1、专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识模型一、A字形（手拉手）及其旋转模型二、K字型及其旋转【例1】（2019洛阳二模）如图 1，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC=4，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ，BD，EC 所在直线相交所成的锐角为 （1）问题发现当 =0时，=，=（2）拓展探究 试判断：当0360时，和的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）在ADE 旋转过程中，当 DEAC 时，直接写出此时CBE 的面积图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AC=4，CE=AE=2，BD
2、=AD=2，=，=A=45，（2）无变化，理由如下：延长CE交BD于F，ABC、ADE是等腰直角三角形，DAE=BAC=45，DAB=CAE，ABDACE，,ABD=ACE，CFB=45，即=CFB=45.(3)如图所示，S=BCBE=4（4-2）=8-4；如下图所示，S=BCBE=4（4+2）=8+4；综上所述，在ADE旋转过程中，DEAC时，此时CBE的面积为84或8+4.【变式1-1】（2019洛阳三模）如图 1，在 RtABC 中，C=90，AC=8，AB=10，D，E 两点分别是 AC，CB 上的点，且 CD=6，DEAB，将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 （1）问题发
3、现当 =0时，=；当 =90时，=（2）拓展探究请你猜想当CDE 在旋转的过程中，是否发生变化？根据图2证明你的猜想（3）问题解决在将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD=2时，BE= ，此时= 图1 图2【答案】（1），；（2）见解析；（3）；60或300.【解析】解：（1）AB=10，AC=8，由勾股定理得：BC=6，DEAB，,即，CE=，BE=，=；由勾股定理得：AD=10，BE=，=；（2）不变化，理由如下：由题意知：DCEACB，由旋转性质得：ACD=BCE，ACDBCE，,即.（3）由(2)知，AD=2，BE=,如图，过D作DFAC于F，设AF=x，则CF=8x，由
4、勾股定理得：（2）2x2=62（8x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得FDC=30，DCF=60，即=60；同理可得，当=300时，AD=2，答案为：；60或300.【例2】（2019南阳毕业测试）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F（1）探究发现：如图1，若mn，点E在线段AC上，则 ；（2）数学思考：如图2，若点E在线段AC上，则 （用含m，n的代数式表示）；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【答案】（1）1；（2）；见解析
5、【解析】解：（1）当mn时，即：BCAC，ACB90，A+ABC90，CDAB，DCB+ABC90，ADCB，FDEADC90，FDECDEADCCDE，即ADECDF，ADECDF，=，ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，=1，即=1，（2）由（1）中方法可证得：ADECDF，ADCCDB，=，即=，成立ACB90，A+ABC90，又CDAB，DCB+ABC90，ADCB，FDEADC90，FDE+CDEADC+CDE，即ADECDF，ADECDF，=，ADCB，ADCBDC90，ADCCDB，=，=【变式2-1】（2019开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E是边C
6、D上的点，且CE4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF3，连接CF将CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a（1）问题发现当a0时，AF ，BE ， ；（2）拓展探究试判断：当0a360时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明（3）问题解决当CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长图1 图2 备用图【答案】（1），；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a0时，过点F作FGAD于G，四边形ABCD是矩形，ADCBCE90，ADBC8，ABCD6，由GEDGDEF90，知四边形DEFG是矩形，DGEF3，AG11，CE4，CD6，FGDE2，RtAGF中，由勾股定理得：
7、AF，同理，BE，=.（2）的大小无变化，理由如下：连接AC，AB6，BC8，EF3，CE4，=，CEFABC90，CEFCBA，ECFACB，ACFBCE，ACFBCE，即的大小无变化；（3）当CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：E在A、F之间，如图，连接AC，RtABC中，由勾股定理得：AC10，同理得：CF5，由（2）知：，RtAEC中，由勾股定理得：AE2，AFAE+EF2+3，BEAF（2+3）；点F在A、E之间时，如图所示，连接AC，同理得：AFAEEF23，BEAF（2-3）；综上所述，BE的值为或1.（2018河师大附中模拟）如图，在RtABC中，BAC=90，.
