1、专题26.5 反比例函数章末七大题型总结（培优篇）【人教版】【题型1 反比例函数k的几何意义】1【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】7【题型3 反比例函数的图像与性质的运用】10【题型4 反比例函数与一次函数图象的综合判断】14【题型5 反比例函数与一次函数图象的交点问题】18【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】25【题型7 反比例函数与一次函数的其他综合运用】32【题型1 反比例函数k的几何意义】【例1】（2023春湖南衡阳九年级校考期中）如下图，过反比例函数y=2x（x0）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=kx（x0）于点B，连接OA、OB若SAOB=3，则k
2、的值为（）A4B-2C-4D-1【答案】C【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出SAOC，再求出SBOC，进而求出k的值即可【详解】解：点A在反比例函数y=2x（x0）的图像上，且ABy轴，SAOC=122=1，又SAOB=3，SBOC=3-1=2，12k=2，而k0，k=-4故选：C【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的关键【变式1-1】（2023春江苏无锡九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有一个62的矩形ABCD网格，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，反比例函数y=-32xx0的图像经过格点F，同时还经过矩形ABCD的边
3、CD上的G点，连接EG,FG，则EFG的面积为 【答案】47【分析】根据题意可得xF-xE=4，从而得到点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，进而得到点G的横坐标为72，可求出点G到EF的距离为1-57=27，即可求解【详解】解：根据题意得：xF-xE=4，反比例函数y=-32xx0的图像经过格点F，点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，建立平面直角坐标系，如图所示，点G的横坐标为72，对于y=52xx0，当x=72时，y=57，点G到EF的距离为1-57=27，EFG的面积为12274=47故答案为：47【点睛】本题
4、考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的图象和性质是解决问题的前提【变式1-2】（2023秋河南开封九年级开封市第十三中学校考期末）如图，点A是反比例函数y=mx(x0)图象上一点，ACx轴于点C，与反比例函数 y=nx(x0)图象交于点B，AC3BC，连接OA，OB，若OAB的面积为2，则m+n=（）A-4B-8C-10D-12【答案】B【分析】根据反比例函数的性质可知SAOC=-12m，BCOC=-n，再根据反比例函数的面积关系解答即可【详解】解：点A是反比例函数y=mx(x0)图象上一点，设点Ax,mx，ACx轴于点C，点Cx，0SAOC=12xmx=12
5、m，m0，SAOC=-12m,AC3BC，AB=AC-BC=2BC，SOAB=12ABOC=122BCOC=BCOC点B在反比例函数y=nx(x0)图象上，n0，BCOC=n=-n，OAB的面积为2，BCOC=-n=2，-n=2，即n=-2，SBOC=12BCOC=122=1，SAOC=SBOC+SOAB=3，-12m=3，m=-6，m+n=-6+-2=-8，故选B【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键【变式1-3】（2023春黑龙江大庆九年级校考期末）如图，A、B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PBy轴，PAx轴，下列说法正确的是（）A
6、OPBOP；SAOP=SBOP；若OA=OB，则OP平分AOB；若SBOP=2，则SABP=8ABCD【答案】B【分析】由点P是动点，可判断出错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出；利用角平分线定理的逆定理可判断；先求出S矩形OMPN=2，进而得出mn=2，最后用三角形的面积公式解答即可【详解】解：点P是动点，BP与AP不一定相等，BOP与AOP不一定全等，故不正确；设P(m,n)，PBy轴，B(m,6m),A(6n,n)，AP=6n-mSAOP=12|6n-m|n=12|6-mn|同理：SBOP=12|6m-n|m=12|6-mn|SAOP=SBOP；故
7、正确；如图，过点P作PFOA于F，PEOB于E，SBOP=12OBPE,SAOP=12OAPFSAOP=SBOP，OBPE=OAPFOA=OB，PE=PF，PEOB,PFOAOP是AOB的平分线，故正确；如图，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，AMy轴，BNx轴，四边形OMPN是矩形，点A，B在双曲线y=6x上，SAMO=SONB=3，SBOP=2，SPMO=SPNO=1，S矩形OMPN=2，mn=2，m=2nBP=6m-n=|3n-n|=2|n|，AP=6n-m=4|n|SAPB=12APBP=122|n|4|n|=4故错误；故选：B【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反
