1、突破2空间中的垂直与几何体的体积题型一证线线垂直及求几何体的体积【例1】(2020广东汕头一模,文18)在四棱锥P-ABCD中,平面PAC平面ABCD,且有ABDC,AC=CD=DA=12AB.(1)证明:BCPA;(2)若PA=PC=22AC=2,Q在线段PB上,满足PQ=2QB,求三棱锥P-ACQ的体积.解题心得证明线线垂直的方法(1)通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直;(2)利用面面垂直寻求线面垂直,从而得到线线垂直;(3)应用等腰(等边)三角形三线合一性质,即三角形底边的中线同时是高和角分线,得到线线垂直;(4)应用两条平行线的性质,有一条与一个面中的直线垂直,则另一条也与平面中的直线
2、垂直.对点训练1(2020广东化州二模,文18)如图,在三棱锥D-ABC中,O为线段AC上一点,平面ADC平面ABC,且ADO,ABO为等腰直角三角形,斜边AO=42.(1)求证:ACBD;(2)将BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积.题型二证线面垂直及求几何体体积【例2】(2019全国2,文17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.解题心得证明线面垂直常用方法是线面垂直的判定定理,即证直线和平面内的两条相交直线垂直.对点训练2(2020广
3、东湛江一模,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C底面ABC,E为CC1的中点,AF=2FB.(1)求证:BC1平面A1EF;(2)若AC=AA1=2,AB=BC=2,A1AC=60,求四棱锥C1-BFA1B1的体积.题型三证面面垂直及求几何体体积【例3】(2020湖南常德一模,文19)在三棱锥P-ABC中,底面ABC与侧面PAB均为正三角形,AB=2,PC=6,M为AB的中点.(1)证明:平面PCM平面PAB;(2)N为线段PA上一点,且SCMN=34,求三棱锥P-CMN的体积.解题心得证明面面垂直的常用方法是面面垂直的判定定理,即一个平面过另一个平面的垂线,则这两个
4、平面垂直.为此就要先证线面垂直,而要证线面垂直又转化成证线线垂直.又要先从已知的线面垂直和勾股定理中得到线线垂直.这是一个相互转化的过程.对点训练3(2020全国1,文19)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3,求三棱锥P-ABC的体积.题型四证垂直关系及求点到面的距离【例4】(2020福建泉州一模,文19)如图1,四边形ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,E为CD的中点,以BE为折痕将BCE折起到PBE的位置,使得平面PBE平面ABCD,如图2.(1)证明:
5、平面PAB平面PBE;(2)求点D到平面PAB的距离.解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在一个平面上的线线和线面的关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.题型五证垂直关系及求空间角【例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解题心得求异面直线所成的角、线与面所成的角的方法是一作,二证,三求.异面直线所成
6、的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角;线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影,转化为直线与直线在平面内的射影所成的角.对点训练4(2020江西临川二中月考,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD的边长是2的正方形,PA=PD,PAPD,F为PB上的点,且AF平面PBD.(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.突破2空间中的垂直与几何体的体积例1(1)证明不妨设AB=2a,则AC=CD=DA=a,则ACD是等边三角形,ACD=3.ABDC,CAB=3.由余弦定理得,BC2=AC2+AB2-2ACABcos3=3a2,即BC=
7、3a,则BC2+AC2=AB2,即ACB=90,故BCAC.又平面PAC平面ABCD,平面PAC平面ABCD=AC,BC平面ABCD,BC平面PAC,PA平面PAC,BCPA.(2)解依题意得,PAPC,BC=23.VP-ACQ=VQ-PAC=23VB-PAC=2313SPACBC=231312PAPCBC=2313122223=439.对点训练1(1)证明ADO,ABO为等腰直角三角形,斜边AO=42.DOAD,BOAB,AD=DO=AB=BO=4,取AO中点E,连接DE,BE,如图,则DEAC,BEAC,且DEBE=E,AC平面BDE,又BD平面BDE,ACBD.(2)解由(1)知DEAC
