1、专题提升 相似三角形的判定与性质（30题）1（2023东莞市校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB8在BC的延长线上取一点B，使CEBC，连接AE，AE与CD交于点F（1）求证：ADFECF；（2）求DF的长【分析】（1）由平行四边形的性质可得出ADBE，从而得出DAFCEF，ADFECF，即证明ADFECF；（2）由平行四边形的性质可得出ADBC，ABCD8，即得出，再根据相似三角形的性质可得出，即，最后结合CDDF+CF，即可求出DF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，即ADBE，DAFCEF，ADFECF，ADFECF；（2）解：四边形ABCD为平行四边形
2、，ADBC，ABCD8，即ADFECF，即CDDF+CF，2（2022秋细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且EDBC（1）求证：ADEDBE；（2）若DC7cm，BE9cm，求DE的长【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得AC，即可求得AEDB，又由公共角EE，可证得ADEDBE；（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AC，EDBC，AEDB，又EE，ADEDBE；（2）平行四边形ABCD中，DCAB，由（1）得ADEDBE，DC7cm，BE9cm，AB7cm，AE16cm，DE12cm3（2023
3、秋高新区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DFAE于点E（1）求证：；（2）若AB4，BC6，求AF的长【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，DFAE，可得BAEADF，推导出ADFEAB，即可证明结论；（2）E为BC的中点，根据勾股定理可得AE5，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得AF的长即可【解答】（1）证明：四边形ABCD为矩形，DFAE，BAFD90，BAE+EADEAD+ADF90，BAEADF，ADFEAB，（2）解：E为BC的中点，BEBC3，在RtABE中，AE5，AF4（2023秋丰泽区校级期中）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：（1）如图1，
4、在ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若ACPB，求证：ACPABC；（2）如图2，已知A81，AC2ABAD，BCBD，求ABC的度数【分析】（1）根据ACPB，CAPBAC即可得出结论；（2）先由AC2ABAD得AD：ACAC：AB，再根据CABDAC可判定ACB和ADC相似，进而得ACBD，然后由BCBD得BCDD，据此可得出ACD2D，然后利用三角形的内角和定理可求出D40，进而可求出ABC的度数【解答】（1）证明：ACPB，CAPBAC，ACPABC；（2）解：AC2ABAD，AD：ACAC：AB，又CABDAC，ACBADC，ACBD，BCBD，BCDD，ACDACB+BCD2
5、D，ACD+D+A180，A81，2D+D+81180，D33，BCDD33，ABCBCD+D665（2023秋武侯区校级期中）如图，ABCD中，AEBC于点E，点F在BC的延长线上，且CFBE，连接AC，DF（1）求证：四边形AEFD是矩形：（2）若ACD90，AE4，CF3，求的值【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明AEF90即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可【解答】（1）证明：CFBE，CF+ECBE+EC即 EFBC在ABCD中，ADBC且ADBC，ADEF且ADEF四边形AEFD是平行四边形AEBC，AEF90四边形AEFD是矩形；（2）解：
6、四边形AEFD是矩形，AECDFC90，AEDF4，EAC+ECA90，ACD90，ECA+DCF90，EACDCF，AECCFD，EC2AE，6（2023秋浙江期中）如图1，在正方形ABCD中，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，作MNCM交边AD于点N（1）当F为BE中点时，求证：AM2CE；（2）如图2，若，求的值【分析】（1）如图1中，证明BFMEFC（ASA）即可解决问题（2）如图2中，由ABCD，推出，设CE2k，则BM3k，推出CDAB4k，证明AMNBCM，可得，可得AN，NDk，由此即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是正方形，ABCD，ABCD
