1、专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆
2、也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。模型1、运动轨迹为直线1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线2）如图，在APQ中AP=AQ，PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。理由
3、：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。3）确定动点轨迹的方法（重点）当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求
4、线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。例1（2022湖南湘西统考中考真题）如图，在RtABC中，A90，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CGAB，交HM的延长线于点G，若AC8，AB6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A24B22C20D18例2（2023黑龙江绥化统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点连接，将绕点顺时针旋转得到连接，则周长的最小值是 例3（2023河南洛阳统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BC上运动（含B、C两点）连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60得到AF，连接DF，则线段DF长度的
5、最小值为_例4（2022山东泰安统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（）ABC3D例5（2023陕西西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得 t为任意实数，等式恒成立， ，这条直线的函数表达式为请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是
6、直线l，求直线l的函数表达式问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知，且，则点C的坐标为_结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值例6（2023河南新乡统考一模）如图，在菱形中，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接若的最小值为3，则的长为_例7（2023四川雅安统考中考真题）如图，在中，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 例8（2023安徽合肥校考一模）如图，中，点D是边上一动点，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到线段，连接，若，则的长的最小值为（）ABC1D课后专项训练1（2021
7、四川广元中考真题）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（）AB1CD2（2023上福建厦门九年级校考期中）如图，长方形中，E为上一点且，F为边上的一个动点连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（）AB3CD3.（2023上江苏扬州九年级校联考期中）如图，正方形的边长为4，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点，按逆时针排序），则长的最小值为（）ABC4D4（2023上河北保定九年级校考期中）如图，在中，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于
8、点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（）AB5CD5（2023上山西临汾九年级统考期中）如图，在中，点，分别是，边上的动点，连结，分别是，的中点，则的最小值为（）A12B10C9.6D4.86（2023上广东广州九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（）ABCD7（2022江苏徐州市三模）如图，中，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为_8（2023上湖北武汉九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 9（202
9、3上湖南长沙九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 10（2023上内蒙古呼和浩特九年级统考期中）如图，已知中，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 11（2023上福建三明八年级统考期中）如图，在长方形中，为边上的点，且为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，设中点为，则的最小值为 12（2022贵州毕节中考真题）如图，在中，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_13（2022广东东莞二模）如图，已
10、知等腰三角形PAB，BAP45，ABAP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _14（2022江苏宿迁三模）如图在ABC中，ACB90，A30，BC2D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰RtDCE，使CED90，连接BE，则线段BE的最小值为_15（2023陕西师大附中三模）如图，正方形中，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为_16（2022浙江绍兴二模）如图，在ABC中，AB5，BC=3，AC4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，PQC90，则RtPQC的外心运动的路径长为
11、 _，BQ的最小值为 _17（2023江苏盐城三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，连接线段，则线段的最小值为_18（2023重庆巴南九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，BAD120，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60得到线段EF，连接AF、BF，则ABF的周长的最小值是_19（2022河南南阳二模）如图所示，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，连接CE，则CE长的最小值是_20（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？最短线段是_，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，_ （2）小试牛刀：如图2所示，中，则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为_（3）尝试应用：如图3所示是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60得到BE，连接PE、DE、CE请直接写出DE的最小值在的条件下求的面积（4）拓展提高：如图4，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE，请求出AE的最小值
