1、数学试卷(理)一选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的最小正整数值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析】先将复数化简整理，然后利用复数在得平面内对应的点在第四象限，列不等式组，求出的取值范围，可求得实数的最小正整数值.【详解】解：因为复数在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，所以实数的最小正整数值为3故选:C【点睛】此题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.2. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】对函数求导，然后将代入导
2、数中可得结果.【详解】，则，则，故选：B【点睛】本题考查常见函数的导数公式的应用，考查导数的四则运算，属于简单题.3. 函数在处的切线平行于轴，则实数（ ）A. B. 1C. D. 10【答案】C【解析】【分析】对求导，将代入导函数等于0，即可求得的值.【详解】，函数在处的切线平行于轴， 所以，解得：，故选：C【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.4. ，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为所以,，解得.故选：B.5. “是纯虚数”是“为实数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析
3、】【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.【详解】若是纯虚数，设，故，若取，则为实数，但为实数，不是纯虚数，故“是纯虚数”是“为实数”的充分非必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，此类问题，依据两者之间的推出关系来判断处理，本题属于基础题.6. 已知的导函数为且满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导，将代入导数中可得，从而得到函数解析式，将代入函数解析式可得答案.【详解】，则，令得，解得，则，将代入上式得，故选：D【点睛】本题考查导数的四则运算，考查特殊函数的导数公式，属于简单题.7. 与是定义在R上的可导函数，若，满
4、足，(为的导函数，为的导函数)，则与满足（ ）A. B. C. 为常函数D. 为常函数【答案】C【解析】【分析】由，即，即为常数函数，从而对每个选项进行判断.【详解】由，即所以，所以为常数函数因为为常数函数，设（为常数）所以C正确由于不一定为0，所以A不正确.则不一定相等，所以B不正确.显然为常数的判定不正确，所以D不正确.故选：C【点睛】本题考查两函数导数相等，判定两函数的关系，属于基础题.8. 若，则有()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先化简，再比较真数的大小即可.【详解】由题意得故选B【点睛】本题主要考查了对数大小的比较，属于基础题.9. 在处有极值0，则（ ）A.
5、 2B. 7C. 2或7D. 或【答案】B【解析】【分析】求导函数，利用函数在处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论【详解】，依题意函数在处有极值0，得 ，解得，或当时，此时函数f（x）无极值，与已知矛盾，故舍去当时，此时，当x（3，1）时，0；当x（1，+）时，0故f（x）在x1处有极值，符合题意a2，b9，故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，考查学生的计算能力，属于基础题.10. 是虚数单位，复数的实部是A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：因此复数的实部是2，选A11. 已知R上的可导函数如图所示，则不等式(为的导函数)的解集为（ ）A. B
6、. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合已知函数f（x）的图象，分析不同区间上（x22x3）和的符号，进而可得答案【详解】由函数f（x）的图象可得：当x1时，函数为增函数，此时0，x22x30，（x22x3）0；当1x1时，函数为减函数，此时0，x22x30，（x22x3）0；当x1时，函数为增函数，此时0；当1x3时，x22x30，（x22x3）0，当x3时，x22x30，（x22x3）0；综上可得不等式（x22x3）0的解集为，故选：B【点睛】本题考查函数的单调性与导数的关系，考查分类讨论思想，属于基础题12. 如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是（ ）A. B. C. D
7、. 【答案】A【解析】【分析】由函数的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解.【详解】由函数的图象可知，函数的单调性为：增减增减，故导函数的情况为：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即导函数的图象可能是选项A.故选：A【点睛】本题考查导函数与原函数的关系，考查识图能力，属于基础题二(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知复数，则_.【答案】【解析】【分析】先计算复数z,然后利用复数的模长公式进行计算即可.【详解】，则，故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模长的求解，属于简单题.14. 直线与抛物线所围成的图形面积是_【答案】【解析】试题分析：
