1、第九章 解析几何第七节 抛物线栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点题型既有小巧灵活的选择题、填空题，又有综合性较强的解答题.1.数学运算2.直观想象 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1抛物线的定义(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离 1 _的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 2 _(2
2、)其数学表达式：M|MF|d(d 为点 M 到准线 l 的距离)相等准线2抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0 x0焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下常用结论1抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0 的距离|PF|x0p2，也称为抛物线的焦半径2y2ax(a0)的焦点坐标为a4，0，准线方程为
3、 xa4.3设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p 2psin2(为弦 AB 所在直线的倾斜角)(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(3)
4、抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 Fp2，0 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p24，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()解析：(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线(2)方程 yax2(a0)可化为 x21ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是 y 14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 21P72T4 改编)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1
5、，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|PQ|_解析：抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.答案：83(选修 21P72T1 改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_解析：设抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0)将 P(2，4)代入，分别得方程为 y28x 或 x2y.答案：y28x 或 x2y三、易错自纠4设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离为_解析：如图所示，抛物线的准线 l
6、的方程为 x2，F 是抛物线的焦点，过点 P 作 PAy 轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|426，所以点 P 到焦点的距离|PF|PB|6.答案：65已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是_解析：由已知得，双曲线的焦点为(2，0)，(2，0)设抛物线方程为 y22px(p0)，则p2 2，所以 p2 2，所以抛物线 C 的方程为 y24 2x.答案：y24 2x6设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线
7、有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_解析：由题意得 Q 为(2，0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，当 k0 时，满足题意；当 k0 时，解得1k1 且 k0.综可知，1k1.答案：1，1课 堂 考 点 突 破2考点 抛物线的标准方程及其性质|题组突破|1(2019 年全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3C4 D8解析：选 D 依题意得p2 3pp，得 p8，故选 D.2
8、(2019 届哈尔滨模拟)过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212xBy212xCx212yDx212y解析：选 D 由抛物线的定义知，过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹是以点 F(0，3)为焦点，直线 y3 为准线的抛物线，故其方程为 x212y.3以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交抛物线 C 于 A，B 两点，交抛物线 C 的准线于D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则抛物线 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：选 B 由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取
9、 A4p，2 2，Dp2，5，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得16p28p24 5，得 p4，故选 B.4(2019 届东北四市模拟)若点 P 为抛物线 y2x2 上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为_解析：由题意知 x212y，则 F0，18，设 P(x0，2x20)，则|PF|x202x201824x4012x20 1642x2018，所以当 x200 时，|PF|min18.答案：185(2019 届沈阳质量检测)已知正三角形 AOB(O 为坐标原点)的顶点 A，B 在抛物线y23x 上，则AOB 的边长是_解析：如图，设AOB 的边长为 a，则 A32 a，12a
10、，因为点A 在抛物线 y23x 上，所以14a23 32 a，所以 a6 3.答案：6 3名师点津(1)求抛物线的标准方程的方法先定位：根据焦点或准线的位置；再定形：即根据条件求 p.(2)抛物线性质的应用技巧利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算考点一 抛物线的定义及其应用【例 1】(1)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线MF 的斜率为()A 33B34C1 D 3(2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若 B(3，2)，则|PB|PF|的最
11、小值为_解析(1)设 M(x，y)，由题意知 Fp2，0，由抛物线的定义，可知 xp22p，故 x3p2，由 y22p3p2，得 y 3p.当 M3p2，3p 时，kMF 3p03p2 p2 3，当 M3p2，3p时，kMF 3p03p2 p2 3，故 kMF 3.故选 D.(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.答案(1)D(2)4|母题探究|1(变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3，4)，试求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点 B(3，4)在抛物线的
12、外部因为|PB|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，所以|PB|PF|BF|4222 1642 5，即|PB|PF|的最小值为 2 5.2(变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(0，3)，试求|PB|PF|的最小值解：抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，求点 P 到点 B(0，3)的距离与点 P 到焦点 F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点 B(0，3)的距离，因此所求的最小值等于1232 10.名师点津 抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想