7、，MBFCEF，BFEF，BFMCFE，BFMEFC（ASA），BMCE，BMAM，AM2BM（2）解：在正方形ABCD中，ABCD，FMBFCE，FBMFEC，FBMFEC，设CE2k，则BM3k，DE4k，CDAB4k，AMABBM3k，MNCM，NMC90，AMN+BMC90，A+ABC90，AMN+ANM90，BMCANM，AMNBCM，AN，NDADANk，7（2023秋天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，B（0，3），点C在x轴上，且AOBBOC（1）求C点坐标、ABC的度数；（2）在线段AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C
8、、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由AOBBOC，根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出C点坐标；根据相似三角形的对应角相等得出OABOBC，从而得出ABC90；（2）如果以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：CPCO；PCPO；OCOP针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段AC上，然后根据相似三角形的对应边成比例求出点M的坐标【解答】解：（1）由题意，B（0，3），OA，OB3，AOBBOC，OABOBC，OC4，C（4，0）；OAB+OBA90，OBC+OBA90，ABC90；（2）设M（m，0
9、），如图1，当CPCO时，点P在BM为直径的圆上，BM为圆的直径，BPM90，PMAB，CPMCBA，CM：CACP：CB，CM：6.254：5，CM5，m451，点M的坐标为（1，0）；如图2，当PCPO时，点P在BM为直径的圆上，且点P在OC垂直平分线上，PCBC2.5，BM为圆的直径，BPM90，PMAB，CPMCBA，CMAC，m4，点M的坐标为（，0）；当OCOP时，M点不在线段AC上综上所述，点M的坐标为（，0）或（1，0）8（2023秋卫辉市期中）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EFED交AB于点G、交DA延长线于点F（1）求证：ECDDEF；（2
10、）若CD4，求AF的长【分析】（1）根据正方形的性质得出FEDC90，BCAD，根据平行线的性质得出CEDFDE，再根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据正方形的性质得出C90，ADBCCD4，求出CE，根据勾股定理求出DE，根据相似得出比例式，代入求出即可【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，EFED，FEDC90，BCAD，CEDFDE，ECDDEF；（2）解：四边形ABCD是正方形，C90，ADBCCD4，E为BC的中点，CE0.5BC2在RtDCE中，由勾股定理得：DE2CE2+DC222+4220，ECDDEF，CE：DEDE：DF，2：DEDE：DF，2DFDE2，解得：DF1
11、0，AD4，AFDFAD10469（2023秋西安期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EBAB，垂足为点B，交AC于点E（1）求证：（2）若AE6，AB5，求EC的长【分析】（1）根据菱形的性质得到ACBD，ABBC，证明EOBEBA，根据相似三角形的性质证明即可；（2）证明AOBABE，根据相似三角形的性质求出OA，根据菱形的性质计算即可【解答】（1）证明：四边形ABCD为菱形，ACBD，ABBC，EBAB，EOBEBA，OEBBEA，EOBEBA，ABBC，；（2）解：AOBABE90，OABBAE，AOBABE，AE6，AB5，解得：OA，EC2OAAE610（20
12、23秋宝山区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，BACBDC90（1）求证：ABECDE；（2）如果，求的值【分析】（1）根据两组角对应相等的两三角形相似；（2）利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解【解答】（1）证明：BACBDC90，又AEBDEC，ABEDCE；（2）解：ABEDCE，AEDBEC，AEDBEC，11（2023秋罗湖区校级期中）在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AFBC于点F，AGDE于点G，BAFEAG（1）求证：ABCAED；（2）若AB5，AG2，EG1，求AF的长【分析】（1）根据等角的余角相等证明AEDABC，即可解