8、先求出直线与抛物线的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可试题解析：或.15. 曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先利用导数求得斜率，然后利用点斜式求得切线方程.【详解】,则, 而切点的坐标为 曲线在的处的切线方程为故答案为【点睛】本小题主要考查图像上某点处的切线方程的求法，考查函数的导数运算，属于基础题.16. 函数的单调增区间为_【答案】【解析】【分析】利用导函数的正负，求原函数的单调区间，即可.【详解】解： ，在上恒成立，所以函数的单调增区间为，故答案为：【点睛】本题利用导数考查函数的单调性，属于基础题。三解答题(共6个题
9、，共70分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)17. ，复数，为的共轭复数；（1）若的实部与虚部互为相反数，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用复数的除法求出，再根据的实部与虚部互为相反数可求的值.（2）根据可得关于的不等式，从而可求的取值范围.【详解】（1），因为的实部与虚部互为相反数，所以；（2），故，所以.【点睛】本题考查复数的除法以及共轭复数，前者运算时需分子分母同时乘以分母的共轭复数，而，本题属于基础题.18. 已知函数，当时，有极大值3（1）求的值；（2）求函数的极小值【答案】（1）；（2）0【解析】【分析】（1）由题意得，则
10、可得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.【详解】（1），当时，有极大值3，所以，解得，经检验，满足题意，所以；（2）由（1）得，则，令，得或，列表得极小值极大值易知是函数的极小值点，所以当时，函数有极小值0【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的极值，考查了学生对极值概念的理解与运算求解能力.19. 设点P在曲线上，从原点O向移动，如果直线OP，曲线及直线所围成的两个阴影部分面积分别为如图所示；（1）若，求点P的坐标；（2）求的最小值，并求此时点P的坐标.【答案】（1）；（2），.【解析】分析
11、】（1）用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为，则为直线OP与曲线yx2当x（0，）时所围面积，即，为直线OP与曲线yx2当x（，4）时所围面积，即，根据可求点P坐标（2）由（1）可求S1+S2，化简为的三次函数，对函数求导求单调性，即可得函数的最小值以及相应的点P的坐标.【详解】（1）设，直线OP的方程为，故（2）由（1）知令，则函数在递减，上递增，故故，此时.【点睛】本题考查用定积分求两曲线所围图形面积，以及利用导数求函数的最值，考查分析问题的能力和计算能力，属于基础题.20. 函数，（1）求的极值；（2）若在上存在最小值，求实数t的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为
12、；（2）.【解析】【分析】（1）求，令，可得或，再利用导数判断函数的单调性，既可以求出极大值和极小值；（2）若在上存在最小值，则极小值点位于区间，再满足即可.【详解】（1）令得或；令得；所以在上递增，上递减， 上递增，当时，取得极大值为 当时，取得极小值为，故取得极大值，极小值为.（2）上有最小值，则,即 即，解得【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，以及已知函数在某个区间的最小值求参数的取值范围，属于中档题.21. 用数学归纳法证明：【答案】证明见解析【解析】【分析】利用数学归纳法的证明标准，验证时成立，假设时成立，证明时等式也成立即可.【详解】证明：（1）当时，左边，右边，等式成立.
13、（2）假设当时，等式成立，即，那么，当时，左边，这就是说，当时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.【点睛】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设22. 设函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的极大值和极小值；（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）极大值为，极小值；（3）.【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，先求函数在处的导数，再求函数值，利用点斜式求出方程即可.（2）当时，求导函数，确定单调性，从而得到函数的极值.（3）分类讨论，利用在上是增函数，即x3时，恒成立，即可确定实数a的取值范围【详解】（1）当时，即为所求切线方程.（2）当时，令得或，令可得x2或x3；令可得2x3，f（x）在递增，在（2，3）递减，在（3，+）递增，的极大值为，f（x）的极小值为（3）若a0，则，函数的对称轴为，开口向下，函数在上单调递增，所以在区间上单调递增,符合题意若a0，令，得，a0时，令可得x2或x,即函数f（x）在上是增函数，所以在上单调递增,符合题意a0时，导函数二次函数的开口向下，所以在x3时，不恒成立，故不符合题意综上所述，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查导数的几何意义和函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题