8、比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例2】（2021春江苏常州九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过三个点（3，4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m0，当y1y24时，则m 【答案】1【分析】先根据反比例函数的图象经过点（3，4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1122m6m，y2126m2m，然后根据y1y24列出方程6m2m4，解方程即可求出m的值【详解】解：设反比例函数的解析式为ykx，
9、反比例函数的图象经过点（3，4），k3（4）12，反比例函数的解析式为y12x，反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2），y1122m6m，y2126m2m，y1y24，6m2m4，m1，经检验，m1是原方程的解故m的值是1，故答案为1【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键【变式2-1】（2023秋辽宁沈阳九年级统考期中）已知反比例函数y=kx(k0)，在每一个象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A(2,3)B(-2,3)C(0,3)D(-2,0)【答案】B【分析】根据反比例函数
10、性质求出k0，再根据k=xy，逐项判定即可【详解】解：反比例函数y=kx(k0)，且在各自象限内，y随x的增大而增大，,k=xy0，点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B.-231时，0y3D当x0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、D错误，符合题意；x=1时，y=3，且当x0时，y随x的增大而减小当x1时，0y3，故C正确，不符合题意，故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质【变式3-2】（2023秋河南平顶山九年级统考期末）点A-3,y1、B-1,y2、C2,y3都在反比例函数y=-6x的
11、图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1y3Dy3y1y2【答案】D【分析】根据反比例函数y=-6x的图像与性质，当-60时，在每一个象限内y随x的增大而增大，由于A-3,y1、B-1,y2在第二象限，-3-1，则0y1y2；C2,y3在第四象限，y30，从而得到答案y3y1y2【详解】解：点A-3,y1、B-1,y2、C2,y3都在反比例函数y=-6x的图像上，当-60时，在每一个象限内y随x的增大而增大， A-3,y1、B-1,y2在第二象限，-3-1， 0y1y2， C2,y3在第四象限，y30， y3y132时，x的取值范围是：_【答案】(1)x
12、1(2)12，3(3)见解析(4)x1=0，x2=2；1x3【分析】（1）根据分式有意义的条件进行求解即可；（2）分别把x=-1，x=32代入到函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案；（3）先描点，再连线即可；（4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可【详解】（1）解：y=1x-1+1要有意义，x-10，x1，故答案为：x1；（2）解：当x=-1时，y=1x-1+1=y=1-1-1+1=12，m=12，当x=32时，y=1x-1+1=y=132-1+1=3，n=3，故答案为：12，3；（3）解：如图所示，即为所求；（4）解：由下图函数图象可知，直线y=x与函数y=1x-1+1交于点0，
13、0和2，2，方程1x-1+1=x的解为x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2；由下图函数图象可知当1x3时，函数y=1x-1+1的图象在直线y=32的上方，当1x32，故答案为：1x0，y随x增大而增大，则y=kx-2的图像大致是（）ABCD【答案】D【分析】根据反比例函数y=kx(x0)，y随x增大而增大，得出k0，则y=kx-2中，y随x的增大而减小，结合-20)，y随x增大而增大，k0，y=kx-2中，y随x的增大而减小，-20，则-m0，一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意；B、反比例函数的图象在二、四象限可知当m0，一次函数的图象经过一，二，四象限，
14、与图象不符，故B不符合题意；C、由反比例函数的图象在可一、三象限知m0，则-m0，一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意；D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当m0，一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象比例系数的关系，掌握反比例函数和一次函数的比例系数的几何意义，是解题的关键 反比例函数y=kx，当k0时，图象分布在第一、三象限，当k0时，图象分布在第二、四象限【变式4-3】（2023春江苏苏州九年级校考期中）如图所示，满足函数y=kx-k和y=kxk0的大致图像是（）ABCD【答案】B【分析