13、决问题；（2）由ABFAEG，得，然后根据勾股定理求出AE，进而即可解决问题【解答】（1）证明：AGDE，AFBC，AFBAGE90，BAFEAG，AEDABC，EADBAC，ADEABC；（2）解：由（1）可知：AFBAGE90，BAFEAG，ABFAEG，AB5，AG2，EG1，AGDE，AE，AF212（2023秋丹阳市期中）如图，在ABCD中，E为AB边的中点，对角线AC、BD交于点O连接DE交AC于点F，且OF2（1）求对角线AC的长度；（2）若ADF的面积为4，求四边形EBCF的面积【分析】（1）ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则OAOC，由于E为AB边的中点，可得EO是AB
14、D中位线，从而OEAD且AD2OE，列比例式即可解决；（2）根据同高三角形面积之比等于底的比，主要利用由（1）得OF：AF1：2和平行四边形两对角线相交分的四个三角形面积相等即可解决【解答】解：（1）在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OAOC，OBOD，E为AB边的中点，EO是ABD中位线，OEAD且AD2OE，OF2AF4，AOFO+AF6，AC2OA12；（2）由（1）知OF：AF1：2，SADF：SDOFOF：AF1：2，SADFSDOF，ADF的面积为4，SDOF2，SAODSADF：+SDOF4+26，由于在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，SABC2SAOD12，由（1）
15、知OEAD，SADF：SAEFDF：EF2：1，SAEF2，四边形EBCF的面积SABCSAEF1221013（2023秋城关区校级期中）如图，DEBC，且ABEC（1）求证：AE2ADAB；（2）如果AE4，BD6，求AD【分析】（1）易证ABEACB，以此得到AC，易证ADEABC，得到，将AC代入整理即可得到所证结论；（2）由BD6，可得AB6+AD，结合（1）中的结论可得关于AD的一元二次方程，求解即可【解答】（1）证明：ABEC，AA，ABEACB，AC，DEBC，ADEABC，整理得：AE2ADAB；（2）解：BD6，ABBD+AD6+AD，由（1）知，AE2ADAB，42AD（6
16、+AD），解得：AD2或AD8（不合题意，舍去），AD214（2023秋高新区校级期中）如图，RtABC的两条直角边AB4cm，AC3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒动点E到达点C时运动终止连接DE、CD、AE（1）当动点运动时间t或秒时，BDE与ABC相似（2）在运动过程中，当CDDE时，t为何值？请说明理由【分析】设D点运动时间为t秒，则ADt秒，BD（4t）秒，BE2t秒，CE（52t）秒（0t）；（1）分类：当BDEBAC，即EDAB时，RtBDERtBAC；当BDEBCA，即DEBC时，RtBDERtBCA，然后分别根据三
17、角形相似的性质得到比例线段求出t的值；（2）先计算出DFABADBF，若CDDE，则易证得RtACDRtFDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t【解答】解：设D点运动时间为t秒，则ADt秒，BD（4t）秒，BE2t秒，CE（52t）秒（0t），（1）当BDEBAC，即EDAB时，RtBDERtBAC，BD：BABE：BC，即（4t）：42t：5，t；当BDEBCA，即DEBC时，RtBDERtBCA，BD：BCBE：BA，即（4t）：52t：4，t；所以当动点运动秒或秒时，BDE与ABC相似；故答案为：或；（2）当CDDE时，t秒理由如下：如图，过点E作EFAB于F，DFABADBF
18、4t4t，CDDE，CDE90，ADC+EDF90，BAC90，ADC+ACD90，ACDFDE，CADDFE，RtACDRtFDE，AC：DFAD：EF，即3：（4t）t：，t（秒）15（2023秋拱墅区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB，AC2ABAD，ADC90，点E为AB的中点（1）求证：ADCACB；（2）若AD2，AB3，求的值【分析】（1）根据角平分线的定义得到DACCAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到ACBADC90，根据直角三角形的性质得到CEAE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明CEAD，然后根据平行线分线段成比例定
