1、7.3 二次函数与一元二次方程、不等式思维导图知识点总结 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实数根x1，x2(x1x2)有两相等实数根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2 由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 1.一元二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立2.一元二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立典型例题分析考向一 一元二次不等式的解法【
2、例】已知不等式ax2bxc0的解集是x|x0)，则不等式cx2bxa0的解集是x|x0)，则，是一元二次方程ax2bxc0的实数根，且a0，.不等式cx2bxa0，x2()x10，化为(x1)(x1)0，又00，不等式cx2bxa0的解集是，故选B.【变式】(2019江苏卷)函数y的定义域是_【答案】1,7【解析】要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1,7【方法技巧】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或).(3
3、)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【变式】(2019天津卷)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_【答案】【解析】3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1xa2.【解析】12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，解集为xx；当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a，解集为.综上所述：当a0时，不等式的解集为xx；当a0时，不等式的解集为x
4、|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.考向二 一元二次不等式的恒成立问题（在实数R上恒成立）【例】若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_【解析】当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是_【解析】依题意，设yx2kx1，因为不等式x2kx10对任意实数x都成立，所以k240，解得k(2,2)【答案】(2,2)考向三 一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）【例】若对任意的x1,2，都有x22xa0(a为常数)，则a的取值范围是()A(，3B(
5、，0C1，)D(，1【答案】A【解析】(方法一)令f (x)x22xa.则由题意，得解得a3.故选A(方法二)当x1,2时，不等式x22xa0恒成立等价于ax22x恒成立令f (x)x22x(x1,2)而f (x)x22x(x1)21，当x1时，f (x)min3，所以a3.故选A【方法技巧】 在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na. 考向四
6、 一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范围的恒成立问题）【例】(2019天津高考)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_【解析】3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1x，故使不等式成立的x的取值范围为.【答案】【变式】设m为实数，若函数f(x)x2mx2在区间(，2)上是减函数，对任意的x1，x2，总有|f(x1)f(x2)|4，则m的取值范围为()A4,6 B(4,6)C(4,6 D4,6)【答案】A【解析】函数f(x)x2mx2的对称轴为x，由其在区间(，2)上是减函数，可得2，m4.且11，当x1，x2时，f(x)maxf(1)3m，f(x)minf2.由x1，x2，
7、总有|f(x1)f(x2)|4，max4，f(x)maxf(x)min4，(3m)4，即m24m120，解得2m6.综上，4m6，故选A.【方法技巧】给定参数范围求x的范围的恒成立问题1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.基础题型训练一、单选题1一元二次不等式的解集是（）ABCD【答案】D【解析】根据公式直接求解一元二次不
8、等式.【详解】，解得：，所以不等式的解集是.故选：D2不等式的解集为，则函数y的图象为（）ABCD【答案】B【解析】根据不等式的解集为，可得，且和是一元二次方程的两个实根，结合图象可知答案.【详解】因为不等式的解集为，所以，且和是一元二次方程的两个实根，所以函数y的图象开后向下，函数y的两个零点为和，结合图象可知，选项正确.故选：B【点睛】关键点点睛：根据不等式的解集得到，且和是一元二次方程的两个实根是解题关键.3若不等式对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】对分或两种情况讨论，当时，解得即可；【详解】解：因为不等式对任意实数x都成立，当时满足条件，当时，则，解