8、点P是边BC上一个动点（不与B重合），PAD=90，APD=B，连接CD.填空：=;ACD的度数为.（2）拓展探究如图，在RtABC中，BAC=90，. 点P是边BC上一个动点（不与B重合），PAD=90，APD=B，连接CD. 请判断ACD与B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图，在ABC中，B=45，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与B重合），PAD=BAC，APD=B，连接CD. 请直接写出所有CD的长. 【答案】见解析.【解析】解：（1）AB=AC，BAC=90，PAD=90，BAP=CAD，B=45，APD=B，APD=ADP=45，AP
9、=AD，ABPACD，BP=CD，ACD=B=45，即=1，ACD=45，故答案为：1，45.（2）ACD=B，=k，理由如下：BAC=90，PAD=90，APD=B，ABCAPD，=k，由BAP+PAC=PAC+CAD=90，得：BAP=CAD，ABPCAD，ACD=B，=k.（3）过A作AHBC于H，如图所示，B=45，BAH是等腰直角三角形，AB=4，AH=BH=4，BC=12，CH=8，在RtACH中，由勾股定理得：AC=4，在RtAPH中，由勾股定理得：PH=3，BP=1，PAD=BAC，APD=B，ABCAPD，由BAP+PAC=PAC+CAD，得：BAP=CAD，ABPCAD，即
10、解得：CD=，如图所示，过A作AHBC于H，同理可得：ABPCAD，即解得：CD=，综上所述，CD的值为：，.2.（2018河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为_；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使ABC=AMN，AM=MN，连接CN，试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方
11、形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长【答案】见解析.【解析】解：（1）NCAB；（2）ABC=ACN，理由如下：AB=BC，AM=MN，即AB:BC=AM:MN=1，又ABC=ACN，ABCAMN，,BAC=（180ABC），AM=MN，MAN=（180AMN），由ABC=AMN，得BAC=MAN，BAM=CAN，又,ABMACN，ABC=ACN，(3)连接AB，AN，四边形ADBC，AMEF为正方形，ABC=BAC=45，MAN=45，BAM=CAN，由=,ABMACN，,，BM=2，CM=BCBM=102=8，在RtAMC中，由勾股定理得：AM=,EF=AM=.3
12、.（2017新野一模）如图，在ABC中，ACB=90，BC=2，A=30，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图，当CEF绕点C顺时针旋转（090）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图，当CEF绕点C顺时针旋转（0180）时，延长FC交AB于点D，如果AD=62，求旋转角的度数【答案】见解析【解析】（1）解：BEAF，AF=BE；理由如下：在ABC中，ABC=90，BC=2，A=30，AC=BC=2，点E，F分别是线段BC，AC的中点，BEAF，BE=CE，AF=CF，
13、=，AF=BE；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：点E，F分别是线段BC，AC的中点，EC=BC，FC=AC，=，BCE=ACF，BECAFC，=，CBE=CAF，延长BE交AC于点O，交AF于点M，如图所示：BOC=AOM，CBE=CAF，BCO=AMO=90，即BEAF；（3）解：ACB=90，BC=2，A=30，AB=2BC=4，B=60，DB=ABAD=4（62）=22，过点D作DHBC于点H，如图所示：BH=DB=1，DH=DB=3，又CH=BCBH=2（1）=3，CH=DH，HCD=45，DCA=45，=1354.（2019安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边ABC中
14、，点D为BC边上一动点，DEAB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60得到DF，连接CF则AE与FC的数量关系是_，ACF的度数为_（2）拓展探究：如图2，在RtABC中，ABC=90，ACB=60，点D为BC边上一动点，DEAB交AC于点E，当ADF=ACF=90时，求的值（3）解决问题：如图3，在ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DEAB交AC的延长线于点E，直接写出当ADF=ACF=ABC时的值 图1 图2 图3【答案】（1）AE=FC，60；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）ABC是等边三角形，DEAB，DCE是等边三角形，CD=DE，CDE=60，由旋
15、转性质知，AD=DF，ADF=60，ADE=CDF，ADEFDC，AE=FC，DCF=DEA=120，ACF=60；（2）DEAB，EDC=ABC=90，ADF=90，ADC=CDF，ACF=90，即AED=EDC+ACB，FCD=ACF+ACB，AED=FCD，DAEDFC，,DEAB，EDCABC，,=.(3)与（2）证明可得：=.5.（2019南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，ABC和CEF都是等腰直角三角形，BACEFC90，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图
16、2的情形给出证明；（3）【问题发现】当ABAC2，CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长图1 图2 备用图【答案】（1）BEAF；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BEAFAFC是等腰直角三角形，ACAFABACBEABAF；（2）BEAF，理由如下：在RtABC中，ABAC，ABCACB45，在RtEFC中，FECFCE45，EFC90，ABCFEC=45，sinABCsinFEC=，即:FECACB45，FECACEACBACE即：FCAECBACFBCE，=，BEAF；（3）当E在B、F之间时，如图2， 由（1）知，CFEF，在RtBCF中，CF，BC2，根据勾股定
