1、宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60）1. 集合，集合，全集为，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】图中阴影部分表示的集合是，利用交集和补集的定义求解即可【详解】集合，集合，图中阴影部分表示的集合是故选：A2. 最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再
2、根据向量数量积公式转化，并计算的值.【详解】由题意可知，所以根据等面积转化可知，解得： ，.故选：A【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.3. 若，则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】已知，解得 将正切值代入得到.故答案为A.4. 若函数f（x）alnx（aR）与函数g（x）在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（ ）A. 4B. C. D. e【答案】C【解析】【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得，设切点横坐标为t，解得.故选：C.【点睛】本题考查导数的
3、几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.5. 知为 的三个内角 的对边，向量 若 ，且 ，则角的大小分别为（ ） A B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由可得即所以角，因为所以可得6. 已知向量与的夹角为，当时，实数为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值.【详解】向量与的夹角为，由知，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.7. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性排除C，当 时，由，可排除A,B，
4、从而可选出正确答案.【详解】解：由，可得 图像关于 轴对称，排除C，当 时，排除A，由 排除B，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除.8. 已知2x3，f(m)6，则m等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，求出，进而可得，由此可求出的值【详解】解：设，则，所以，所以，解得故选：A【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题9. 已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为
5、数列的公差为2的等差数列所以，因为，成等比数列所以，即，解得故答案选考点：1等差数列的通项公式；2等比数列中项10. 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由图可知，设第个图中正方形的个数为，则，结合累加法可求出，令，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结
6、合边长规律，即第个图中最小正方形边长为，从而可求出答案.【详解】解：设第个图中正方形的个数为，则由图可知 则 ，将个式子相加可得 ，所以，当时，所以.令，解得.由题意知，第一个图中最小正方形边长为 ，第二个图中最小正方形边长为，则第个图中最小正方形边长为，则.故选:B.【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和.11. 设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A. 函
7、数的最小正周期是B. 图象关于点对称C. 图象向右平移个单位后关于原点对称D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项的正误；利用代入检验法可判断B选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判断C选项的正误；由可求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误；对于B选项，所以，图象关于点对称，B选项正确；对于C选项，将图象向右平移个单位后所得函数的解析式为，函数不是奇函数，C选项错误；对于D选项，当时，所以，函数在区间上不单调，D选项错误.故选：B.【点睛】对于正弦型函数在区间上单调性的判断
8、，一般先由计算出的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.12. 数列满足，则数列的前40项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列的前40项和.【详解】解：当 取奇数时，则 ，将式子相加得 .故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二、填空题（本大题共4小题，共20）13. 若平面向量与的夹角是，且，则等于_【答案】【解析】【分析】由已知可知与共线反向，令，然后由和列方程求解即可.【详解】解：因为平面向量与
9、的夹角是，所以设，即，因为，所以，得，因为，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查共线向量，向量的模，向量的坐标运算，属于基础题.14. 数列的前项和满足，则数列的通项公式_【答案】【解析】，故答案为15. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数，则的表达式为_【答案】【解析】，向右平移个单位，故答案为16. 在中，、所对的边分别为、，已知三个内角度数之比，那么三边长之比等于_【答案】【解析】，故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70）17. 已知平面向量，（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得实数
10、的值；（2）由平面向量共线的坐标表示求得的值，可求得的坐标，由此可求得.【详解】（1），且，则，整理得，解得或；（2），且，即，解得或.若，则，则，此时；若，则，则，此时.综上所述，或.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，同时也考查了利用平面向量共线的坐标表示求参数以及利用坐标计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.18. 等差数列满足，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用等比数列前项和公式即可求出.【详解】解：()是等差数列，解出，.()，是等比数
11、列，b1=419. 为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形区域为生活区，为横穿村庄的一条道路，区域为休闲公园，的外接圆直径为.（1）求道路的长；（2）该村准备沿休闲公园边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可求出，由余弦定理可知，从而可求.（2）结合正弦定理可求三角形的周长为，结合辅助角公式可化简为，进而可求周长的最大值.【详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为 ，由正弦定理可知，即，由余弦定理知，则，解得，.（2）解：由题意知，在中，设周长为，其外接圆半径为，
12、则，则 ,，则 ，则当时，周长最大，为.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.20. 已知函数，是的一个极值点，求：（1）实数a的值；（2）在区间上的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值2，最小值是【解析】【分析】（1）根据解得；（2）令，得，列出当x变化时，的变化情况表，根据表格可得答案.【详解】（1）因为，在处有极值，所以，即，所以
13、经检验时，在时取得极小值，所以.（2）由（1）知，所以，令，得，当x变化时，的变化情况如下表：x02300单调递增2单调递减单调递增2由上表可知在区间上的最大值是2，最小值是【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时
14、，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.【解析】【分析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.【详解】（1）当时，；当时，（2）当时，；当时，取最大值万元；当时， ，当且仅当时，取等号综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.22. 已知函数.（）当时，求在上的最值；（）若对一切，
15、不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（）最大值1，最小值；（）.【解析】【分析】（）当时， 求得函数的导数，得到函数的单调性和最值，即可求解；（）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对分类讨论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.【详解】（）由函数，则，当时， 可得令，即，解得；令，即，解得；所以在递增，在递减，所以，又，所以，所以在上最大值为1，最小值为.（）由函数，则，解得，又由，因为，则，可得，所以，（i）当时，所以在递增，所以恒成立；（ii）当时，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，使得，所以当时，；当是，所以在单调递减，在单调递增，又因为，所以，所以，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题
