1、专题3.17 构造直角三角形解决问题【方法】当题目中出现直角，而不具备直角三角形时，常常通过构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；或当题目中没有直角时，也常常通过构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。1在中，求的长2如图，在等腰三角形中，点D是中点，点E是的中点，连接(1) 求证：；(2) 求的面积3在中，为边上的高，且，求的周长4在中，边上的高，求另一边的长5已知四边形中，为中点，且，(1) 求的值；(2) 求直线与直线的距离 6在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中千米，千米，千米，千米(1)求小溪流
2、的长(2)求四边形的面积（结果保留根号）7如图，在ABC中，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动，设点P的运动时间为t秒（）(1) 斜边上的高是 (2) 若点P在的角平分线上，则t的值为 (3) 在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值（提示：三角形的两边中点的连线等于第三边的一半） 8如图正方形中，点E是对角线上任意一点，连接(1) 求证：；(2) 当时，求的度数；(3) 如图，过点E作交于点F，当时，若求的长 9如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”(1) 如图，在中，求证：是“美丽三角形”；(2) 在中，若是“美丽
3、三角形”，求的长10如图，在中，为边上的中线，求证： 11已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，经测量， ， ，求这块空地的面积？ 12某学校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，则学校修建这个花园需要投资多少元？ 13如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上(1) 判断与间的数量关系，并说明理由；(2) 直接写出线段、间满足的数量关系 14如图，在 中， 为 的中点， 交 于点 ， 交 于点 ，且 ，过点 A 作交 的延长线于点 (1) 求证：(2) 若 ，求线段 的长15如图，在ABC中，以为一边作正方形
4、，过点D作交延长线于点F，连接，求的长16已知：如图，中，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接(1) 设，用含的代数式表示的大小，并求的度数；(2) 用等式表示线段，之间的数量关系，并证明17【问题提出】如图，在中，若，求边上的中线的取值范围【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断由此得出中线的取值范围是_【应用】如图，在中，为边的中点，已知，求的长【拓展】如图，在中，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接已知，直接写出的长18【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问
5、题：如图，中，若，求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，依据是_A；B；C；D由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_【初步运用】（2）如图，是的中线，交于，交于，且若，求线段的长【灵活运用】（3） 如图，在中，为中点，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论参考答案1【分析】过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而根据勾股定理求得，根据已知得出是等腰直角三角形，进而即可求得，根据，即可求解解：如图所示，过点作于点，是等腰直角三角形，【点拨】本题考查了根据勾股
6、定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键2(1)见分析；(2)48【分析】（1）连接，证明是直角三角形，即可求出答案；（2）用勾股定理求出的长，即可求解解：（1）证明：连接，如图所示，在中，E是的中点，是直角三角形，又D是的中点；（2）解：E是的中点，在中，；【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键3的周长为或【分析】根据题意画出图形，在，中，勾股定理分别求得，分类讨论（当在线段上时，在的延长线上时），即可求解解：如图所示，当在线段上时，为边上的高，在中，,，在中，的周长为当在的延长线上时，如图，
7、则的周长为【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键410或6【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，再由图形求出，在锐角三角形中，在钝角三角形中，解：如图，锐角中，边上高，在中，由勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得：，则，故的长为；（2）钝角中，边上高， 在中，由勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得：，则，故的长为综上可得的长为10或6【点拨】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般5(1)；(2)【分析】（1）延长交的延长线于点，由平行线的性质可得，再由中点可得，可判定，则有，再由垂直可得，
8、利用勾股定理即可求，从而可求解；（2）利用三角形的面积可求得点到的距离，即可求与的距离（1）解：延长交的延长线于点，如图，为中点，在与中，；（2）过点作，如图，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键6(1)小溪流的长为7千米；(2)平方千米【分析】（1）连接，利用勾股定理进行求解即可；（2）利用勾股定理逆定理，得到为直角三角形，利用两个直角三角形的面积之和即为四边形的面积，进行求解即可（1）解：连接，千米，千米，(千米)；答：小溪流的长为7千米（2）解：千米，千米，为直角三角形，四边形的面积平方千米【点拨】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理
9、的实际应用熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键7(1)4.8；(2)；(3)或或10s或9.5s【分析】（1）先在中，由勾股定理得：；再设斜边上的高为，等面积法求得斜边上的高为；（2）当点在的角平分线上时，过点作，证明，在中，由勾股定理得：勾股定理即可求解（3）当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，当点在线段上时，此时是等腰直角三角形，当点在线段上时，若，分类讨论画出图形，即可求解解：（1）在中，由勾股定理得：；设斜边上的高为，斜边上的高为；故答案为：；（2）当点在的角平分线上时，过点作，如图：平分，在和中，又，在中，由勾股定理得：即，解得：故答案为：（3）由图可知，当是等腰三角形时，点必在