9、得；综上可得，即故选：A4已知，若，满足，则（）ABCD【答案】C【分析】由，得到函数图象开口向下，且以为对称轴，即可求解.【详解】由，根据二次函数的性质，可得函数图象开口向下，且以为对称轴，即，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.5不等式的解集ABCD【答案】D【分析】因为方程两根分别为， ，且不等式二次项系数为负，根据大于零的解集为“两根之间”，可得答案【详解】，如果展开，其二次项系数为负，对应抛物线开口向下，大于0解集为“两根之间”，故解集为，所以正确选项为D【点睛】本题主
10、要考查了一元二次不等式的解法，较简单6若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】由，判别式及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】因为关于的方程有两个不同的正根，所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C二、多选题7下列四个不等式中解集为R的是（）Ax2x10Bx22 x0C2x23x40Dx26x100【答案】CD【解析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.【详解】对于C项，不等式可化为x2x20，所以，所以2x23x40的解集为R；对于D项，不等式可化为(x3)21，所以x26x100的解集为R，对于A ，B均不可得解集为R
11、，故选：CD.8若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（）ABCD1【答案】BC【解析】分离参数得，求出在内的值域即可判断【详解】由题意在上有解，故选：BC三、填空题9若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为_【答案】【分析】由题设条件得到抛物线的图象特点，即可求得不等式的解集【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，故不等式的解集为故答案为：10函数的最大值为_【答案】/【分析】由二次函数的性质即可得出函数的最大值.【详解】函数，所以函数的最大值为.故答案为：.11若函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是_.【答案】.【分析】求得函数的对称轴方程，进而可得结果.【详解】显然
12、，函数的对称轴方程为，依题意可得，解得.故答案为：.12当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_【答案】【详解】 令，则的图像是开口向上的抛物线，要当时，恒成立，只需，解得.点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的恒成立问题的求解，其中把不等式的恒成立问题转化为一元二次函数的图象与性质是解答的关键，对于不等式的恒成立问题常见解法分离参数法和利用函数的性质、函数的最值，平时要注意总结和积累.四、解答题13解不等式:【答案】当时，解集为；当时，解集为.【分析】因为 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负.【详解】当时，解集为；当时，解集为.14已知不等式的解集为或(1)
13、求，的值；(2)解不等式【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由不等式的解集知：，是的根，结合根与系数关系求，的值；（2）由（1）题设不等式可化为，讨论的大小关系求解集即可.【详解】（1）不等式的解集为或，或是方程的根，则，解得.（2）由（1）知：不等式化为，即，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.15已知全集，集合，.（1）当时，求的取值范围；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解一元二次不等式化简集合的表示，根据，可以得到之间的关系，利用二次函数的性质求出求的取值范围；（2）根据，可以得到之间的关系，根据一元二次方程的根的
14、判别式的正负性进行分类讨论，最后求出的取值范围.【详解】（1），当时，记，由，即，得.即的取值范围是.（2）由，得.记.当，即时，满足题意；当即或时，若，则，不合题意；若，则，满足题意；当时，的图象与轴有两个不同交点.由，知方程的两根位于1，2之间.从而，即，故.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查了已知集合的交集求参数问题，考查了一元二次方程、一元二次不等式以及二次函数之间的关系，考查了数学运算能力.16已知不等式与不等式的解集相同（1）求；（2）若，且，求的最小值【答案】（1）1；（2）1【分析】（1）解不等式得出的解集，从而求得，；（2）根据题意，利用基本不等式求得的最小值【详解】解：（
15、1）当时，不等式解集为空集；当时，即，所以是方程的两根，所以解得所以（2）由（1）可知，因为，所以（当且仅当时取等号）所以的最小值为【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题提升题型训练一、单选题1已知集合，0，1，2，则（）AB，1，C，0，D，0，1，【答案】D【解析】求解一元二次不等式解得集合，再求交集即可求得结果.【详解】集合，0，1，2，0，1，故选：D【点睛】本题考查集合的交运算，涉及一元二次不等式的求解，属综合简单题.2已知函数，若对于任意，均有成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由得恒成立，分离参数，转化为求函数的最小值，然后可得解的范
