1、专题51 全国初中数学竞赛模拟卷（一）1设a0，b0，且a(a+b)=3b(a+5b)，则a-b+ab2a+3b+ab的值是（）A2B14C12D3158【解答】解：由题意得：a+ab=3ab+15b，（a-5b）（a+3b）0，故可得：a=5b，a25b，a-b+ab2a+3b+ab=12故选：C2如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分BAC，DEAF，记x=BEOM，y=CFAE，z=BNON，则有（）AxyzBxyzCxyzDxyz【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADABC90，BAC45，BAF+AFB90，D
2、EAF，BAF+DEA90，AFBDEA，在AFB和DEA，ABF=DAEAFB=DEAAB=AD，AFBDEA（AAS），BAFADE，BFAE，AF平分BAC，BAFCAF22.5，ADEBDE22.5，ABFAON90，BAFNAO，ABFAON，BANCAF，ABNACF45，BANCAF，y=CFAE=CFBF =ACAB =2，z=BNON=ABAO =2，yz，BFAE，ABBC，BECF，BEAE=CFAE=2，ADE22.5，EAD90，AEM67.5，AMEADE+MAD67.5，AEMAME，AEAM，过点M作MHAD于点H，如图：ADE22.5，EDB45，MDOMDH
3、22.5，MHAD，MOAC，OMHM，MAH45，MHA90，AM=2HM=2OM，AE=2OM，BE=2AE2OM，x=BEOM=2，xyz解法二：作OPAB交DE于PAN平分BAO，BNON=ABAO=2=ACAB=CFBF，即yz=2AEM的角平分线与高重合AEM的等腰三角形，AMAE，OPAB，OBOD，EPDP，OMPAME，AEOP=AMOM，OPOM，x=BEOM=BEOP=2，xyz，故选：D3关于x、y的方程组xx-y=yx+yyx=1有2组解【解答】解：把y()()x=1两边平方得到y2x1，则xy2，把xy2代入方程xxyyx+y得y2（xy）yx+y，当y1时，x1，
4、当y1，则2（xy）x+y，所以y3x，x=y3，y3=1y2，解得y=33，x=333经检验方程组的解为x=1y=1或x=333y=33故答案为24若关于x的方程（x4）（x26x+m）0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 659【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，依题意可得x40或x26x+m0，x4，x26x+m0，设x26x+m0的两根为a、b，（6）24m0，m9，根据根与系数关系，得a+b6，abm，则c4，c为斜边时，a2+b2c2，（a+b）22abc2622m42，m10（不符合题意，舍去）；a为斜边时，c2+b2a2，42+（6a）2a2，
5、a=133，b6a=53，mab=13353=659，故答案为6595如图正方形ABCD的顶点A在第二象限y=kx图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限直线yx的图象上，若S阴影=25，则k的值为 -45【解答】解：四边形ABCD为正方形，BADABCBCDCDA90，ABBCCDAD，过点D作DMy轴于M，DNx轴于N，点D在直线yx上，DMDN，DMy轴，DNx轴，DMODNOMON90，四边形DMON为正方形，MDNADC90，GDMHDN，在DMG与DNH中，GDM=HDNDM=DNDMG=DNH=90，DMGDNH（ASA），SDMGSDNH，S正方形DMONS阴
6、影=25，DM2=25，DM=OM=105，过A作AQOB于Q，BCO+DCMDCM+CDM90，BCOCDM，在BOC与CMD中，BOC=CMD=90BCO=CDMBC=CD，BOCCMD（AAS），同理，ABQBCO，OCDM=105，OBMCOM+OC=2105，ABQBCO，AQOB=2105，BQOC=105，OQOBBQ=105，点A的坐标为（-105，2105），将点A的坐标代入到反比例函数解析式中得，k=-45，故答案为：-456如图，矩形ABCD中，AB10，BC12，M为AB中点，N为BC边上一动点，将MNB沿MN折叠，得到MNB，则CB的最小值为8【解答】解：由折叠可知，
7、BMBM，M是AB的中点，AB10，BMBM5，B在以M为圆心，BM为半径的圆上运动，连接CM，当M、B、C三点共线时，CB有最小值MCBM，BC12，在RtBCM中，MC=BM2+BC2=52+122=13，CB的最小值为1358，故答案为87如图，ABC中，ACB90，sinA=513，AC12，将ABC绕点C顺时针旋转90得到ABC，P为线段AB上的动点，以点P为圆心，PA长为半径作P，当P与ABC的边相切时，P的半径为15625或10213【解答】解：如图1中，当P与直线AC相切于点Q时，连接PQ设PQPAr，PQCA，PQCA=PBAB，r12=13-r13，r=15625如图2中，
8、当P与AB相切于点T时，易证A、B、T共线，ABTABC，ATAC=ABAB，AT12=1713，AT=20413，r=12AT=10213综上所述，P的半径为15625或102138设互不相等的非零实数a，b，c满足a+3b=b+3c=c+3a，求(a+3b)2+(b+3c)2+(c+3a)2的值【解答】解：令a+3b=b+3c=c+3a=k，则ab+3bk，bc+3ck，ac+3ak，由ab+3bk，可得abc+3ckbck（ck3），即abc+3k（k23）c，同理可得：abc+3k（k23）a，abc+3k（k23）b，abc+3k（k23）abc+3k（k23）b，a，b，c为互不相