13、到准线”(2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x|p2或|PF|y|p2.|跟踪训练|1已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，且|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为()A.34B1C.54D.74解析：选 C 如图所示，设抛物线的准线为 l，AB 的中点为M，作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，MM1l 于 M1，由抛物线的定义知 p12，|AA1|BB1|AF|BF|3，则点 M 到 y 轴的距离为|MM1|p212(|AA1|BB1|)1454.故选 C.2(2019 届沈阳市质量监测)已知抛物线 y26
14、x 上一点 M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点 M 到坐标原点的距离为_解析：由 y26x，知 p3，由抛物线定义得，x1p292，得 x13.代入抛物线方程得，y2118，则|MO|x21y213 3(O 为坐标原点)答案：3 3考点二 直线与抛物线的位置关系 命题角度一 直线与抛物线的公共点(交点)问题【例 2】在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交抛物线 C 于点 H.(1)求|OH|ON|；(2)除 H 以外，直线 MH 与抛物线 C 是否有其他公共点？说
15、明理由解(1)如图，由已知得，M(0，t)，Pt22p，t，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Nt2p，t，故直线 ON 的方程为 yptx，将其代入 y22px，整理得 px22t2x0，解得 x10，x22t2p，因此 H2t2p，2t.所以 N 为 OH 的中点，即|OH|ON|2.(2)直线 MH 与抛物线 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytp2tx，即 x2tp(yt)代入 y22px，得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与抛物线 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与抛物线 C 没有其他公共点命题角度二
16、与抛物线弦长有关的问题【例 3】已知抛物线 C：x22py(p0)和定点 M(0，1)，设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线交点为 N.(1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值；(2)若ABN 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程解(1)由题意可设 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 AB 的方程代入抛物线 C，得x22pkx2p0，显然方程有两不等实根，则 x1x22pk，x1x22p.又 x22py 可化为 y 12px2，则 yxp，点 N 在以 AB 为直径的圆上，则 ANBN.A，B 处的切线斜率乘积
17、为x1x2p2 2p1，则有 p2.(2)由(1)可设切线 AN 为 yx1pxb，又切点 A 在抛物线 yx22p上，y1x212p，bx212px21px212p，AN：yx1pxx212p.同理 BN：yx2pxx222p.又N 在 AN 和 BN 上，yx1pxx212p，yx2pxx222p，解得 Nx1x22，x1x22p.N(pk，1)又|AB|1k2|x2x1|1k2 4p2k28p，点 N 到直线 AB 的距离 d|kxN1yN|1k2|pk22|1k2，SABN12|AB|dp（pk22）32 2p，2 2p4，p2，故抛物线 C 的方程为 x24y.名师点津 1直线与抛物
18、线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解|跟踪训练|3(一题多解)(2018 年全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为23的直线与抛物线 C 交于 M，N 两点，则FM FN()A5 B6C7 D8解析：选 D 解法一：过点(2，0)且斜率为23的直
19、线的方程为 y23(x2)，由y23（x2），y24x，得 x25x40，解得 x1 或 x4，所以x1，y2或x4，y4.不妨设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)，所以FM(0，2)，FN(3，4)，所以FM FN8.故选 D.解法二：过点(2，0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)，由y23（x2），y24x，得x25x40，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y10，y20，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x24.易知 F(1，0)，所以FM(x11，y1)，FN(x21，y2)，所以FM FN(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)14 x
20、1x245188.故选 D.4设 A，B 为曲线 C：yx24上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，曲线 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1x214，y2x224，x1x24，于是直线 AB 的斜率 ky1y2x1x2x1x241.(2)由 yx24，得 yx2.设 M(x3，y3)，由(1)可知x321，解得 x32，于是 M(2，1)设直线 AB 的方程为 yxm，故线段 AB 的中点为 N(2，2m)，|MN|m1|.
21、将 yxm 代入 yx24，得 x24x4m0.当 16(m1)0，即 m1 时，x1，222 m1.从而|AB|2|x1x2|4 2（m1）.由题意知|AB|2|MN|，即 4 2（m1）2(m1)，解得 m7.所以直线 AB 的方程为 yx7.考点 抛物线的实际应用【例】已知探照灯的轴截面是抛物线 y2x，如图所示表示平行于 x 轴的光线于抛物线上的点 P，Q 处的反射情况，设点 P 的纵坐标为a(a0)，则 a 取何值时，从入射点 P 到反射点 Q 的光线的路程最短？解 由抛物线的光学性质，知光线 PQ 必过抛物线的焦点 F14，0.设 P 点的坐标为(a2，a)，则直线 PQ 的方程为
22、 yaa214x14，即 4ax(4a21)ya0，与 y2x 联立，消去 x，得 4ay2(4a21)ya0，解得 y 14a或 ya(舍去)，所以 Q116a2，14a.根据抛物线的定义得|PQ|PF|FQ|a2 116a2122a2 116a2121，当且仅当 a 14a，即 a12时等号成立所以当 a12时，从入射点 P 到反射点 Q 的光线的路程 PQ 最短名师点津 从抛物线的焦点处发出的光线照到抛物线上，经反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的光线照到抛物线上，经反射后通过焦点，利用这一光学性质建立路程函数|跟踪训练|如图所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m水位下降1 m 后，水面宽_m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)，则 A(2，2)将其坐标代入 x22py，得 p1.所以 x22y.当水面下降 1 m，得 D(x0，3)(x00)，将其坐标代入 x22y，得 x206，所以 x0 6，所以水面宽|CD|2 6 m 答案：2 6点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
