1、专题48 韦达定理与根的判别式一、利用根的判别式求字母的取值范围【典例】已知方程x22|x|150，则此方程的所有实数根的和为（）A0B2C2D8【解答】解：当x0时，方程化为：x22x150，即（x+3）（x5）0，x+30，x50，解得x13（舍去），x25，当x0时，方程化为：x2+2x150，即（x3）（x+5）0，x30，x+50，解得x33（舍去），x45，当x0时，方程不成立此方程的所有实数根的和为：5+（5）0或原方程可化为：（|x|5）（|x|+3）0，即|x|50，|x|+30，|x|5，|x|3（舍去），解得x5或5，此方程的所有实数根的和为：5+（5）0故选：A【巩固】
2、关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m210有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根二、利用根的判别式求最值【典例】满足（x3）2+（y3）26的所有实数对（x，y）中，yx的最大值是多少？【解答】解：设ykx，则直线ykx与圆（x3）2+（y3）26相切时k有最大值和最小值，把ykx代入（x3）2+（y3）26，得（1+k2）x26（k+1）x+120，36（k+1）2412（1+k2）0，即k26k+10，解此方程得，k3+22或322所以yx=k的最大值是3+22【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：分
3、式2x+8x+2(x0)的最大值是多少？解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=2(x+2)+4x+2=2+4x+2，因为x0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2的最大值是4，即2x+8x+2(x0)的最大值是4根据上述方法，试求分式2x2+10x2+2的最大值是 三、韦达定理与根的判别式综合【典例】若关于x的一元二次方程（m4）x2+（2m1）x+10的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是 【解答】解：根据题意得m40且（2m1）24（m4）0，解得m4，x1+x2=-2m-1m-4，x1x2=1m-4，s=1x1+1x2=x1+x2x1x2=-2m+1，
4、由于m4，所以s7故答案为s7【巩固】已知关于x的一元二次方程2x24mx+2m2+3m20有两个实数根（1）求实数m的取值范围；（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值巩固练习1如果方程（x1）（x22x+m）0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A0m1B34mC34m1D34m12关于x的方程（k1）2x2+（2k+1）x+10有实数根，则k的取值范围是（）Ak14且k1Bk14且k1Ck14Dk143已知m，n是方程x2-5x+10的两个根记S1=11+m+11+n，S2=11+m2+11+n2，St=11+mt
5、+11+nt（t为正整数）若S1+S2+Stt256，则t的值为（）A7B8C9D104若关于x的一元二次方程12x22mx4m+10有两个相等的实数根，则（m2）22m（m1）的值为 5设下列三个一元二次方程：x2+4ax4a+30；x2+（a1）x+1+a20；x2+2ax2a+30，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 6已知关于x的一元二次方程（12k）x22k+3x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围 7关于x的一元二次方程x2+ax10的两个根分别为m、n，则（x+1）2+a（x+1）10的根为 8已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y2x）2=13，求x+y的值9
6、已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（ba）0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根10如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+ca（xt）（x2t）ax23atx+2t2a，所以有b2-92ac0；我们记“Kb2-92ac”即K0时，方程ax2+bx
7、+c0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程x2x20；方程x26x+80这两个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；（2）若（x2）（mx+n）0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2-mx+23n0（m0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y3x8的图象上，求此倍根方程的表达式11设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+30有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x226，求m值；（2）求mx121-x1+mx221-x2的最大值12如果方程x2+px+q0的两个根是x1，x2，那么x1+x2p，x1x2q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p4，q3，求方程x2+px+q0的两根（2）已知实数a、b满足a215a50，b215b50，求ab+ba的值；（3）已知关于x的方程x2+mx+n0，（n0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数
