1、专题3.9 函数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2023全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则的最小值是（）ABC1D2【答案】A【分析】先求得时，函数的值域为，结合函数为奇函数，求得函数的值域，进而求得其最小值.【详解】当时，函数，当时，；当时，所以函数在上的值域为因为是上的奇函数，所以的值域为，所以的最小值是.故选：A.2（2023春北京高二北京市第一六六中学校考期中）若函数的零点的个数是（）A0B1C2D3【答案】C【分析】先求
2、出定义域，再求导，得到函数单调性，并结合特殊值及零点存在性定理得到答案.【详解】的定义域为R，且，当或时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，又，故函数的零点的个数为2.故选：C3（2023全国高三专题练习）已知，则（）ABCD【答案】B【分析】由指对数的性质判断大小关系即可.【详解】由，所以.故选：B4（2023秋江苏扬州高三校考阶段练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出函数在区间上为减函数的的取值范围，结合与的关系求出答案【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为减函数，必须满足，因为是的子集，所以“
3、”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件.故选：A5（2023春黑龙江大庆高三大庆实验中学校考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD【答案】A【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可.【详解】因为为奇函数，所以有，因为为偶函数，所以有，所以函数的周期为，由，由，由，故选：A【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键.6（2023全国高三专题练习）蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式蒸发是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中
4、一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）若该液体在10时蒸发速度是0.2 L/h，在20 时蒸发速度是0.4 L/h，则该液体在40时蒸发速度为（）翻译这两句信息，可得方程组这就是将文字信息翻译或数学语言的体现A0.5 L/hB0.6 L/hC0.8 L/hD1.6 L/h【答案】D【分析】根据已知条件联立方程组，求出，利用函数值的定义和指数的运算性质即可求解.【详解】由题意可知，两式相除得，所以，当时，所以该液体在40时蒸
5、发速度为1.6 L/h故选：D7（2023江西新余统考二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（）A，为奇函数B，在上单调递增C，在上单调递增D，有最小值1【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可.【详解】由题意易得定义域为R，即为偶函数，故A错误；令，则且随增大而增大，此时，由对勾函数的单调性得单调递增，根据复合函数的单调性原则得在上单调递增，故B正确；结合A项得在上单调递
6、减，故C错误；结合B项及对勾函数的性质得，故D错误.故选：B.8（2023春云南文山高一校联考期中）设数，若有四个实数根，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】画出分段函数的图像，结合题意，利用数形结合的方法即可求解.【详解】作出函数的图象如图所示，由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，且，由图可知，点，关于直线x5对称，则，由图可知， ，由可得，所以 ，则有，所以，令，在上为减函数，且， ，故，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（202
7、2海南校联考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）ABCD【答案】AC【分析】对于选项A和C，都满足定义域关于原点对称且，所以是偶函数，令能解出实数解，所以存在零点；对于选项B，不满足，所以函数不是偶函数；对于选项D，令不能解出实数解，所以不存在零点.【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点，故选项A正确.对于选项B，因为，所以该函数不是偶函数，故选项B错误.对于选项C，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点，故选项C正确.对于选项D，令，即，无实数解，所以函数不存在零点，故选项D错误.故选：AC10（2023春浙江
8、高三校联考期中）已知函数，则下列判断错误的是（）A是奇函数B的图像与直线有两个交点C的值域是D在区间上是减函数【答案】AB【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确；函数图象与直线有一个交点，故B错误；函数的值域为，且在区间上是减函数，即C、D正确；故选：AB11（2022秋河南南阳高三校考期末）已知函数fx=2x1,x1,x22,x1,函数有四个不同的零点，且，则（）A的取值范围是B的取值范围是CD【答案】AC【分析】结合的图象，由图可知，由二次函数的对称性，可得，可得答案.【详解】有四个不同的零