19、理即可解决问题【解答】（1）证明：AC平分DAB，DACCAB，AC2ABAD，ADCACB；（2）解：由（1）知：ADCACB，ACBADC90，点E为AB的中点，CEAEAB，EACECA，DACEAC，DACECA，CEAD，16（2023秋梁溪区校级期中）如图，已知ABCF，点D是AB上一点，DF交AC于点E，且DEFE（1）求证：ADECFE；（2）若AB7，CF4，求BD的长【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用ABAD即可得出结论【解答】（1）证明：ABCF，AECF，ADEF，在ADE 和CFE 中，ADECFE（AAS）；（2）解
20、：由（1）知，ADECFE，ADCF4，AB7，BDABAD74317（2023秋鹿城区校级期中）如图，点E是矩形ABCD的边CB上的一点，AFDE于点F（1）求证：AFDDCE（2）若AB4，AD2，CE1，求AF的长度【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出ADCC90，再根据相似三角形的判定定理可得出ADFDCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（2）由矩形的性质可得出DC的长及ADCC90，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出AFDC，利用同角的余角相等可得出EDCDAF，进而可得出EDCDAF，再利用相似三角形的性质可求出DF的长度【解答】（1）证明：四边形AB
21、CD是矩形，ADCC90，ADF+CDE90，AFDE，AFDDAF+FDA90，FADCDE，又CAFD90，AFDDCE；（2）解：四边形ABCD是矩形，DCAB4，ADCC90CE1，DEAFDE，AFD90C，ADF+DAF90又ADF+EDC90，EDCDAF，EDCDAF，AF即AF的长度为18（2023秋秦都区校级期中）如图，在菱形ABCD中，连接AC，H为边AB延长线上一点，连接DH，分别交对角线AC、边BC于M、C两点，连接BM（1）求证：CBMCDM；（2）若DM2，MG2，求MH的长【分析】（1）根据菱形的性质判定可得12，ADBC，则CDMBCM即可得结论；（2）结合（
22、1）的结论证明BMGHMB，利用相似三角形的判定和性质即可得结论【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，连接AC，12，ADBC，又CMCM，CDMBCM（SAS），CBMCDM；（2）解：在菱形ABCD中，CDAH，HCDM，由（1）知CDMBCM，CBMCDM，DMBM2，HCBM，又BMGHMB，BMGHMB，解得：MH619（2023秋裕华区月考）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连接AF交CD于点E，若（1）求证：ADEFBA；（2）若BC3，则CF的长 9【分析】（1）利用平行四边形的性质可以证明ADEFBA；（2）结合（1）利用相似三角形的性质和已知条件即可求解【解答
23、】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，ADBF，ABCD，ADBC，ADEFCE，FECFAB，ADEFBA；（2）解：ADEFCE，CF3AD3BC，BC3，CF9，故答案为：920（2023石城县模拟）如图，AE平分BAC，D为AE上一点，BC（1）求证：ABEACD；（2）若D为AE中点，BE4，求CD的长【分析】（1）根据角平分线定义可得BAECAD，进而可以证明结论；（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解【解答】（1）证明：AE平分BAC，BAECAD，BCABEACD；（2）解：D为AE中点，BE4，AE2AD，ABEACD，CD221（2023秋朝阳期中）如图，在AB
24、C中，D、E分别在AC、AB上，AGBC于点G，AFED于点F，EAFGAC（1）求证：ADEABC（2）若AD5，AB7，求的值【分析】（1）根据等角的余角相等证明AEDACB，即可解决问题；（2）由ADEABC，推出，可得，再证明EAFCAG，可得，由此即可解决问题【解答】（1）证明：AGBC，AFDE，AFEAGC90，EAFGAC，AEDACB，EADBAC，ADEABC（2）解：由（1）可知：ADEABC，AD5，AB7，由（1）可知：AFEAGC90，EAFGAC，EAFCAG，22（2022秋内江期末）如图，已知ABC中，ABAC，点D、E分别在边BC、AC上，ADEB（1）求证
25、：ABDDCE；（2）若AB5，BC6，BD2，求点E到BC的距离【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BC，由外角的性质可得BADCDE，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求解【解答】（1）证明：ABAC，BC，ADCB+BADADE+CDE，BADCDE，ABDDCE；（2）如图，过点A作AHBC于H，过点E作EMBC于M，ABAC，AHBC，BHCH3，AH4，BD2，BC6，DC4，SABDBDAH4，ABDDCE，（）2，SCDE，4EM，EM，点E到BC的距离为23（2023秋泗水县期中）如图，AB为O的直径，射线AC交O于点C，AD平分CAB交O于点D，过点D作直线DEAC于点E
