1、专题验收评价专题3.4 平面向量及其应用内容概览A常考题不丢分题型一 平面向量数量积运算题型二 平面向量线性运算题型三平面向量综合应用C挑战真题争满分题型一平面向量数量积运算一、单选题1（2023湖南郴州统考一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）ABCD【答案】B【分析】由已知可求出，再利用投影向量的计算公式，可得答案.【详解】由，则，则，则向量在向量上的投影向量为.故选：B2（2023浙江绍兴统考模拟预测）已知向量满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【分析】根据向量的模长可得，进而由夹角公式即可求解.【详解】由得，将代入可得，所以，所以，由于，所以，故选：B3（2023四
2、川绵阳绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知向量满足，与的夹角为，则等于（）A3BC21D【答案】D【分析】根据数量积的定义求出，由，结合向量数量积的运算律计算可得.【详解】，.故选：D.4（2023四川攀枝花统考模拟预测）在平面四边形中，则的最大值为（）ABC12D15【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求出C的轨迹方程，根据向量数量积及C点坐标的范围得最值.【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，因为，所以，即，设，由可知，点的轨迹为外接圆的一段劣弧，且，即外接圆半径，设外接圆的方程为，代入点可得，解得或（舍去），即点的轨迹方程为，所以，即，又，当时，此时点在劣弧上，满足题意
3、，故的最大值为12.故选：C二、多选题5（2023河北唐山统考二模）已知向量，下列命题成立的是（）A若a/b，则B若，则C若，则D设，当取得最大值时，【答案】AD【分析】若，则，结合两角差的正弦公式即可判断A；若，则，再结合二倍角的正弦公式及正弦函数的值域即可判断B；若，则，再结合二倍角的余弦公式即可判断C；求出再结合两角差的余弦公式即可判断D.【详解】对于A，若，则，即，所以，即，故A正确；对于B，若，则，即，即，因为，所以，所以，所以，所以，故B错误；对于C，由，得，即，即，则，则或，所以或，故C错误；对于D，则，当取得最大值时，此时，所以，故D正确.故选：AD.6（2023全国模拟预测）
4、已知点，则下列说法正确的是（）AB若，则C若，则D若，的夹角为锐角，则且【答案】AC【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，选项A：，所以A正确；选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误；选项C：因为，所以，所以，所以C正确；选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得，所以D错误.故选：AC7（2023广东广州高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦A
5、C，BD均过点P，则下列说法正确的是（）A为定值B的取值范围是C当时，为定值D时，的最大值为12【答案】ACD【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F则，故A正确取AC的中点为M，连接OM，则，而故的取值范围是故B错误；当时，故C正确当时，圆O半径取AC中点为，中点为，则，最后等号成立是因为，不等式等号成立当且仅当，故D正确故选:ACD.题型二平面向量线性运算1（2023上辽宁高三校联考阶段练习）在中，则（）ABCD【答案】D【分析】根据题意画出图形并根据线段比
6、例利用向量的加减法则计算即可求出结果.【详解】因为，所以M是位于BC上的靠近点B的四等分点，N为AC的中点，如下图所示：所以.故选：D2（2023贵州六盘水统考模拟预测）已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点O，P，N依次是的（）A重心，外心，垂心B重心，外心，内心C外心，重心，垂心D外心，重心，内心【答案】C【分析】根据和外心性质可判断O为的外心；对变形，结合向量线性运算可判断点P为中线的交点，即为重心；由移项，结合数量积的性质可判断点N在的高上，即为垂心.【详解】因为，所以点O到三个顶点的距离相等，所以O为的外心；记BC的中点为D，因为，所以，所以P，A，D三点共线，故点P在中线AD上
7、，同理，点P也在的另外两条中线上，即点P为中线的交点，即为重心；如图，作，因为，所以，所以，所以点N在BE上，同理，点N在的另外两条高上，即为高的交点，所以N为的垂心.故选：C3（2023陕西西安西安市大明宫中学校考模拟预测）已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解的中点的轨迹方程，根据向量的运算可得，再结合点与圆的位置关系，即可求解.【详解】圆的圆心坐标，半径，设圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，即，解得，设的中点为，点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，的轨迹方程为，因为，又，即,即的取值范围为 .故选：C
8、4（2023广西统考一模）如图，在ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，则的最小值为（）AB1CD4【答案】B【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果【详解】由于M为线段BC的中点，则又，所以，又，所以，则因为三点共线，则，化得由当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1故选：B题型三平面向量综合问题一、单选题1（2023河南校联考模拟预测）在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为（）ABCD8【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的
9、最小值.【详解】因为是边上的点，满足，则，所以，因为在线段上（不含端点），则存在实数，使得，所以，又因为，且、不共线，则，故，因为，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.2（2023重庆统考三模）已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（）ABCD【答案】D【分析】将向量的起点平移到原点，设向量，的终点分别为，将化为，得点在以为直径的圆上，利用圆的知识可求出结果.【详解】将向量的起点平移到原点，设向量，的终点分别为，则，由得，得，则点在以为直径的圆上，因为均为单位向量，且夹角为，不妨设，则，所以以为直径的圆的圆心，半径为，又，所以，即的最大值为.故选：D3
10、（2023安徽阜阳安徽省临泉第一中学校考三模）在中，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（）A12BCD【答案】A【分析】画出图分析，将的最大值转化为点到圆上一点距离的最大值求解即可.【详解】如图：取BC，BD中点E，G，可知，且，取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为，故的最大值为12.故选：A.一、单选题1（2023全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则（）AB3CD5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，
11、所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.2（2023全国统考高考甲卷）已知向量，则（）ABCD【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，所以.故选：B.3（2023全国统考甲卷）已知向量满足，且，则（）ABCD【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,.故选:D.4（2022全国统考乙卷）已知向量，则（）A2B3C4D5【答案】D【分
12、析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D5（2022全国统考高考乙卷）已知向量满足，则（）ABC1D2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：，又9，故选：C.6（2022全国统考卷）已知向量，若，则（）ABC5D6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,即,解得,故选：C二、填空题7（2023全国统考高考卷）已知向量，满足，则 【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则
13、，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.8（2022全国统考高考甲卷）已知向量若，则 【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.9（2022全国统考高考甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且，则 【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：10（2021全国统考高考乙卷）已知向量，若，则 【答案】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
14、解方程可得：.故答案为：.11（2021全国统考高考乙卷）已知向量，若，则 【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出【详解】因为，所以由可得，解得故答案为：12（2021全国高考甲卷）若向量满足，则 .【答案】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】.故答案为：.13（2021全国统考高考甲卷）已知向量若，则 【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.14（2021全国统考高考卷）已知向量， 【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.
