1、专题48 韦达定理与根的判别式一、利用根的判别式求字母的取值范围【典例】已知方程x22|x|150，则此方程的所有实数根的和为（）A0B2C2D8【解答】解：当x0时，方程化为：x22x150，即（x+3）（x5）0，x+30，x50，解得x13（舍去），x25，当x0时，方程化为：x2+2x150，即（x3）（x+5）0，x30，x+50，解得x33（舍去），x45，当x0时，方程不成立此方程的所有实数根的和为：5+（5）0或原方程可化为：（|x|5）（|x|+3）0，即|x|50，|x|+30，|x|5，|x|3（舍去），解得x5或5，此方程的所有实数根的和为：5+（5）0故选：A【巩固】
2、关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m210有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m210有两个不相等的实数根，b24ac（2m+1）24（m21）4m+50，解得：m-54，即m的取值范围是m-54；（2）由（1）知：当m-54时，方程有两个不相等的实数根，m为不大于1的整数，m0，1，1，又m0时，方程x2+x10的根不是整数，当m1时，则方程为x2x0，解得：x11，x20，即当m1时，方程的解是x11，x20当m1时，则方程为x2+3x0
3、，解得：x13，x20，即当m1时，方程的解是x13，x20二、利用根的判别式求最值【典例】满足（x3）2+（y3）26的所有实数对（x，y）中，yx的最大值是多少？【解答】解：设ykx，则直线ykx与圆（x3）2+（y3）26相切时k有最大值和最小值，把ykx代入（x3）2+（y3）26，得（1+k2）x26（k+1）x+120，36（k+1）2412（1+k2）0，即k26k+10，解此方程得，k3+22或322所以yx=k的最大值是3+22【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：分式2x+8x+2(x0)的最大值是多少？解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=2(x+2)+4x+2=2+4x
4、+2，因为x0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2的最大值是4，即2x+8x+2(x0)的最大值是4根据上述方法，试求分式2x2+10x2+2的最大值是 【解答】解：2x2+10x2+2=2x2+4+6x2+2=2(x2+2)+6x2+2=2+6x2+2，x20，x2+2的最小值为2，6x2+2的最大值为3，2+6x2+2的最大值为5，分式2x2+10x2+2的最大值是5，故答案为：5三、韦达定理与根的判别式综合【典例】若关于x的一元二次方程（m4）x2+（2m1）x+10的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是 【解答】解：根据题意得m40且（2m1）24（
5、m4）0，解得m4，x1+x2=-2m-1m-4，x1x2=1m-4，s=1x1+1x2=x1+x2x1x2=-2m+1，由于m4，所以s7故答案为s7【巩固】已知关于x的一元二次方程2x24mx+2m2+3m20有两个实数根（1）求实数m的取值范围；（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值【解答】解：（1）一元二次方程2x24mx+2m2+3m20有两个实数根，b24ac（4m）242（2m2+3m2）0，24m+160，m23，实数m的取值范围为23；（2）x1+x22m，x1x2=12（2m2+3m2），x12+x22（x1+x2）22
6、x1x2（2m）2212（2m2+3m2）2m23m+22（m-34）2+78，m23，2334，当m=23时，x12+x222（23-34）2+78=89，当m=23时，x12+x22有最小值，最小值是89巩固练习1如果方程（x1）（x22x+m）0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A0m1B34mC34m1D34m1【解答】解：方程（x1）（x22x+m）0有三根，x11，x22x+m0有根，方程x22x+m0的44m0，得m1又原方程有三根，且为三角形的三边和长有x2+x3x11，|x2x3|x11，而x2+x321已成立；当|x2x3|1时，两边平方得：（x2+
7、x3）24x2x31即：44m1解得m3434m1故选：D2关于x的方程（k1）2x2+（2k+1）x+10有实数根，则k的取值范围是（）Ak14且k1Bk14且k1Ck14Dk14【解答】解：当k10，即k1时，此方程为一元二次方程关于x的方程（k1）2x2+（2k+1）x+10有实数根，（2k+1）24（k1）2112k30，解得k14；当k10，即k1时，方程为3x+10，显然有解；综上，k的取值范围是k14，故选：D3已知m，n是方程x2-5x+10的两个根记S1=11+m+11+n，S2=11+m2+11+n2，St=11+mt+11+nt（t为正整数）若S1+S2+Stt256，则
8、t的值为（）A7B8C9D10【解答】解：m，n是方程x2-5x+10的两个根，m+n=5，mn1，S1=11+m+11+n=1+m+1+n(1+m)(1+n) =2+(m+n)1+m+n+mn =2+51+1+5 1，S2=11+m2+11+n2=1+m2+1+n2(1+m2)(1+n2) =2+(m+n)2-2mn1+(m+n)2-2mn+(mn)2 =2+5-21+5-2+1 1，St=11+mt+11+nt=1，S1+S2+Stt256，1+1+1t256，tt256，t2t560，（t8）（t+7）0，解得：t8或t7（舍去）故选：B4若关于x的一元二次方程12x22mx4m+10有