10、线段或线段上，当点在线段上时，此时是等腰直角三角形，此时，；当点在线段上时，若，则点运动的长度为：，；若，如图，过点作于点，则，在中，在中，由勾股定理得：，点运动的长度为：，；若，如图所示，过点作于点，则，为的中位线，在中，由勾股定理得：，点运动的长度为：，综上，的值为或或或【点拨】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键8(1)见详解；(2)；(3)【分析】（1）证明即可求证；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求得；（3）过点作，证明，在四边形中求出，证明是等边三角形，即可求出的长解：（1）证明：在和中，（2），；（3）过点作，在
11、和中，在四边形中，又，又，是等边三角形，设，则，是等腰直角三角形，解得，【点拨】此题考查了正方形的性质、三角形全等、勾股定理，解题的关键是综合运用正方形的性质、三角形全等、勾股定理的知识点9(1)详见分析；(2)或【分析】（1）作的中线，根据三线合一得出，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义即可得出结论；（2）作的中线，根据是“美丽三角形”,得出 ，根据勾股定理求得；作的中线，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义得出，进而即可求解解：（1）证明：如图，作的中线， ，是的中线，在中，由勾股定理得，是美丽三角形.（2）解:如图，作的中线，是“美丽三角形”,当时，则 ,由勾股定理得如图作的中线，是“美丽
12、三角形”,当时则，在中，由勾股定理得 ，则，解得， 综上：或【点拨】本题考查了三角形中线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键10见分析【分析】倍长中线，即延长至点E，使得，连接证明，得到，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即，从而，得证解：证明：如图，延长至点E，使得，连接，为边上的中线，又，又，【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，三角形全等的证明，“倍长中线”是解题常用的方法11【分析】根据勾股定理求得，根据逆定理判定，进一步根据面积公式求解解：连接，如图所示：在中，在中，而，即，；答：这块空地的面积为【点拨】本题考查勾股定理及逆定理的综合运用，正确的选择运用勾股定理或其逆定理是解题的关
13、键12元【分析】过A作于D，则，设米，则米，在和中，由勾股定理得，进而求得，利用三角形的面积公式即可求解解：过A作于D，则，设米，则米，在和中，由勾股定理得，则，解得，（米），（平方米），则总造价元，答：学校修建这个花园需要投资元【点拨】本题考查勾股定理的应用，根据题意，作高构造直角三角形求解是解答的关键13(1)见分析；(2)，理由见分析【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出；（2）证明，得出，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证解：（1）理由如下，和都是等腰直角三角形，；（2），如图所示，连接，由（1）可得，在四边形中，是直角三角形，又是等腰直角三角形，即,又，【点拨】
14、本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键14(1)见分析；(2)【分析】（1）欲证，观察这两条线段可放在与中，设法证明这两个三角形全等，结合与D为的中点，即可得证（2）欲求得的长度，设法将已知线段与所求的联系在一起，连续后，根据，得出，再结合，把所求的线段与已知线段集中在直角中，由勾股定理可求得的长，也就是的长度，从而使问题得解解：（1）证明： 是 的中点， ， ， （2）解：连接 ， ， ， ， 在 中， ， 且 ， 【点拨】本题考查了全等三角形的证明、勾股定理的运用、等腰三角形的中线等相关知识点，善于将已知量、未知量通过等量关系转换是解
15、本题的关键15或【分析】根据题意画出两个图形，过点A作于点M，再利用勾股定理得出的长，再证明，根据全等三角形的性质可得结论解：分两种情况：过点A作于点M，如图1所示， 由勾股定理得，四边形是正方形， ，又，在和中，根据勾股定理可得：；如图2所示，同理可得，又四边形是正方形 ， ，在和中，根据勾股定理可得：综上所述，BF的长为或【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键16(1)，；(2)，证明见分析【分析】（1）由轴对称的性质得，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；（2）过C作于C交的延长线于点
16、M，证明，得CM=CF，再证明，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论解：（1）A、E关于直线对称，（2）线段，之间的数量关系过C作于C交的延长线于点MA、E关于对称又，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键17问题解决：；应用：；拓展：【分析】问题解决：证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而得结论；应用：延长到，使得，连接，证明得，再证明，由勾股定理求得，进而得；拓展：延长到，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得解：问
17、题解决：如图所示，延长到点，使，再连接，是边上的中线，在和中，故答案为：；应用：如图所示，延长到，使得，连接，是的中点，在和中，；拓展：如图所示，延长到，使得，连接， ，即，故答案为：【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键18（1）A，；（2）7；（3），证明见分析【分析】（1）证明，即可求解；根据得出，根据三角形三边关系得出，进而即可求解；（2）如图，延长至，使，连接，证明，根据即可求解；（3）延长到点，使，连接，证明，得出，进而得出，在中，根据勾股定理得出，等量代换即可求解（1）解：在和中，故选：A； 由（1）得：，在中，即，故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，是的中线，又， （3）解：线段、之间的等量关系为：； 延长到点，使，连接，如图所示：，是的中点，在和中，即，在中，由勾股定理得：，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键