26、，交AB的延长线于点F连接BD并延长交AC于点M（1）求证：直线DE是O的切线；（2）若F30，求DM的长【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到ODAOAD，根据角平分线的定义得到OADDAC，证明ODAC，根据平行线的性质得到DEOD，根据切线的判定定理证明即可；（2）根据题意求出MDE30，根据含30角的直角三角形的性质计算，得到答案【解答】（1）证明：连接OD，ODOA，ODAOAD，AD平分CAB，OADDAC，ODADAC，ODAC，DEAC，DEOD，OD是O的半径，直线DE是O的切线；（2）解：AB是O的直径，ADB90，由（1）可知：ODAC，ODFAED90，F30
27、，BAMFOD60，OBOD，OBD60，BAMABMM60，MDE30，DM2ME224（2023秋祁阳县期中）如图，在ABC中，BC，点P从B运动到C，且APDC（1）求证：ABCDCPBP；（2）若AB6，BC10，求当BP长为多少时，PDAB【分析】（1）先根据得出BAPD，证明DPCBAP，得出ABPPCD，根据相似三角形性质得出，即可证明结论；（2）根据平行线的性质得出BAPAPDC，证明BAPBCA，得出，根据AB6，BC10，求出，即可得出当时，PDAB【解答】（1）证明：BC，APDC，BAPD，APCAPD+DPC，APCB+BAP，DPCBAP，ABPPCD，ABCDCP
28、BP（2）解：如图，PDAB，BAPAPDC，又BB，BAPBCA，AB6，BC10，即当时，PDAB25（2023秋普陀区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作AD的平行线FG，分别交AB、DC于点F、G，且（1）求证：EGBC；（2）如果EF2，AD3，求BC的长【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，可得，可得结论；（2）通过证明EFBDAB，可得，可求，即可求解【解答】（1）证明：FGAD，EGBC；（2）解：FGAD，EFBDAB，EF2，AD3，FGAD，AEFACB，BC626（2023秋商水县期中）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与
29、数、数与形、形与形之间灵活应用如图1，已知在RtABC中，ABC90，BC8，AB6请解答下面的问题：观察猜想：（1）如图1，将ABC绕点C按顺时针方向旋转60得到NMC，连接BM，则BCM的形状是 等边三角形；探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边BC，AC的中点，将CDE绕点C按顺时针方向旋转60得到CMN，连接MB，AN求证：ACNBCM；求AN的长【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到CMCB，BCM60，则根据等边三角形的判定方法可判断BCM为等边三角形；（2）由于点D，E分别是边BC，AC的中点，所以，再根据旋转的性质得到CNCE，CMCD，ACNBCM60，所以，从而可判断A
30、CNBCM；先利用勾股定理计算出AC10，则CNCE5，过N点作NHAC于H点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到CH，NH，然后在RtANH中利用勾股定理可计算出AN的长【解答】（1）解：如图1，ABC绕点C按顺时针方向旋转60得到NMC，CMCB，BCM60，BCM为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）证明：点D，E分别是边BC，AC的中点，CDE绕点C按顺时针方向旋转60得到CMN，CNCE，CMCD，ACNBCM60，ACNBCM，ACNBCM；ABC90，BC8，AB6，AC10，CNCE5，过N点作NHAC于H点，如图2，在RtCNH中，NCH60，CHCN，NH
31、CH，AHACCH，在RtANH中，AN527（2023秋金堂县期中）在菱形ABCD中，AC为对角线，E、F分别为BC、DC边上的点，且，射线AE交DF的延长线于点G，射线AF交BE的延长线于点H（1）求证：AF2FCFG；（2）若AF3，CF1，AG10，求CH的长【分析】（1）先根据菱形的性质得到ACDBCD，再利用EAFBCD得到ACDEAF，则可判断FACFGA，然后利用相似三角形的性质得到结论；（2）由（1）的结论可计算出FG9，则CG8，再利用FACFGA得到FACG，则可求出AC，接着证明ACHGCA，然后利用相似比可求出CH的长【解答】（1）证明：四边形ABCD为菱形，ACBA