17、理得，BF，BEBFEF，BEAF，AF1；当F在B、E之间时，由（1）可证，ACFBCE，BEAF；由知：CF，BC2，BF，BEBF+EF+，BEAF，AF+1当B，E，F三点共线时，线段AF的长为1或+16.（2019商丘二模）如图，在ABC和ADE中，BACDAE90，点P为射线BD，CE的交点（1）问题提出：如图1，若ADAE，ABACABD与ACE的数量关系为 ；BPC的度数为 （2）猜想论证：如图2，若ADEABC30，则（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB2，AD1，若把ADE绕点A旋转，当EAC90时，直接写出PB的长图1 图2 备用图【
18、答案】（1）ABD=ACE，90；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，DABCAEABCACB45ADBAECABDACE，BPC180ABDABCBCP18045（BCP+ACE）=1804545=90；（2）（1）中结论成立，理由：在RtABC中，ABC30，ABAC，同理，ADAE，BACDAE90，BADCAE，ADBAECABDACE；BPC180ABDABCBCP1803060=90，（3）解：当点E在线段AB上时，BEABAE1在RtAEC中，由勾股定理得：CE，易证：ADBAECDBAECAPEBAEC，P
19、EBAEC，PB；当点E在BA延长线上时，BEAB+AE3同理得：，PB，综上所述，PB的长为或.7.（2019名校模考）问题发现：（1）如图1，在RtABC中，A90，ABkAC（k1），D是AB上一点，DEBC，则BD，EC的数量关系为 类比探究：（2）如图2，将AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0a90），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a90）直线BD，CE交于F点，若AC1，AB ，则当ACE15时，BFCF的值为 图1 图2 图3【答案】（1）BDkEC；（2）（3
20、）见解析【解析】解：（1）DEBC，,即,ABkAC，BDkEC；（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，BADCAE=tanADE，ABDACE，k，即：BDkEC；（3）BFCF的值为2或1；由（2）知ABDACEACEABD15ABC+ACB90FBC+FCB90BFC90由BAC90，AC1，AB，得：ABC30，ACB60，BC2AC2，分两种情况讨论：如图，此时，CBF30+1545，BC2BFCFBFCF2；如图在BF上取点G，使BCG15，则BCF75，CBFABCABD15，CFB90，GCF60CGBG2CF，GFCF，BF=(2+ )CF由勾股定理知：CF2+BF
21、2BC2CF2+（2+）CF 222，CF22，BFCF（2+）CF21，即：BFCF2或18.（2019枫杨外国语三模）已知，在ABC 中，ACB=90，B=30，点 D 是直线 AB 上的动点，连接 CD，以 CD为边，在 CD 的左侧作等边CDE，连接 EB（1）问题发现：如图(1)，当CDAB 时，ED 和 EB 的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段 AB 上运动时，(1)中 ED，EB 的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点 D 在直线 AB上运动时，若 AC=2，且BCE 恰
22、好为等腰直角三角形时， 请直接写出符合条件的 AD 的长.图1 图2 图3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析【解析】解：（1）CDE是等边三角形，CDE=60，CDAB，CDB=90，BDE=30，B=30，BDE=B，ED=EB；（2）成立；过点C作CFAB于F，过E作EHBC于H，则CFB=EHC=90，CBA=30，BCF=60，CED是等边三角形，DCE=60，CE=CD，ECH=DCF，CDFCEH，CH=CF，在RtCBF中，由CBF=30，得：BC=2CF，BH=CH=CF，即H为BC中点，EH=EH，BHE=CHE=90，BEHCEH，BE=CE，CE=DE，BE=D
23、E；（3）过点C作CHAB于H，如下图所示，由题意知：AC=2，AH=，CH=，BC=2CH=2，BE=CE=CD=BC=2，在RtCDH中，由勾股定理得：DH=，AD=DHAH=；如图所示，同理可得：DH=，AH=，AD=DH+AH=+；综上所述，符合条件的 AD 的长为或+.9.（2017郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MNCM交射线AD于点N（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若，求的值.【答案】见解析【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，四边形ABCD是矩形，AB=DC，ABDC，MBF=CEF，B
24、MF=ECF，BMFECF，BM=ECE为CD的中点，EC=DC=AB，AM=BM=EC；（2）设MB=x，四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=DC，A=ABC=BCD=90，ABDC，EC=2x，AB=CD=2CE=4x，AM=ABMB=3x，由，得BC=AD=2x，MNMC，CMN=90，A=90，BMC=ANM，AMNBCM，,，AN=x，ND=ADAN=x，=3.10. (2019郑州名校二模) 如图1，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位
25、置关系是 ； （2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PNBD，同理：PMCE，PMCE，ABAC，ADAE，BDCE，PMPN，PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA，BAC90，ADC+ACD90，MPNDPM+DPNDCA+ADC90，PMPN，故答案为：PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形由旋转性质知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE，ABDACE，BDCE，由（1）中知：PNBD，PMCE，PMCE，PNBD，PMPN，DPMDCE，PNCDBC，PMN是等腰三角形，DPNDCB+PNCDCB+DBC，MPNDPM+DPNDCE+DCB+DBCBCE+DBCACB+ACE+DBCACB+ABD+DBCACB+ABC90，PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，PMN是等腰直角三角形，PMPNBD，当PM最大时，即BD最大时，PMN面积最大，点D在BA的延长线上，BD最大，最大值为：BDAB+AD14，即PM7，SPMN最大PM2
