1、2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编专题十九 数列1. 【2022和平二模】已知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足；求（3），数列的前项和为，求证：.2. 【2022南开二模】已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，（1）求数列，的通项公式；（2）求的前项和的最大值；（3）设求证：3. 【2022河西二模】已知数列的首项，且满足（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求的值；（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值4. 【2022河北二模】已知数列的前项和为，满足，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是
2、等差数列，求数列的通项公式；（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.5. 【2022河东二模】已知等比数列前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列及数列的前n项和（3）设，求的前2n项和6. 【2020红桥二模】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，其前项和为已知，.（）求和的通项公式；（）设数列前项和.记，求；（）求.7. 【2022滨海新区二模】已知数列中，数列的前n项和为Sn.（1）求的通项公式；（2）已知，（i）求数列前n项和Tn；（ii）证明：当时，.8. 【2022部分区二模】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.（1）求的通项公
3、式；（2）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（3）求证：对任意的，.9. 【2022耀华中学二模】设数列的前项和为，已知，（为常数，），且成等差数列（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列是首项为，公比为的等比数列，记，证明：10. 【2022天津一中五月考】已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编专题十九 数列（答案及解析）1. 【2022和平二模】已知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足；求（3），数列的前项和为，求证：.【答案】（1），；
4、（2）； （3）证明见解析.【分析】（1）由与的递推关系得出为等比数列求解，由为等差数列求通项公式；（2）分是奇数、偶数，分组求和即可得解；（3）利用放缩法及裂项相消求和证明即可【小问1详解】，时，时，即，是以2为首项，2为公比的等比数列，由题可知，是首项为2，公差为1的等差数列，.【小问2详解】，(i) n为偶数时，(ii) n为奇数时，【小问3详解】，(i)右式证明：，(ii)左式证明：综上得证.2. 【2022南开二模】已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，（1）求数列，的通项公式；（2）求的前项和的最大值；（3）设求证：【答案】（1）， （2） （3）证明见解析【分析】（1）设等
5、差数列的公差为，等比数列的公比为（），根据所给条件结合等差数列通项公式、求和公式，以及等比数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得，利用等比数列求出公式求出前项和，再分奇偶两种情况求出的最大值，即可得解；（2）利用错位相减法求和即可得证；【小问1详解】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，即，解得，所以，由，所以，由，即，解得或（舍去）所以；【小问2详解】解：由（1）可知，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，令的前项和为，则，当为奇数时，当为偶数时，综上可得的前项和的最大值为；【小问3详解】证明：因为，所以，由可得所以，得证；3. 【2022河西二模】已知数列的首项，且满足（1）
6、证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求的值；（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值【答案】（1）证明见解析；. （2） （3）有最小值，最大值.【分析】（1）等式两边同除以得即可证明结论，再根据等差数列的定义求通项公式；（2）结合（1），根据错位相减法求解即可；（3）由题知，进而裂项求和，并分的奇偶性讨论单调性求解最值即可.【小问1详解】解：因为，所以，等式两边同除以得，又因为，所以，数列是等差数列，公差为，首项为.所以，即.【小问2详解】解：设，则，所以，两式作差得：，整理得：，即.所以，【小问3详解】解：由（1）知，所以，所以，当为奇数时，随着的增大而增大，故当时，有最小值
7、；当为偶数时，随着的增大而减小，故当时，有最大值；综上所述，有最小值，最大值.4. 【2022河北二模】已知数列的前项和为，满足，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）或.【分析】（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围【详解
8、】(1)，可得，即；时,又，相减可得,即，则；(2)证明：，可得，可得是首项和公差均为1的等差数列，可得,即；(3) ，前n项和为，相减可得，可得，,即为，即,对任意的成立，由，可得为递减数列，即n=1时取得最大值12=1，可得，即或.【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.5. 【2022河东二模】已知等比数列前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列及数列的前n项和
9、（3）设，求的前2n项和【答案】（1）； （2）； （3）.【分析】（1）由及可得q的值，由可得的值，可得数列的通项公式；（2）由可得，可得=，利用错位相减法即得；（3）可得，利用裂项相消法即得.【小问1详解】由题意得：，可得，由，可得，由，可得，可得；【小问2详解】由，可得，由，可得，可得的通项公式：=，可得：，；【小问3详解】由，可得，可得：.6. 【2020红桥二模】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，其前项和为已知，.（）求和的通项公式；（）设数列前项和.记，求；（）求.【答案】（）；（）；（）【分析】（）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求解.（）利用分组并项求和代入即可求解.（
10、）利用错位相减法即可求解.【详解】（）设数列的公差为，数列的公比为（），由，可得，解得或（舍去），所以，由，则，解得，所以，解得，所以，解得，且，解得，所以.综上所述，（）由（）中，所以，故.（）设， 可得，即，所以，故.7. 【2022滨海新区二模】已知数列中，数列的前n项和为Sn.（1）求的通项公式；（2）已知，（i）求数列前n项和Tn；（ii）证明：当时，.【答案】（1） （2）（i）Tn；（ii）证明见解析【分析】（1）由已知得出数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.分别求出通项公式，合并可得的通项公式；（2）（i）由奇数
11、项和偶数项分别求和可得，从而得出，由裂项相消法求得和；（ii）求出，由不等式的性质放缩为（时等号成立），时，对这个不等式求和，对新不等式两侧一个用错位相减法求得和，另一侧利用此和得出，即可证得不等式成立【小问1详解】由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.当n为奇数时，；当n为偶数时，【小问2详解】（i），；（ii）， ，则；（时等号成立）当时，设，；综上，当时，8. 【2022部分区二模】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.（1）求的通项公式；（2）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（3）求证：对任
12、意的，.【答案】（1） （2）证明见解析； （3）见解析【分析】（1）根据题意求出等差数列首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；（2）根据等比数列的定义结合递推公式证明为定值，即可得证，再根据等比数列的通项求出数列的通项，从而可得出答案；（3）由（2）得，再根据等比数列的前项和的公式即可得证.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，因为，则，解得或（舍去），所以；【小问2详解】证明：因为，所以，即，所以，因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；【小问3详解】证明：由（2）得，故，所以.9. 【2022耀华中学二模】设数列的前项和为，已知，（为常数，），且成等差数列（1）
13、求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列是首项为，公比为的等比数列，记，证明：【答案】（1）;（2）;（3）证明见解析.【详解】（本小题满分14分）解：（新编题）（1），成等差数列，即，解得，或（舍去）（2），又，数列的通项公式是（3）证明：数列是首项为，公比为的等比数列， ， 式两边乘以得由得 将代入上式，得另证: 先用错位相减法求,再验证.数列是首项为，公比为的等比数列，又，所以 将乘以2得: 得: ,整理得: 将乘以得: 整理得: 10. 【2022天津一中五月考】已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1） （2）当n为偶数时，；当n为奇数时，.【分析】（1）由等比中项求出，再由等差中项得到方程，利用等比数列的通项公式相关计算求出公比，得到通项公式；（2）利用裂项相消求和和分组求和得到答案.【小问1详解】是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q0），即，即，解得：，则数列的通项公式为【小问2详解】则当n为偶数时，；当n为奇数时，.
