1、山西省怀仁市大地学校2020-2021学年高一数学下学期第三次月考试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将答题卡交回。第卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数（位虚数单位）在复
2、平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数3. 已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 124. 已知非零向量，若，且，则的夹角为A. B. C. D. 5. 设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6. 已知
3、圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D. 7. 已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A. 16B. 13C. -8D. -16.8. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是A. 者B. 事C. 竟D. 成 9. 已知向量不共线，若，则A. 12 B. 9 C. 6 D. 310. 如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为5，10），10，15），15，20. 估计样本数据的第60百分位数是A. 14 B. 15 C. 16D. 1711. 已知正方体ABCDA1B1C1D
4、1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面，满足CP平面，则平面与正方体ABCDA1B1C1D1的截面周长为A. B. C. D. 12. 若圆锥W的底面半径与高均为1，则圆锥W的表面积等于A. B. C. D. 第卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若复数满足方程，则. 14如图，在平行四边形ABCD中，分别为AD，AB上的点，且，交于点.若，则的值为. 15.向量是单位向量，则 16. 如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值，最大值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题
5、满分10分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图. （1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在50，60）与60，70）中的学生人数；18. （本小题满分12分）如图，在矩形中，和分别是边AC和BC上的点，满足，若，其中R，求的值. 19. （本小题满分12分）已知在四面体中，点分别为棱上的点，且. （）当时，求证：平面；（）当变化时，求证：平面平面. 20. （本小题满分12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱中，是的中点. （1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值. 21. （本小题满分12分）“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多
6、年的栽培历史. 明代万历十一年（1583年）的肥城县志载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护. 某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理. 根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个（xN，0x240），销售利润为y元. （）求y关于x的函数关系式；（）结合上述频率分
7、布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650元的概率. 22. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，分别是 的中点. （1）求证：平面；（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积. 大地学校高一数学第三次月考试题答案一、单选题（本大题共12小题，共60分）1. 复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解：复数为虚数单位在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限故选D2在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，
8、52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A平均数B标准差C众数D中位数【分析】根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论【解答】解：设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yixi5，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选：B3已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为 A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】本题考察直观图与原图的关系，以及棱
9、柱的体积公式，属于基础题依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案【解答】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，且，故故答案选C4已知非零向量，若，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0由向量垂直可得，结合数量积的定义表达式可求出，又，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小【解答】解：因为，所以，因为，所以，故选：B5设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是 A. 若，则B. 若，则C.
10、若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解【解答】解：若，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，则或，故C错误；若，则，或，或b与相交，故D错误故选：B6已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力
11、设底面半径为，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案【解答】解：如图所示，设底面半径为， 与圆锥底面所成角为，母线PA，PB所成角的余弦值为，故选：C7已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为 A. 16B. 13C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题根据方差的性质直接计算可得结果【解答】解：由方差的性质知：新数据的方差为：故选：A8如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（ ） A者B事C竟D成【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，进一步求出结果【
12、解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体如图所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面构成对面关系故选：A9已知向量不共线，若，则m（ ）A12B9C6D3【分析】由向量平行的性质得3+m+（m+2），由此能求出m【解答】解：向量不共线，3+m+（m+2），解得1，m3故选：D10如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为5，10），10，15），15，20估计样本数据的第60百分位数是（ ） A14B15C16D17【分析】由频率分布直方图，根据样本数据的百分位数列方程求出即可【解答】解：由频率分布直方图知，第1组的频率为0.0450.2，第2组的频率为0.1050.5，
13、设样本数据的第60百分位数是x，则0.2+0.10（x10）0.6，解得x14，所以估计样本数据的第60百分位数是14故选：A11已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面，满足CP平面，则平面与正方体ABCDA1B1C1D1的截面周长为（ ） A4B12C8D8【分析】取 AD 中点 E，AB 中点 F，连接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，先证明 E，F，B1，D1四点共面，再由 EFCP，D1ECP 证明 CP平面 EFB1D1可知平面 EFB1D1为平面 与正方体 ABCDA1B1C1D1的截面，根据正方体的棱长即可求得 EFB1D1的周长【解
