1、专题 29 方程思想 例 1.-1 提 示：a、b 是 方 程01)(dxcx的 两 个 根，由 根 的 性 质 得)(1)(bxaxdxcx）（，将 x=-c 代入上式得1=(ca)(cb)，即(a+c)(b+c)=1 例 2 B 例 3 A 提示：解法一：42423xx，22222()()3xx 又 y4+y2=3，即（y2)2+y2=3，且220 x，y20，220 x，y2 是一元二次方程 t2+t3=0 的两个不等实根由韦达定理，222yx=1，222 yx=3，4222422422()2()yyyxxx=1+6=7 解法二：x20，y20，由已知条件得212444 311384x
2、，y2=114 311322 ，4224224223367yyyxxx 例 42,3,4xyxzyzxyxzyz，1112xy，1113xz 1114yz+得 2111234x，解得 x=247;+得 2111243y，解得245y；+得2111342z，解得 z=247x+5y2z=0 例 5 分当 BP 14 AB，14 AB BP 12 AB，BP=12 AB 三种情况讨论当 BP=40 40640,5,21 11231 时，HDE 为等腰三角形 例 6 由题意得222612abcababcabcSab 由得 2ca+b+c=63c，2c3 由有（a+b)2=(6c)2，将代入得 3C=
3、9s，有 63cy，则有()10()25yxyxxy，10D 提示：由已知得 a4+3a21=0，211()3()10bb，a2，1b 是方程 x2+3x1=0 的根又由 a2b 1得a2 1b，由 根 与 系 数 关 系 得a2+1b=3，2ab=1，6326222331111()()336a baaaabbbbb 1122263xxyy 提示：设22222xxyymxxyy，则22mxy，(x+y)=62m，x，y 是方程262022mmzz的两个实根由0 得 m23，又26()02mxy，263m 12sinCBF=23，BC=10 提示：；连结 OE，DF，则 OEBF，AE：EF=A
4、O：OB=3：1，OE：BF=3：4，AE=3EF，AO：AB=3：4 设 OB=r，则 AO=3r，BF=43 r，AD=2r 由 AEAF=ADAB 得EF=63 r在 RtABC 中，BC2=CFCE=4（4+EF）=AC2AB2，解得 r=7 64，sinCBF=sinBDF=FBDB 13设 DP=x，则 PC=21x ，AB=211xx又设 y=ABSABP=2(1)2(1)xx，即 x2+2(1y)x+1+2y=0由0 得 y4，故 ABSABP 的最小值为 4 14由题设知 x1=a1，x2=a2 是一元二次方程（x+b1）(x+b2)1=0 的两根，（x+b1）(x+b2)1
5、=（x1a1）(x2a2)令x=b1，得（a1+b1）(a2+b1)=1；令 x=b2，得（a1+b2）(a2+b2)=1 15设 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1x2，则 x1，x2 是方程 ax2+bx+c 的两根，x1+x2=ba0，x1x2=ca0，则 x10，x20.方程有两个不相等的实根，=b2-4ac0，得 b2 ac.11OAx，21OBx，即-1x10，-1x20，12 1cx xa ，得 c02(1)(1)0abc ，得 b2 ac+12()ac1由得ac1a c+1，即 a（c+1）2（1+1）2=4，a5又 b2ac 2 5 1 4，b5取 a=5，b=5，c=
6、1 时抛物线 y=5x2+5x+l 满足题设条件，故 a+b+c 的最小值为 5+5+l=ll.16.设 y=m2，（x-90）2=k2，m，k 都是非负数，则 k2-m2=7701=14907，即(k+m)（k-m）=7701=14907.7017kmkm 或49071kmkm，解得11354,347;km222454,2453.km11444,120409;xy22264,120409;xy 3325446017209xy4423646017209xy“好点”共有 4 个，它们的坐标分别为：（444，120409）（-264,120 409），(2 544,6 017 209)，（-2 3
7、64,6 017 209）17得()()bcaacbabc abcbccaab =8 222222()()()bcaacbabcbccaab=8 222222()()()44bcacababcbccaab =0 222222()()()bcacababcbccaab=0 ()()()()()()bca bcacba cbaabc abcbccaab =0()()()()bcaa bcab cabc abcabc =0 222()(2)0bcaababcabc 22()()0bcacababc ()()()0bca cab cababc 故 b-c+a=0 或 c+a-b=0 或 c-a+b=0
8、，即 b+a-c=0 或 c+a-b=0 或 c-a+b=0 因此以a b c 为三边长可以构成一个直角三角形 18设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k，则安装在前轮的轮胎每行驶 lkm 磨损量为 5000k，安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 3000k，又设一对新轮胎交换位置前走了 xkm，交换位置后走了 ykrn 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程有 5000300050003000kxkykkykxk两式相加，得()()250003000k xyk xyk，则237501150003000 xy.19.连结 AC，BC，O1E，O2F，设 A D=a,BD=b.O2与 AB，CD 相切，O2F=DF=x，AF=AD+DF=a+x.在 RtOFD2 中，OF2=OO22-O2F2，易证2111O FAFBF，即 111xaxbx，化简得x2+2ax-ab=0,x=-a+2aba，AF=2aba=()a ab，AF2=a（a+b）=AD AB=AC2，AF=AC.同理，BE=BC.ECF=ACF+BCE-ACB=CFE+CEF-90=180-ECF-90，ECF=45