8、,平面ADC平面ABC,且平面ADC平面ABC=AC,DE平面ABC,BDE是直角三角形.ADO,ABO是直角三角形,斜边AO=42,BO=DO=4,DE=22,BE=22,将BDO绕DO旋转一周,所得几何体是以23为底面半径,2为高的两个有公共底面的圆锥,将BDO绕DO旋转一周所得旋转体的体积为V=2132(23)2=16.例2(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1
9、,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.对点训练2(1)证明连接AC1,与A1E交于点M,连接MF,E为CC1的中点,C1EAA1,且C1E=12AA1.AMMC1=21.又AF=2FB,在ABC1中,MFBC1.MF平面A1EF,BC1平面A1EF,BC1平面A1EF.(2)解侧面AA1C1C底面ABC,AC=AA1=2,A1AC=60,三棱柱ABC-A1B1C1的高h=3.V三棱锥C1-ABC=13SABCh=13V三棱柱ABC-A1B1C1,V四棱锥C1-ABB1A1=23V三棱柱ABCA1B1C1.在侧面ABB1A1
10、中,AF=2FB,S梯形BFA1B1=23S平行四边形ABB1A1.V四棱锥C1-BFA1B1=23V四棱锥C1-ABB1A1=49V三棱柱ABC-A1B1C1,V四棱锥C1-BFA1B1=4912223=439.例3(1)证明因为ABC是边长为2的正三角形,M为AB的中点,所以CMAB,CM=3,同理,PM=3,又PC=6,因为CM2+PM2=PC2,所以CMPM.又ABPM=M,所以CM平面PAB,又CM平面PCM,所以平面PCM平面PAB.(2)解(方法1)由(1)得CM平面PAB,所以CMMN,CMN为直角三角形,所以SCMN=12CMNM=34,且CM=3,解得MN=32.在AMN中
11、,由cosA=AN2+AM2-MN22ANAM,cos60=AN2+12-3222AN,解得AN=12,即PN=32,即PNPA=34,SPNM=34SPAM=38SPAB=383=338,VP-CMN=VC-PMN=13SPMNCM=133383=38.(方法2)由(1)可得CM平面PAB,所以CMNM,即34=123NM,NM=32,所以NMPM=AMPA=12,得ANMAPM,则ANM=AMP=90,所以NMPA,又CMPA,NMCM=M,所以PA平面CNM,在RtPNM中,PN=PM2-NM2=32,所以VP-CMN=13SCMNPN=131233232=38.对点训练3(1)证明由题
12、设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱锥P-ABC的体积为1312PAPBPC=1312623=68.例4(1)证明依题意知,因为CEBE,所以PEBE.又平面PBE平面ABCD,平面PBE平面ABCD=BE,PE平面PBE,所以PE平面ABCD.又AB平面A
13、BCD,所以PEAB.由已知,BCD是等边三角形,且E为CD的中点,所以BECD.因为ABCD,所以ABBE.又PEBE=E,所以AB平面PBE.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PBE.(2)解在ABD中,AB=AD=2,BAD=60,所以SABD=3.由(1)知,PE平面ABD,且PE=1,所以三棱锥P-ABD的体积V=1331=33.在RtPBE中,PE=1,BE=3,得PB=2,由(1)知,AB平面PBE,所以ABPB,所以SABP=2,设点D到平面PAB的距离为d,则三棱锥E-PAB的体积V=132d=33,得d=32.例5(1)解如图,由已知ADBC,故DAP即为异面直线AP与B
14、C所成的角.因为AD平面PDC,所以ADPD.在RtPDA中,由已知,得AP=AD2+PD2=5,故cosDAP=ADAP=55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明因为AD平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.又因为BCAD,所以PDBC.又PDPB,所以PD平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC
15、,在RtDCF中,可得DF=CD2+CF2=25,在RtDPF中,可得sinDFP=PDDF=55.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.对点训练4(1)证明AF平面PBD,PD平面PBD,PDAF.PAPD,PAAF=A,PD平面PAB.AB平面PAB,PDAB.四边形ABCD是正方形,ABAD.PDAB,ADPD=D,AB平面PAD.AB平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)解取AD的中点H,连接PH,BH.PA=PD,PHAD.平面PAD平面ABCD,PH平面PAD,平面PAD平面ABCD=AD,PH平面ABCD,BH是PB在平面ABCD内的射影.PBH就是PB与平面ABCD所成的角,在等腰直角三角形PAD中,AD=2,H是AD的中点,PH=1.在RtBAH中,AH=1,AB=2,BH=5,PB=PH2+BH2=6,sinPBH=PHPB=16=66.