14、答】解：取 AD 中点 E，AB 中点 F，连接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，如下图所示： E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，则 EFBD，BDB1D1所以 EFB1D1所以 E，F，B1，D1四点共面根据正方形性质可知 CD平面 ADD1A1，而 D1E平面ADD1A1，所以 CDD1E，AD1DEDAP，可知ED1DPDA，而PDA+PDD190，所以ED1D+PDD190，即 PDD1E为 CDPDD，所以 D1E平面 PDC，而CP平面 PDC，所以 D1ECP；E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，由正方形和正方体性质可知EFAC，PAEF，且 PAACA，所以
15、 EF平面 PAC，而 CP平面 PDC，所以 EFCP，又因为 D1ECP，D1EEFE所以 CP平面 EFB1D1即平面 EFB1D1为平面 与正方体 ABCDA1B1C1D1的截面，正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 4所以 EFB1D1的周长为 B1D1+D1E+EF+B1F，故选：A12若圆锥W的底面半径与高均为1，则圆锥W的表面积等于（ ）ABC2D【分析】求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积和表面积【解答】解：圆锥的轴截面如图所示，则圆锥的母线为l，所以该圆锥的侧面积为S侧面积rl1，圆锥的表面积为S表面积S侧面积+S底面积+12（+1）故选：A 二、填空题（本大题共4小题，
16、共20分）13若复数z满足方程，则 【答案】【解析】【分析】本题考查复数的计算，属基础题根据题意可得，然后根据复数的乘法可得结果【解答】解：由，则，所以，所以，故答案为：14如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为 【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属基础题用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值【解答】解：根据题意，因为三点共线，所以，解得故答案为15向量是单位向量，|2，则| 【分析】由题意可得，进行向量的模的运算带入求值即可得答案【解答】解：；|故答案为：16如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设
17、点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值 ，最大值 【答案】,11【解析】【分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题。由题意，直线OP与平面所成的角的最小值为和中的最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出的取值范围，再确定其最值【解答】解：连接，因为，平面，所以平面，又平面所以平面平面，所以直线OP与平面所成的角的最小值为和中的最小者，不妨设，在中， ，所以的取值范围为，所以的最小值为，最大值为1，故答案为：；1三、解答题（本大题共6小题，共70分）22(10分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图
18、（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在50，60）与60，70）中的学生人数； 【分析】（1）根据频率分布直方图求出a的值；（2）由图可知，成绩在50，60）和60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求【解答】解：（1）根据直方图知组距10，由（2a+3a+6a+7a+2a）101，解得a0.005（2）成绩落在50，60）中的学生人数为20.00510202，成绩落在60，70）中的学生人数为30.00510203 17（12分）如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，若，其中，R，求，的值
19、 【答案】解：因为，在矩形OACB中，又 ，所以，所以【解析】本题考查平面向量基本定理，属于基础题根据题意得出，则，由此即可求出结果18（12分）已知在四面体ABCD中，ABAC，DBDC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，且BMMC，DF2FB，DG2GC，AEAD（01）（）当时，求证：AM平面EFG；（）当变化时，求证：平面ADM平面EFG 【分析】（）当时，推导出EFAB，EGAC，从而平面ABC平面EFG，由此能证明AM平面EFG（）推导出AMBC，DMBC，BCGF，从而BC平面ADM，GF平面ADM，由此能证明当变化时，平面ADM平面EFG【解答】证明：（）当
20、时，四面体ABCD中，ABAC，DBDC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BMMC，DF2FB，DG2GC，EFAB，EGAC，又EFEGE，ABACA，平面ABC平面EFG，AM平面ABC，AM平面EFG（）ABAC，DBDC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BMMC，DF2FB，DG2GC，AEAD（01）AMBC，DMBC，BCGF，AMDMM，BC平面ADM，GFBC，GF平面ADM，GF平面EFG，当变化时，平面ADM平面EFG 19（12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点求证：平面求直线与平面所成角的正弦值【答案】证明：直
21、三棱柱中，平面ABC，平面ABC，D是BC的中点，又，BC、平面，平面解：如图，连接，由可知，平面，则即为直线与平面所成角，因为平面，平面，所以，在中，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题由题意，可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题由题意，可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解20（12分）“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史明代万历十一年（15
22、83年）的肥城县志载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个（xN，0x240），销售利润为y元（）求y关于x的函数关系式；（）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不
23、小于650元的概率 【分析】（1）先利用各组频率之和为1，求出a的值，再利用每组区间的中点值乘以该组的频率依次相加，即可估算出平均数；（2）（ i）分情况讨论，得到y关于x的分段函数的函数关系式即可；（ ii）利润y650，当且仅当日需求量x140，240 由频率分布直方图求出x140，240的频率，以频率估计概率的思想，能估计当天利润y不小于650元的概率【解答】解：（1）由题意可知：（0.00125+a+0.0075+0.00625+a+0.0025）401，解得a0.00375；所以平均数 （200.00125+600.00375+1000.0075+1400.00625+1800.00
24、375+2200.0025）400.0520+0.1560+0.3100+0.25140+0.15180+0.1220124；（2）（ i）当x150，240时，y150（2015）750，当x0，150）时，y（2015）x（150x）（1510）10x750，故y，（xN）；（ ii）由（ i）可知，利润y650，当且仅当日需求量x140，240由频率分布直方图可知，日需求量x140，240的频率约为 0.125+0.15+0.10.375，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650元的概率为0.37521（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABAA16，
25、AC8，D，E分别是AC，CC1的中点（1）求证：AB1平面BDC1；（2）若异面直线AB与A1C1所成的角为30，求三棱锥C1BDE的体积 【分析】（1）如图，连接B1C，交BC1于点F，连接DF，由已知结合三角形中位线定理可得DFAB1，再由直线与平面平行的判定定理，证明AB1平面BDC1；（2）由ACA1C1，可得BAC即为异面直线AB与A1C1所成的角为30，求三角形ABC的面积，得到三角形DBC的面积，然后分别求出三棱锥C1BCD，EBCD的体积，再由求解【解答】解：（1）证明：如图，连接B1C，交BC1于点F，连接DF，在ACB1中，由于D为AC的中点，F为B1C的中点DF为ACB1的中位线，DFAB1，DF平面BDC1，AB1平面BDC1，AB1平面BDC1；（2）ACA1C1，BAC即为异面直线AB与A1C1所成的角，异面直线AB与A1C1所成的角为30，BAC30，D是AC的中点，又CC1平面ABC，CC16，E是CC1的中点，即三棱锥C1BDE的体积为6