32、CD，即ACDBCD，EAFBCD，ACDEAF，AFCGFA，FCAFAG，FACFGA，AF：FGCF：AF，AF2FCFG；（2）解：AF2FCFG，321FG，FG9，CG8，FACFGA，FACG，即，解得AC，四边形ABCD为菱形，DACBAD，BADBCD，EAFBCD，EAFDAC，DAHCAG，ADBC，DAHH，CAGH，HCAG，HACG，ACHGCA，即，CH，28（2023秋闵行区期中）如图，在梯形ABCD中，ADBC，DCB90，点E是边AB的中点，连接DE，延长DE交CB的延长线于点F，CBA2F，且ACBC（1）求证：FBEEFC；（2）求证：DC2ADFC【分
33、析】（1）由条件可证明AEDBEF，可得E为DF的中点，由直角三角形的性质可知EFEC，可得到FFEBECF，可证明FBEEFC；（2）根据（1）的过程及条件可求得FECF30，可求得ACD30，可证得ADCDCF，根据相似三角形的性质可证得结论【解答】证明：（1）ADBC，ADFEFB，E为AB中点，AEBE，在AED和BEF中，AEDBEF（AAS），EFDE，DCB90，CEEF，FECF，CBF2F，FFEB，FEBECF，且FF，FBEEFC；（2）ACBC，E为AB中点，CEAB，CEB90，ECB+EBC90，又由（1）可得EBC2ECB，FECBECA30，DCB90，DCA3
34、0，DCAF，又ADBC，ADC+DCB180，ADCDCF90，ADCDCF，DC2ADFC29（2023秋梁溪区校级期中）在矩形ABCD中，AB8，BC5，F为边AD上一点，且DF2，点E是线段AB上一动点，直线FE与直线BC相交于点G，射线EH与直线CD相交于点P，且EPEF已知AEx（1）用含有x的代数式表示线段EF的长，EF；（2）当点P与点C重合时，求线段EP的长；若点P在线段DC上，求x的范围；（3）求FPG的面积（用含x的代数式表示）【分析】（1）早RtAEF中利用勾股定理即可解决；（2）当点P与点C重合时，证明AEFBCE可得，建立方程即可解决；由结论即可得x的范围；（3）作
35、PNAB，FMBC，根据已知可得四边形ABMF和四边形PNBC都是矩形，可得RtAEFRtMGF和RtAEFRtMGF，进而求得FG，PE，再由SFPGPEFG即可解决【解答】解：（1）AD5，DF2，AFADDF3，A90，AEx，由勾股定理可得：EF，故答案为：；（2）当点P与点C重合时，如图：EPEF，1+290，ABC90，2+390，AEFBCE，BEABAE8x，BC5，解得：x3或5，在RtBEP中，由勾股定理可得：EP，EP5或，由（2）知，当x3或5时，点P与点C重合时，故当3x5时，点P在线段DC上，x的范围是3x5；（3）作PNAB，FMBC，根据已知可得四边形ABMF和
36、四边形PNBC都是矩形，FMAB8，PNBC5，1+44+590，15，RtAEFRtMGF，则FG，EPEF，易证RtAEFRtMGF，PE，SFPGPEFG20+30（2023秋渠县校级期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动连接BP、CP，设运动时间为t秒（1）点D的坐标为 （4，3）；（2）当CPOD时，求直线CP的表达式；（3）在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点
37、O、P、Q为顶点的三角形与BCQ相似若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据矩形的性质以及A坐标为（0，3），把y3代入，得x4，即可作答；（2）连接CP，易证AODPCO，得，设，根据勾股定理列出方程可求得，设直线CP的表达式ykx+b，结合C坐标为（8，0），即可作答；（3）分类讨论：如图，当PQx轴，根据OPQ与BCQ相似，则，解得t4，或，解得；如图，当PQOD，因为OPQ与QCB相似，则有，解得t4，或，解得，即可作答【解答】解：（1）矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），把y3代入，得x4，点D的坐标为（4，3）；（2）连接CP，点D的坐标为（4，3），OD
38、5，CPOD，CPOOAB90，四边形OABC是矩形，ABOC，ADOCOD，AODPCO，则，即，直线交AB于点D，设，则，解得，设直线CP的表达式ykx+b，C坐标为（8，0），解得，直线CP的表达式；（3）解：存在，理由如下：如图，当PQx轴，连接BQ，点D的坐标为（4，3），OD5，则，得，PQx轴，OPQ与QBC相似，即解得t4；或，即，解得；如图，当PQOD，点D的坐标为（4，3），OD5，则，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，设运动时间为t秒，则在RtOPQ中，得，则在RtOPQ中，得，OPQ与QCB相似，即，解得t4；或，即，解得；综上所述：t的值为4或或
