1、专题突破练 9 三角恒等变换与解三角形一、单项选择题1.(2021深圳高级中学月考)在钝角ABC 中,AB=2,sin B=,且ABC 的面积是 ,则 AC=()A.B.2C.D.或 2.(2021辽宁大连二模)若 tan ,则 ()-=()A.-B.-3C.D.33.(2021山东日照期中)已知ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 R 为ABC 外接圆的半径,若 3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,则 sin Asin B-cos Acos B=()A.B.C.-D.-4.(2021海南二模)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边
2、形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用 2sin 18表示.若实数 n 满足 4sin218+n2=4,则 -=()A.B.C.D.5.(2021江西南昌期末)“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的登鹳雀楼,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面点 D 看楼顶点 A 的仰角为 30,沿直线前进 79 m 到达点 E,此时看点 C 的仰角为 45,若 BC=2AC,则楼高 AB 约为()m.A.65B.74C.83D.926.(2021河北邯郸期末)已知 cos+si
3、n 2=,sin+sin cos=,则 cos(+2)=()A.B.C.D.-7.(2021湖南长沙模拟)小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(如图阴影部分),为了测量该池塘两侧 C,D 两点间的距离,除了观测点 C,D 外,他又选了两个观测点 P1,P2,且 P1P2=a,已经测得P1P2D=,P2P1D=,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出 C,D 间距离的是()DP1C 和DCP1;P1P2C 和P1CP2;P1DC 和DCP1.A.B.C.D.8.(2021吉林月考)如图,正三角形 ABC 的边长为 4,D,E
4、,F 分别在边 AB,BC 和 CA 上(异于端点),且 D 为AB 的中点.若EDF=120,则四边形 CFDE 的面积为()A.2 B.C.3 D.无法确定二、多项选择题9.(2021山东师大附中期末)若ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b-2a+4asin2 =0,则下列结论正确的是()A.角 C 一定为锐角B.a2+2b2-c2=0C.3tan A+tan C=0D.tan B 的最小值为 三、填空题10.(2021北京延庆模拟)已知ABC 的面积为 2,AB=2,B=,则 =.11.(2021山西运城模拟)已知 tan,tan -是方程 x2+ax-3=
5、0 的两个根,则 a=.12.(2021广东揭阳一模)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 a=2,a2=2b2+c2,则ABC 的面积的最大值为 .13.(2021山东潍坊一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形 OAB 的半径为 10,PBA=QAB=60,AQ=QP=PB,若按此方案设计,工艺制造厂发现,当 OP 最长时,该奖杯比较美观,此时AOB=.专题突破练 9 三角恒等变换与解三角形1.C 解析 设内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.依题意,三角形 ABC 是钝角三角形,c=2,
6、sin B=,SABC=acsin B=,解得 a=1,a0,所以 C 为锐角,符合题意,故 AC=2.A 解析 因为 ()-,由于 cos=1-2sin2 ,sin=2sin cos ,所以 -=-tan =-3.C 解析 由正弦定理 =2R,得 sin A=,sin B=,sin C=,代入 3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,得 =6R ,化简得 3a2+3b2+4ab=3c2,即 a2+b2-c2=-ab,所以 cos C=-=-故 sin Asin B-cos Acos B=-cos(A+B)=cos C=-4.A 解析-5.B 解析 设 AC=x(x0)
7、,则由已知可得 AB=3x,BE=BC=2x,BD=3 x,所以DE=BD-BE=3 x-2x=79,解得 x=-24.7,所以楼高 AB324.7=74.174(m).6.C 解析 由 cos+sin2=知 2cos-cos 2=2,因为 sin+sin cos=,所以 2sin+sin 2=,将两个等式平方相加得 4+1-4cos(2+)=4+,解得 cos(+2)=7.D 解析 根据题意,P1P2D 的三个角和三条边均可以求出,中,故 CD=,故可以求出 CD;与条件等价.中,在P1P2C 中,故 P1C=,在P1CD 中,利用余弦定理求解 CD 即可.8.C 解析 设BDE=(060)
8、,在BDE 中,由正弦定理得 DE=-,则 SBDE=DEDBsin=在ADF 中,FDA=60-,由正弦定理得 DF=,SADF=DFADsin(60-)=-,所以 SBDE+SADF=-(),所以四边形 CFDE 的面积为 SABC-(SADF+SBDE)=4 =3 9.BC 解析 b-2a+4asin2 =0,b-2a+4asin2(-)=0,b-2a+4acos2 =0,b-2a+4a =0,b+2acos C=0,cos C0,角 C 一定为钝角,A 错误;b+2acos C=0b+2a -=0a2+2b2-c2=0,B 正确;b+2acos C=0sin B+2sin Acos C
9、=03sin Acos C+cos Asin C=03tan A+tan C=0,C正确;tan B=-tan(A+C)=-,经检验“=”取得到,D 错误,综上选 BC.10 解析 设内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则 AB=2=c,SABC=acsin B=a2 =2,解得 a=4,b2=a2+c2-2accos B=16+4-242 =12,b=2,11.-4 解析 因为 tan,tan(-)是方程 x2+ax-3=0 的两个根,所以 tan+tan(-)=-a,tantan(-)=-3,=a2-4(-3)0,所以 tan =tan (-)(-)-(-)=-=1,故 a=-4
10、.12 解析 由余弦定理及题意可得 a2=b2+c2-2bccos A=2b2+c2=4,所以 cos A=-,则 sinA=-,则ABC 的面积 S=bcsin A=-13.解析 由题意可知,四边形 ABPQ 为等腰梯形.如图,连接 OP,过点 O 作 OMQP 垂足为点 M,交 AB 于点 C,则 OCAB,OM 平分AOB,M 为线段 PQ 的中点.设AOC=,则 AB=20sin,OC=10cos,设 AQ=QP=BP=x,过点 Q 作 QEAB 垂足为点 E,过点 P 作 PFAB 垂足为点 F,因为PBA=QAB=60,所以 AE=BF=x,CM=PF=x,EF=QP=x,所以 AB=2x,所以AB=20sin=2x,即 x=10sin,所以 OM=OC+CM=10cos+x=10cos+5 sin,所以OP2=OM2+MP2=(10cos+5 sin)2+(5sin)2=100cos2+75sin2+100 sin cos+25sin2=100+50 sin 2,因为 sin 2-1,1,所以当 sin 2=1 即=时,OP2最大,也就是 OP 最长,此时AOB=
