2 等差数列2.1 等差数列2.1.1 等差数列的概念学习目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单问题 2熟悉等差数列通项公式的推导过程，掌握等差数列的通项公式的推导方法 课堂互动讲练 知能优化训练 2.1.1等差数列的概念课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1如果数列an的_与_之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列an的通项公式 2从函数的观点看，数列的表示方法有_，_，_第n项an序号n列表法图像法通项公式法1等差数列的概念 如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个_叫做等差数列的公差，通常
2、用字母_表示 2等差数列的通项公式 若an是首项为a1，公差为d的等差数列，则an的通项公式为_.知新益能 第二项同一个常数常数dana1(n1)d问题探究 1等差数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“差是同一个常数”这两点？提示：通过列举反例来分析我们知道一个数列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2a1514常数，a3a2352常数，a4a3734常数，差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心2求等差数列的通项公式除课本的归纳法外,你还知道哪些方法？提示：
3、除课本上用归纳法得到通项公式外，还有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要注意体会并逐步应用 累加法 因为an为等差数列，则有 anan1d，an1an2d，an2an3d，a2a1d.将以上各等式相加，得ana1(n1)d.所以，ana1(n1)d.迭代法 an是等差数列，则有anan1dan2ddan22dan3d2dan33da1(n1)d，ana1(n1)d.课堂互动讲练 等差数列的基本运算 考点突破 等差数列an的通项公式ana1(n1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知
4、数的过程可称为“知三求一”有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值(2009年高考安徽卷)已知an为等差数列,a1a3a5105，a2a4a699，则a20等于()A1 B1 C3 D7【思路点拨】先列方程组求出等差数列的基本量a1和d，再求a20.例1【解析】由题意可得3a16d105，3a19d99，即a12d35，a13d33，解得a139d2，所以 an392(n1)412n，故 a20412201，故选 B.【答案】B【名师点评】在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化
5、成有关a1、d的关系式列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量互动探究 在本例中，若条件改为“已知a511，an1，d2”，如何求n?解：由 a511，an1，得a14d11a1n1d1,a14211a1n121,解得 n10.判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义利用an1and(d为常数，n1)或anan1d(d为常数，n2)等差数列的判定或证明 判断下列数列是否为等差数列(1)an3n2；(2)ann2n.【思路点拨】利用等差数列的定义，即判断an1an(nN)是否为同一个常数例2【解】(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN)由n的任意性知，这个数列为等差
6、数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是同一个常数，所以这个数列不是等差数列【名师点评】利用定义法判断时，关键的是用an1an得到的结论看是否是一个与n无关的常数，如果是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列在应用等差数列的通项公式时要注意方程思想的应用，其最终结果一般写成n的一次函数形式；另外，等差数列的变形为aman(mn)d(m，nN)，应注意掌握 通项公式的灵活应用 例3在数列an中，a13，a1021，且通项公式是项数的一次函数(1)求数列an的通项公式，并求a2011；(2)若bna2n，求数列bn的通项公式【思路点拨】设出通项公式的一般形式，求出待定系数即可【
7、解】(1)设 anAnB(A0)，由已知得AB310AB21，解得A2B1.an2n1.a20112011AB2011214023.(2)bna2n2(2n)14n1.【误区警示】本题易出现不经证明而直接利用an是等差数列由已知条件求出公差d，进而求通项公式的错误，出错的原因在于曲解了题意 自我挑战 已知等差数列an的首项为a1，公差为d且a510，a1231，求数列的通项公式.解：法一：a5a14d，a12a111d，a14d10a111d31，解得a12d3，ana1(n1)d2(n1)33n5.法二：da12a5125 311073，ana5(n5)d10(n5)33n5.方法感悟 1关
8、于等差数列的通项公式的理解 等差数列的通项公式为ana1(n1)d，要理解公式中an，a1，n，d的含义并掌握以下几点:(1)确定a1和d是确定通项的一般方法(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解第四个量，即知三求一(3)等差数列与一次函数的异同点等差数列 一次函数 解析式 anknb(nN)f(x)kxb(k0)不同点 定义域为N，图像是一系列均匀分布的孤立的点(在同一直线上)定义域为R，图像为一条直线 相同点 通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次等式，都是最简单的、也是最基本的(数列和函数)2.等差数列的判定(1)判定一个数列为等差数列的常用方法有：定义法：an1and(常数)(nN)an为等差数列 通项法：an为n的一次函数an为等差数列.(2)判定一个数列不是等差数列只须证明2a2a1a3.
