1、课时提能演练(四十三)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012江门模拟)长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线长为2，则这个长方体的体积是()(A)6(B)12(C)24(D)482.(2012郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为边长是的菱形，俯视图是一个正方形，该几何体的体积是()(A) (B) (C) (D)3.如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆(包括圆心).则该组合体的表面积等于()(A)15 (B)18 (C)21 (D)244.在矩形ABCD中，AB
2、4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为()(A) (B) (C) (D)5.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正视图、侧视图、俯视图相同如图所示，其中视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为() (A) (B)2(C)3 (D)46.(预测题)某几何体的三视图如图所示，当ab取最大值时，这个几何体的体积为()(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012合肥模拟)三棱锥ABCD的各个面都是正三角形，棱长为2，点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动，则沿三棱锥外表面从P到Q的最短距
3、离等于.8.(2012珠海模拟)正方体的棱长为3 cm，在每一个面的正中央有一个正方形的孔通过对面，孔的边长为1 cm，孔的各棱分别平行于正方体的各棱，则该几何体的体积是.9.(易错题)如图，有三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱、一个是过圆柱上下底面圆心切下的圆柱的四分之一部分，这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积.11.如图，已知平行四边形ABCD中，BC2，BDCD，四边形ADEF为正方形，平
4、面ADEF平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点.记CDx，V(x)表示四棱锥FABCD的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值.【探究创新】(16分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.(1)求AB的长度.(2)求该长方体外接球的表面积.答案解析1.【解析】选D.设长方体的棱长为a,2a,3a，则a2(2a)2(3a)2(2)2，即14a2414，a24，a2，长方体的体积为a2a3a6a348.【变式备选】(2012海口模拟)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4
5、,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()(A)25 (B)50 (C)125 (D)都不对【解析】选B.由题意知外接球的直径2R5，S表4R24()250.2.【解析】选B.该几何体由两个具有公共底面的正四棱锥组成，且底面正方形的边长为1，每个棱锥的高为，故V2(12).【变式备选】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()(A) cm3 (B)3 cm3(C) cm3 (D) cm3【解析】选D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为Vr2hr33(cm3).3.【解析】选C.由题意可知，该组
6、合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：Sr22rhrl()222221.4.【解析】选C.由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球()3.【误区警示】解答本题常见的错误是无法判定三棱锥的形状及其中的数量关系.5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.【解析】选B.由题意得该几何体中正四棱锥的侧棱长为1，底面正方形的对角线长为，故底面正方形的边长为1，所以几何体的表面积为8(12)2.6.【解题指南】构造出关于a，b的关系式，利用基本不等式求最值.【解析】选D.由题意知，该几何体的直观
7、图如图所示，且AC，BD1，BCb，ABa. 设CDx，ADy，则x2y26，x21b2，y21a2，消去x2，y2得a2b28，所以ab4，当且仅当ab2时等号成立，此时x，y，所以V1.【误区警示】解答本题常见的错误是忽视ab取最大值这一条件.7.【解题指南】将三棱锥的侧面展开，转化为平面图形处理.【解析】如图所示，将三棱锥ABCD沿侧棱AB剪开，将各个侧面展开成为一个平面，由于三棱锥ABCD的各个面都是正三角形，所以展开的平面图中ABDC1是一个菱形，边长为2，当点P在棱AB上移动，点Q在棱CD上移动时，沿三棱锥外表面从P到Q的最短距离应该是菱形ABDC1的对边AB和DC1之间的距离，等
8、于2.答案：8.【解析】VV正方体7133371320(cm3)答案：20 cm39.【解析】因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体为棱长相等的正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形，且侧棱与底面直角边长相等的直三棱柱，原圆柱是底面半径与高相等的圆柱，设正方形的边长为a，则长方体体积为a3，直三棱柱体积为a3，四分之一圆柱的体积为a3，所以它们的体积之比为42.答案：4210.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体.由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S5222
9、22()2224 (cm2)，所求几何体的体积V23()2210(cm3).11.【解题指南】利用体积公式得到V(x)的表达式，然后根据基本不等式或函数的知识求最大值.【解析】(1)平面ADEF平面ABCD，交线为AD且FAAD，FA平面ABCD.BDCD，BC2，CDx，FA2，BD(0x2)SABCDCDBDx，V(x)SABCDFAx(0x2)(2)方法一：要使V(x)取得最大值，只需x(0x2)取得最大值，x2(4x2)()24，V(x)2.当且仅当x24x2，即x时等号成立.故V(x)的最大值为.方法二：V(x)x.0x2，0x21，x22x2x222x24，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得2，解得x2.即AB的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)21212226，R2，S表4R26.即该长方体外接球的表面积为6.
