1、甘肃省兰州市第四片区2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）本试卷共150分，考试时间120分钟 注意事项：1答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分卷I（选择题）一、选择题 （本大题共计12小题，每题5分，共60分，每题只有一项符合题目要求）1. 的内角的对边分别为， ，那么角等于（ ）A. B. 或C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理，又因为大边对大角，所以，故选C考点：正弦定理2. 由，确定的等差数列，当时，序号等于（ ）A. 99B. 100C. 96D. 101【答案】B【解析】【分析】
2、求出数列的通项公式，由列出方程求解n即可.【详解】，若，则.故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.3. 设的内角，的对边分别为，.已知，则的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，可化为，将其代入由余弦定理列出的，结合题中所给，可求出，.由求得，最终可求出.【详解】，则由正弦定理得，又，由余弦定理 得，由得，.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题.4. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列下标和性质，求得，再结合对数运
3、算，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可得：，所以.则，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及对数运算，属综合基础题.5. 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项
4、公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用判别式大于0，解不等式，即可求得的取值范围.【详解】由关于的一元二次方程有两个不相等的实根，所以，即解得：或故选：C.7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b，的值代入表示出，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域建立不等式求出a的范围即可【详解】由
5、正弦定理得： ，要使三角形有两解，得到，且，即，解得：.故选：B8. 一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55989B. 46656C. 216D. 36【答案】B【解析】【分析】第天蜂巢中的蜜蜂数量为，则数列成等比数列根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量【详解】设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得数列成等比数列，它的首项为6，公比所以通项公式：到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂故选：9. 已知数列满足：，
6、则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取特殊值即可求解.【详解】当时，显然AC不正确，当时，显然B不符合，D符合故选：D10. 对任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分情况讨论，当时，得恒成立，当时，根据二次函数图形即可求解.【详解】当时，不等式为化为恒成立，当时，若对任意实数，不等式恒成立，则，解得，综上可得的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，解题的关键时熟练运用二次函数图象与性质，属于中档题.11. 设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为A. 432B. 567C.
7、 543D. 654【答案】D【解析】因为a，b，c为连续的三个正整数，且ABC，可得ac2，bc1 又因为3b20acosA，由余弦定理可知cosA，则3b20a 联立，化简可得7c213c600，解得c4或c (舍去)，则a6，b5.又由正弦定理可得，sinAsinBsinCabc654.故选D.12. 若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可设，进而求得与的关系式，即可求得结果【详解】因为，是等差数列，且，所以可设，又当时，有，故选：卷II（非选择题）二、填空题（本大题共计4小题，每题5分，共计20分） 13. 不等式的解集是_.
8、【答案】【解析】【分析】利用配方法可得，进而可得答案.【详解】因为，所以无解，即不等式的解集是，故答案为：.14. 已知，成等比数列，其中，则_.【答案】【解析】【分析】由实数，成等比数列，得，代值计算即可求得答案.【详解】实数，成等比数列，.故答案为：.15. 中，角 所对的边分别为，已知 ，则 .【答案】【解析】试题分析：由面积公式得 ，考点：三角形面积公式；正弦定理；余弦定理.16. 若等差数列满足，则当_时，的前项和最大【答案】8【解析】试题分析：由等差数列的性质，又因为，所以所以，所以，故数列的前8项最大.考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.三、解答题（本大题共计6小题，共计
9、70分，答案写到答题卡上，解答题步骤要有必要的文字说明）17. 设集合，.（1）求；（2）若不等式的解集为，求.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）分别解不等式和，求出集合和集合，再进行交集运算即可；（2）由三个二次之间的关系可知和是方程的两根，利用根与系数的关系可得：，即可求出的值.【详解】（1）因为：，所以（2）由（1）知，若不等式的解集为，则和是方程两根，由根与系数的关系可得：，从而，.【点睛】思路点睛：已知一元二次不等式的解集，就能得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数，注意结合不等式的解集的形式判断二次项系数的正负.18. 数列是等差数列，其中
10、求通项公式.【答案】或【解析】【分析】由an为等差数列，结合等差中项，能够求出x，分类分别得到首项与公差，求得通项公式an【详解】，.因为数列是等差数列，所以也是等差数列，所以，即，解得.当时，.由此可求出.当时，.由此可求出.综上所述：当时，当时，.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法和等差中项的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题19. 在中，角的对边分别是，如果有性质，试问这个三角形具有什么特点？【答案】为等腰或直角三角形.【解析】【分析】由余弦定理统一为边，即可求解.【详解】因为，所以化简得：或即：为等腰或直角三角形.20. 等差数列的前项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；
11、 （2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件，可得数列的公差为整数，且，利用等差数列通项公式，可得的关系，即可求得d的值，代入公式即可得答案；（2）由知：，可得的表达式，利用裂项相消法求和即可得答案.【详解】（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数，又，故，即：解得：，因为为整数，所以，所以等差数列的通项公式为：，.（2）由（1）知：，所以，所以.【点睛】本题考查数列求通项，裂项相消法求前n项和，常见的裂项技巧：（1）；（2） ； （3）；（4）；裂项时，容易出现多项或丢项的问题，需注意，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.21. 在中，角的对边分别
12、是，且，（1）求证：；（2）若的面积，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到，将得出的代入化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并整理后，再根据两角和与差的正弦函数公式得到，根据和为三角形的内角，得出的范围，即可得到，即，得证；（2）根据第一问得出的，根据等角对等边可得，由的值及为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用面积公式表示出三角形的面积，把已知三角形的面积及的值代入求出的值，再根据与相等，可求出与的值，由，及的值，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值【详解
13、】（1），根据正弦定理得：，又，整理得：，在中，则； .（2）由（1）知，因为，所以，又因为的面积，即：，所以.由余弦定理得：，所以：【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.22. 数列满足（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析】（1）根据，变形为，利用等差数列的定义求解.（2）根据（1）得到，进而得到，然后利用错位相减法求解.【详解】（1），数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（2）由（1）知，-得，【点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.- 14 -
