1、专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A.B.C.2D.32.已知=-,则sin +cos 等于()A.-B.C.D.-3.ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.B.C.D.4.在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()A.B.C.D.5.若,3cos 2=sin,则sin 2的值为()A.B.-C.D.-6.(2017江苏,5)若tan,则tan =.7.(2017全国,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为
2、a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.(1)求B;(2)若cos A=,求sin C的值.9.(2017浙江,18)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)
3、在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0,-0,解得b=3,故选D.2.D解析 =-=2coscos +sin =-,sin +cos =-,故选D.3.C解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,因为A(0,),所以A=.4.D解析 (方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,SABC=aa=acsin B,c=a.由正弦定理,得sin C
4、=sin A.C=-A,sin C=sinsin A,即cos A+sin A=sin A,整理得sin A=-3cos A.sin2A+cos2A=1,sin2A+sin2A=1,即sin2A=,解得sin A=(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得SABC=aacsin B,c=a.b2=a2+-2a,即b=.由正弦定理得,sin A=.故选D.5.D解析 3cos 2=sin,3cos2-3sin2=(sin -cos ),又,sin -cos 0,3(sin +cos )=-.平方求得sin 2=-.6.解析 方法一:tan =tan.方法二:
5、因为tan,所以tan =,答案为.7.解析 由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=.又因为B(0,),所以B=.8.解 (1)在ABC中,由,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=bsin A=asin B,所以cos B=,得B=.(2)由cos A=,可得sin A=,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinsin A+cos A=.9.解 (1)由sin,cos=-,f-2,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-
6、sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ,所以,f(x)的单调递增区间是(kZ).10.(1)证明 由a=btan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=.(2)解 由(1)知,C=-(A+B)=-2A0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2.因为0A,所以0sin A,因此-2.由此可知s
7、in A+sin C的取值范围是.11.解 (1)由题意知f(x)=sin 2x-.由-+2k2x+2k,kZ,可得-+kx+k,kZ;由+2k2x+2k,kZ,可得+kx+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ);单调递减区间是(kZ).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c22bc,即bc2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.思维提升训练12.C解析 cos,0,sin.又cos,-0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,
8、因为A(0,),所以A=.由正弦定理,得,即sin C=,所以C=,故选B.14.A解析 cos A=,cos C=2cos2A-1=,则sin C=,tan C=3,如图,设AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD=x.在RtDBC中,tan C=3,解得BD=x=,SABC=BDAC=.15.解析 如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=,cosDBC=-,sinDBC=.SBCD=BDBCsinDBC=.cosDBC=1-2sin2DBF=-,且DBF为锐角,sinDBF=.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=.综上可得,BC
9、D的面积是,cosBDC=.16.17.8解析 sin A=sin(B+C)=2sin Bsin Ctan B+tan C=2tan Btan C,因为tan A=-tan(B+C)=-,所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C.因为ABC为锐角三角形,所以tan A0,tan Btan C0,所以tan A+2tan Btan C2,当且仅当tan A=2tan Btan C时,等号成立,即tan Atan Btan C2,解得tan Atan Btan C8,即最小值为8.18.解 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),ab,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x0,所以x+,从而-1cos.于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=,即x=时,f(x)取到最小值-2.