9、两个相等的实数根，则（m2）22m（m1）的值为 【解答】解：由题意可知：4m22（14m）4m2+8m20，m2+2m=12，（m2）22m（m1）m22m+4=-12+4=72，故答案为：725设下列三个一元二次方程：x2+4ax4a+30；x2+（a1）x+1+a20；x2+2ax2a+30，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有16a2+16a-120(a-1)2-4(a2+1)04a2-4(3-2a)0，解得-32a12故答案为：a-32或a126已知关于x的一元二次方程（12k）x22k+3x10有两个不相等的实数根，则k的取值范
10、围 【解答】解：关于x的一元二次方程（12k）x22k+3x10有两个不相等的实数根，1-2k0k+30=(-2k+3)2-4(1-2k)(-1)0，解得：3k4且k12故答案为：3k4且k127关于x的一元二次方程x2+ax10的两个根分别为m、n，则（x+1）2+a（x+1）10的根为 【解答】解：关于x的一元二次方程x2+ax10的两个根分别为m、n，m2+am10，n2+an10，设x+1m或n，则（x+1）2+a（x+1）10，（x+1）2+a（x+1）10的根为xm1或n1，故答案为：xm1或n18已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y2x）2=13，求x+y的值【解答】解：
11、由（2x+1）2+y2+（y2x）2=13，得（3x+1）2+3（xy）20，则3x+1=0x-y=0，解得 x=-13y=-13，故x+y=-13-13=-239已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（ba）0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【解答】解：（1）ABC是等腰三角形，理由：当x1时，（a+b）2c+（ba）0，bc，ABC是等腰三角形，（2）ABC是直角三角形，理由：方程有两个相等的实数根，
12、（2c）24（a+b）（ba）0，a2+c2b2，ABC是直角三角形；（3）ABC是等边三角形，abc，原方程可化为：2ax2+2ax0，即：x2+x0，x（x+1）0，x10，x21，即：这个一元二次方程的根为x10，x2110如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+ca（xt）（x2t）ax23atx+2t2a，所以有b2-92ac0；我们记“Kb2-92ac”即K0时，方程ax2+bx+c0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题
13、：（1）方程x2x20；方程x26x+80这两个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；（2）若（x2）（mx+n）0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2-mx+23n0（m0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y3x8的图象上，求此倍根方程的表达式【解答】解：（1）在方程x2x20中，K（1）2-921（2）100；在方程x26x+80中，K（6）2-92180是倍根方程的是x26x+80故答案为：（2）整理（x2）（mx+n）0得：mx2+（n2m）x2n0，（x2）（mx+n）0是倍根方程，K（n2m）2-92m（2n）0，4m2+5mn+n20（3
14、）x2-mx+23n=0是倍根方程，K=(-m)2-9223n=0，整理得：m3nA（m，n）在一次函数y3x8的图象上，n3m8，n1，m3，此方程的表达式为x2-3x+23=011设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+30有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x226，求m值；（2）求mx121-x1+mx221-x2的最大值【解答】解：方程有两个不相等的实数根，b24ac4（m2）24（m23m+3）4m+40，m1，结合题意知：1m1（1）x12+x22（x1+x2）22x1x24（m2）22（m23m+3）2m210m+106m=5172，1m1，
15、m=5-172；（2）mx121-x1+mx221-x2=mx12+x22-x1x2(x1+x2)(1-x1)(1-x2)=m(2m3-8m2+8m-2)m2-m=2m(m-1)(m2-3m+1)m(m-1)=2(m2-3m+1)=2(m-32)2-52（1m1）对称轴m=32，20，当m1时，式子取最大值为1012如果方程x2+px+q0的两个根是x1，x2，那么x1+x2p，x1x2q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p4，q3，求方程x2+px+q0的两根（2）已知实数a、b满足a215a50，b215b50，求ab+ba的值；（3）已知关于x的方程x2+mx+n0，（n0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数【解答】解：（1）当p4，q3，则方程为x24x+30，解得：x13，x21（2）a、b满足a215a50，b215b50，a、b是x215x50的解，当ab时，a+b15，ab5，ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2-2abab=152-2(-5)-5=-47；当ab时，原式2（3）设方程x2+mx+n0，（n0），的两个根分别是x1，x2，则1x1+1x2=x1+x2x1x2=-mn，1x11x2=1x1x2=1n，则方程x2+mnx+1n=0的两个根分别是已知方程两根的倒数