16、围【详解】设，恒成立，即恒成立，时，恒成立，即恒成立，时，当且仅当时等号成立，的最小值为4，解得故选：A3设一元二次不等式的解集为，则的值为（）ABCD【答案】B【分析】根据和是方程的两个根，由韦达定理解得和，可得结果.【详解】由题意可知方程的根为，由韦达定理得：，解得，所以.故选：B.4已知、是不全为零的实数，则关于的方程的根的情况为A有两个负根B有两个正根C有两个异号的实根D无实根【答案】D【详解】试题分析：二次方程中，所以方程无实数根考点：二次方程根的判定5函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】先讨论a的取值，当时，为一次函数，满足条件当时，为二次函数
17、，利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可【详解】当时，在定义域R上单调递减，满足在区间上是减函数，故成立当时，二次函数的对称轴为，要使在区间上是减函数，则必有且对称轴，即，解得，综上，即a的取值范围是故选：C6关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.【详解】关于的不等式等价于当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；当时，即时，于的不等式的解
18、集为，要使解集中恰有3个整数，则；综上，.故选：C【点睛】本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题二、多选题7若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（）ABCD1【答案】BC【解析】分离参数得，求出在内的值域即可判断【详解】由题意在上有解，故选：BC8若不等式的解集是的子集，则实数的取值可以是（）ABCD【答案】AD【解析】分与两种情况讨论，结合已知条件得出关于的不等式（组），求出的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】当时，不等式即为，解得，不合乎题意；当时，由于不等式的解集是的子集，则，解方程，即，解得，.由题意可得，解得.因此，AD选项合乎题意，BC选项不合乎题意
19、.故选：AD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下三点：（1）要对实数分与两种情况讨论；（2）根据不等式的解集为的子集推出；（3）方程有根，且根均为集合的元素.三、填空题9函数，的最大值为_.【答案】0【分析】将二次函数化成顶点式，可知当，则 或时, 函数取得最大值，代入计算即可得出答案.【详解】函数 , , 或时, 函数 取最大值， .故答案为: 0 .10定义新运算“”，满足对任意的，有若对，恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】【分析】将化简得，转化为不等式恒成立问题求解.【详解】由得，化简得对恒成立，当时，成立；当时，满足 ，即；故实数m的取值范围是.故答案为：.11已知，则的取值
20、范围为_.【答案】【分析】令，则，代入方程整理得，则问题转化为方程有解，由得到不等式，解得即可.【详解】解：令，则，代入方程得，即，则方程在上有解，令，显然，又对称轴，则只需，整理得，解得，即.故答案为：12若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则式子的值是_【答案】【解析】求解方程， 由两根之和为0，求得，从而求出的值即可求得.【详解】因为，故可得，由两根之和为，即可得，解得，故方程的两根为2或，故可得，由，代值可得.故答案：.【点睛】本题考查由一元二次方程的根求解参数的值，属基础题.四、解答题13已知方程的两根为与，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)7(2)18(3)7
21、【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系可得，再利用完全平方公式可得的值；（2）利用立方和公式因式分解求解即可；（3）通分整理求解即可.【详解】（1）解：已知方程的两根为与，所以可得所以；（2）解：由（1）有：，且所以（3）解：14已知，其中，.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）时，解一元二次不等式可得命题，由为真，即、均为真，列出不等式组求解，即可得答案；（2）设，由题意，根据集合的包含关系列出不等式组求解，即可得答案.【详解】解：（1）时，解得，.为真，、均为真，解得，实数的取值范围是；（2），其中，解
22、得，.设， 是的必要不充分条件，解得，实数的取值范围是.15若不等式的解集是.（1）求不等式的解集；（2）已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意知，关于的二次方程的两根为和，且，利用韦达定理可求出实数的值，将的值代入不等式，解出该不等式即可；（2）将的值代入不等式，由题意可知，关于的二次方程的两根为和，利用韦达定理可求出、，再代入不等式可解出该不等式.【详解】（1）由题意知，关于的二次方程的两根为和，且，由韦达定理得，解得，不等式即为，即，解得.因此，不等式的解集为；（2），由题意可知，关于的二次方程的两根为和，由韦达定理得，解得，所以，不等式即为，即，解得，因此，关于的不等式的解集为.【点睛】本题考查二次不等式的解集与二次不等式的关系，以及一元二次不等式的解法，解题时充分利用韦达定理进行求解，求出参数的值，同时也要熟悉二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.16已知关于x的不等式：1（1）当a=1时，解该不等式；（2）当a0时，解该不等式【答案】（1）x|1x2（2）a2时，解集为；0a2时，解集为【详解】(1)当a1时，不等式化为1，化为0，1x2，解集为x|1x0时，由1得0，(ax2)(x1)1即0a2时，解集为；当2时，解集为