9、点，即方程有四个不同的解 的图象如图所示，由图可知，所以，即的取值范围是，由二次函数的对称性，可得因为，所以，故故选：AC.12（2023春辽宁本溪高三校考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是（）AB为奇函数C在上为减函数D方程仅有6个实数解【答案】BD【分析】根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A错误，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确.【详解】因为为偶函数，所以，所以，即，因为为奇函数，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以，即函数的一个周期为.在中，令，得，在中，令，得，
10、又，所以，故A错误；因为，所以，所以，从而为奇函数，故B正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，所以在上单调递增，在上不为减函数.故C错误；因为为奇函数，所以的图象关于点对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，又当时，作出与的大致图象，如图所示.其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13（2023秋贵州黔西高三统考期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_.【答案】【分析】根据奇偶性得到，再根据单调性得到恒成立，之后参变分离，求出的取值范围.【详解】解：
11、因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立，所以，即，又因为，所以在上是单调递减函数，则有恒成立，即恒成立，令，则，所以，所以的取值范围是.故答案为：.14（2023全国高三专题练习）_.【答案】19【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.【详解】.故答案为：1915（2023江苏南京统考二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数_【答案】（答案不唯一）【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取，则定义域为R，且，满足.故答案为：.16（2022秋江苏南通高三江苏省南通中学校考阶段练习）已知函数的值域为.则实数的取值范围是_.【答案】或【分析】根据题意可得 能取到所
12、有的正数，采用换元法令，则可得能取到所有的正数，讨论a的取值，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】若使得函数的值域为R，令，则能取到所有的正数，令，令，则能取到所有的正数，当，即时，在时递增，故需满足，即，当，即时，需满足，即，解得 综合以上可得实数a的取值范围是或，故答案为：或四、解答题：本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知定义在上的函数是偶函数.(1)求的值；(2)求函数在其定义域上的最值.【答案】(1)，；(2)最小值为，最大值为.【分析】（1）根据函数为偶函数及定义域可得，求解可得，根据偶函数的定义可得的值；（2）由(1)得函数的解析式及定义域可
13、得函数的图象，即可得函数的最值.【详解】（1）是偶函数,函数的定义域关于原点对称.又函数的定义域为,解得.又,所以,可得.（2）由(1)得函数的解析式为,定义域为，其图象是开口方向朝上，对称轴为的抛物线，当时，当时，.18（2023秋四川眉山高一校考期末）（1）计算：；（2）已知，求的值【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值，即可求得答案；（2）根据对数的运算法则化简求值，可得的值，再结合指数的运算即可求得答案.【详解】（1）原式（2），所以19已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,.(1)求;(2)求证:为上的增函数;(3)解不等式.【答案】(1)(2)证
14、明见解析(3)【分析】（1）利用赋值法,先令求出;令,可求得;再令,可求得;（2）设,根据单调性定义结合当时,证明即可;（3）将转化为,再根据（2）的结论,列不等式组求解即可.【详解】（1）因为,令,则,解得,令,则,令,则,所以.（2）设,因为当时,则,令,则,即,所以,根据单调性定义,为上的增函数.（3）因为在上为增函数,又,所以,解得,即原不等式的解集为.20已知函数(1)判断的奇偶性;(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；(3)若方程在区间上恰有1个实根，求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见解析；(3)【分析】(1)根据奇偶性的定义求解；(2)根据单调性的定
15、义证明；(3)先求出 的值域，令 ，将原方程等价于直线 与函数 只有一个交点即可.【详解】（1）因为，定义域为R，又 ，所以 是奇函数；（2）函数单调递增，设 ，则有： ，因为 ，所以，即，所以函数单调递增；（3）由于 是单调递增的，当 时， ，令 ，则 等价于方程 在 时有一个根，也就等价于函数 与直线 在时有一个交点，函数图象如下：，当 时， ，当 时， ，由图可知：当 时满足题意；综上，实数的取值范围为 .21（2023春湖南长沙高二湖南师大附中校考期中）已知关于x的函数，其中(1)当时，求的值域；(2)若当时，函数的图象总在直线的上方，为整数，求的值【答案】(1)(2)或1【分析】（1
16、）用换元法转化函数为二次函数在部分区间的值域问题，由二次函数的单调性计算即可；（2）分离参数将问题转化为恒成立，计算在上的最大值后解一元二次不等式即可.【详解】（1）当时，令，则，显然该二次函数在上单调递增，所以的值域为（2）由题可知，在上恒成立，又易知在上单调递增所以，因此，解得，又为整数，所以或122（2023秋江苏扬州高一校考阶段练习）已知函数（且）是偶函数(1)求实数a的值；(2)求函数的值域【答案】(1)；(2).【分析】（1）由为偶函数可得对都有，代入得，求解即可；（2）由（1）可得，从而可得，令（当时取等号），再结合二次函数的单调性即可求解.【详解】（1），因为为偶函数，所以对都有，即恒成立，即恒成立，解得.（2）由（1）可知，所以，令（当时取等号），则，所以所求函数为，则函数在上单调递增，所以，即函数的值域为.
