1、静海一中2017-2018第一学期高三数学（理12月）提高卷1. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， ， 是椭圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】试题分析：（1）依题意得解得，.所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为：，于是联立方程， .由直线与椭圆交于不同两点和知， 试题解析：（1）设椭圆的方程为，.依题意得解得，.所以椭圆的方程为.（2）假
2、设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为：，于是联立方程， .由直线与椭圆交于不同两点和知， ，.令， ， ，由题知，.从而，根据向量与共线，可得，这与矛盾.故不存在符合题意的直线.点睛：首先要熟悉椭圆得定义及其性质，对于直线和椭圆得综合问题要做到求直线，联立写韦达定理，然后将题意中的等式化为与韦达定理有关得表达式，然后将其代入化简求解，在进行运算时要格外小心认真，对于存在性问题则要先假设结论成立，通过题意找出矛盾即可2. 已知函数，函数的导函数为若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；若，求证：当时， 恒成立；(3)若当时， 恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) ;(2)详见解
3、析;(3) .解析： 因为直线与曲线恒相切于同一定点，所以曲线必恒过定点，由，令，得，故得曲线恒过的定点为. 因为，所以切线的斜率， 故切线的方程为，即. 因为，所以令，设，在上单调递增， 当时，即在上恒成立， 在上单调递增，因为，故当时， 即恒成立； 令，则.，当时，因为，所以在上单调递增，故，因为当时， ，所以在上单调递增，故.从而，当时， 恒成立. 当时，由可得，所以在上单调递增，故.从而，当时， 恒成立. 当时， 在上单调递增，所以当时， 在内取得最小值.故必存在实数，使得在上，即在上单调递减，所以当时， ，所以在上单调递减，此时存在，使得，不符合题设要求. 综上所述，得的取值范围是. 说明：也可以按以下方式解答：当时， 在上单调递增，所以当时， 在内取得最小值，当时， ，所以，故存在，使得，且当时， ，下同前述的解答.点睛：本题主要考查了导数的运用：利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，转化为求函数的最值问题，注意运用导数求单调区间和最值，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题，因此正确的运用导数的性质是解题的关键.
