1、专题59 二元权方和不等式【方法点拨】已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.说明:1.上式其实即为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值，其实质就是“1”的代换.2. 设()，实数，则，其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式.我们称为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.【典型题示例】例1 （2022江苏金陵中学网课质检卷13）已知，且满足，则的最小值为_【答案】【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】（取等条件略）.例2 已知，则的最小值为 .【答案】【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作
2、适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】（等号成立条件，略，下同）.例3 如图，已知三角形 ABC 中，AB 1，AC 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 【答案】【解析】，.例4 已知a0，b0，且，则的最小值是 【答案】【解析】当，即，例5 已知x0，y0，且则的最小值是 【答案】【解析】当，即时，等号成立例5 已知x1，y1，则的最小值是 【答案】8【解析】令当，即，两个等号同时成立例6 已知a0，b0，且，则的最小值是 【答案】【解析】当，即，例7 已知，且，则的最大值与最小值之和为ABCD【答案】C【分析】已知中两个式子、是“知和求和”的
3、典型结构特征，而后者又是待求的，故可考虑换元法，设，用“1的代换”或权方和不等式，消去，化等式为不等式，从而构造出关于的一元二次不等式，求出其解集.【解析】设（）由权方和不等式得， 代入已知得整理得，解之得即，当且仅当时，即或时取等号所以最大值与最小值之和为【巩固训练】 1.已知x1，y1，xy10，则的最小值是 2. 已知正数满足，则的最小值为 .3. 已知，则的最小值为 .4.已知正实数x，y满足x+yxy，则的最小值是 【答案与提示】1.【答案】9【解析】x1，y1，xy10，且 ，当且仅当时取“”2.【答案】【解析】当且仅当，等号成立.3.【答案】【解析】当且仅当时,等号成立.4.【答案】15【解析】x+yxy可化为，