9、等的非零实数，k230，即k23，则(a+3b)2+(b+3c)2+(c+3a)2=3k2=9(a+3b)2+(b+3c)2+(c+3a)2=9=39如图，在ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F，ABmAF，ACnAE求：（1）m+n的值；（2）nm+1的取值范围【解答】解：（1）过点B作BGAC交EF于G，CGBD，D是BC的中点，DCBD，CDEBDG，DCEDBG（ASA），ECBG，ABAF=m，即AF-BFAF=m，1m=BFAF，ACAE=n，即AE+ECAE=n，n1=ECAE=BGAE，BGAC，FBGFAE，BFAF=BGAE，1mn1，m+n2
10、（2）nm+1=2-mm+1=3m+1-1，点F在AB的延长线上，AFAB，0m1，1m+12，121m+11得，123m+1-12，12nm+1210如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3），B（4，0）（1）求过点C的反比例函数表达式；（2）设直线l与（1）中所求函数图象相切，且与x轴，y轴的交点分别为M，N，O为坐标原点求证：OMN的面积为定值【解答】（1）解：点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），OA3，OB4在RtAOB中，OA3，OB4，AB=OA2+OB2=5.四边形ABCD为菱形，BCy轴，且BCAB5，点C的坐标为（4，5）点C在反比例函数y
11、=kx的图象上，k（4）（5）20，过点C的反比例函数表达式为y=20x（2）证明：设直线l的解析式为ymx+n（m0），将ymx+n代入y=20x得：mx+n=20x，整理得：mx2+nx200直线l与反比例函数y=20x的图象相切，n24m（20）0，n280m当x0时，ym0+nn，点N的坐标为（0，n）；当y0时，mx+n0，解得：x=-nm，点M的坐标为（-nm，0）SOMN=12|n|-nm|n22m|40，OMN的面积为定值11如图，已知抛物线yx2+2bx+2c（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（1，0）（
12、1）点B的坐标为 （2c，0）（结果用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线yx2+2bx+2c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是BC下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S求S的取值范围【解答】解：（1）将点A的坐标为（1，0）代入yx2+2bx+2c，12b+2c0，yx2+2bx+2b1令y0，则x2+2bx+2b10，解得x1或x12b，点A位于点B的左侧，B（2c，0），故答案为：（2c，0）；（2）令x0，则y2c，C（0，2b1），B（1
13、2b，0），设直线BC的解析式为ykx+b，h=2b-10=k(1-2b)+h，k=1b=2b-1，yx+2b1，AEBC，AE的直线解析式为yx+1，联立方程组y=x+1y=x2+2bx+2b-1，整理得x2+（2b1）x+2b20，解得x1或x22b，E（22b，32b），设DC的直线解析式为ykx+h，2k+h=0h=2b-1，解得k=12-bh=2b-1，直线DC的解析式为y（12-b）x+2b1，C，D，E三点在同一直线上，32b（12-b）（22b）+2b1，解得b1或b=-32，c=12或c2，c0，b=-32，c2，抛物线的解析式为yx23x4；（3）由（2）可得直线BC的解析
14、式为yx4，B（4，0），过点P作PQy轴交直线BC于点Q，设P（t，t23t4），则Q（t，t4），PQt4t2+3t+4t2+4t，S=124（t2+4t）2t2+8t2（t2）2+8，点P是BC下方，0t4，当t2时，S有最大值8，0S812如图1，P为第一象限内一点，过P、O两点的M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，OPA45（1）求证：PO平分APB；（2）作OHPA交弦PA于H；若AH2，OH+PB8，求BP的长；若BPm，OHn，把POB沿y轴翻折，得到POB（如图2），求AP的长【解答】证明：（1）连接AB，如图1：AOB90，AB是直径，APB90，OPA45，OPBA
15、PBOPA904545，OPAOPB，PO平分APB；（2）OABOPB45，OBAOPA45，OBAOAB，OAOB，将AOH绕点O逆时针旋转90，得到BOC，如图2：AHBC2，AHOC90，OAHOBC，四边形APBO是圆内接四边形，OAH+PBO180，OBC+PBO180，点C，点B，点P共线，AHOC90APB，四边形OCPH是矩形，CPOH，AHBCCPBPOHBP2，而BP+OH8，BP3，OH5；将AOP绕点O逆时针旋转90得到BOQ，连接BQ，PQ，如图3：OHAP，OPA45，POHOPA45，PHOHn，OP=2n，OAOB，OA=OB，BPOOPA45，把POB沿y轴翻折，得到POB，OPOP=2n，BPBPm，BPOBPO45，将AOP绕点O逆时针旋转90得到BOQ，OQOP=2n，QOP90，PQ2n，QPO45，QPB90，BQ=PB2+PQ2=4n2+m2，AP=4n2+m2