15、】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案【详解】解：一次函数y=kx-k反比例函数y=kxk0的图象经过第二、四象限，k0，一次函数y=kx-k位于第一、二、四象限；故图错误，图正确；反比例函数的图象经过第一、三象限，k0；-k0的图象上(1)求m的值及直线AB的解析式y2=kx+b(2)当kx+bmxx0时，自变量x的取值范围是_(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数(4)请在右图中画出函数y3=mx的图象并写出当x=12时y1、
16、y2、y3的大小关系【答案】(1)m=6，y=-x+7(2)1x6(3)3个(4)画图见解析，y3y2y1【分析】（1）把点1,6代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b，即可求得直线AB的解析式；（2）由图象即可求得；（3）根据图象及解析式即可求得（4）根据题意，画出函数y=6x的图象，进而根据函数图象，即可求解【详解】（1）解：由图可知反比例函数过点1,6，将1,6代入y=mx，得m=6，反比例函数的表达式为y=6x将点6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b得：k+b=66x+b=1，解得k=-1b=7直线AB的表达式为y=-x+7（2）解：由图象
17、可知：当1x6时，kx+bmx故答案为：1x6（3）解：格点的横坐标x的取值范围为2x5且x为整数当x=2时，y=62=3，y=-2+7=5，此时格点的坐标为2,4当x=3时，y=63=2，y=-3+7=4，此时格点的坐标为3,3当x=4时，y=64=32，y=-4+7=3，此时格点的坐标为4,2当x=5时，y=65，y=-5+7=2，此时没有格点综上，所含格点的坐标为2,4，3,3，4,2，共3个，（4）解：如图所示，y3y20)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12x与旋转后的图象相交于B，则OAB的面积为 【答案】533【分析】反比例函数y=5
18、x(x0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45得点A，过点E作EFx轴于F，得出OA=OE=10，作BCx轴于C，设Bx，12x，并且OBC是由OKH绕点O顺时针旋转45得到的，则OH=OC=x，从而H22x，22x，可证出KGH是等腰直角三角形，得K的坐标，代入y=5x(x0)从而得出x的值，进而求得BC的长度，利用三角形面积公式解决问题【详解】解：设反比例函数y=5x(x0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45得点A，过点E作EFx轴于F，设Ea，5a，EOF=45，EF=OF，a=5a，a0，a=5，OA=OE=10，作BCx轴于C，OBC是由OKH绕点O顺时针旋转45得到的，点K在原反
19、比例函数图象上设Bx，12x，OH=OC=x，H22x，22x，过点H作GHx轴于H，KGx轴，KGH是等腰直角三角形，KH=BC=12x，KG=GH=24x，K22x-24x，22x+24x，即K24x，324x， 24x324x=5，解得x=2303或x=-2303（舍)， 12x=303，BC=303，SAOB=1210303=533故答案为：533【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键【变式5-3】（2023春湖南株洲九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y
20、1=kx+bk0的图象与反比例函数y2=mxm0的图象相交于第一，三象限内的A3，5，Ba，-3，与x轴交于点C(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值【答案】(1)反比例函数的解析式为y2=15x，一次函数的解析式为y1=x+2(2)32【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题；（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB-PC=BC最大，利用勾股定理即可求得最大值【详解】（1）解：把A3，5代入y2=mxm0，得m3=5，m=15，反比例函数的解析式为y2=15x，把点Ba，-3代入y2=15x，得1
21、5a=-3，解得：a=-5，B-5，-3，把A3，5，B-5，-3代入y1=kx+b，得3k+b=5-5k+b=-3，k=1b=2，一次函数的解析式为y1=x+2；（2）解：一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则y=0+2=2，一次函数与y轴的交点为P0，2，此时，PB-PC=BC最大，P即为所求，令y=0，则x=-2，C-2，0，如图，过B点向x轴作垂线，则D-5，0，BD=3，CD=-2-5=3，由勾股定理可得：BC=CD2+BD2=32+32=32，故所求PB-PC的最大值为32【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数
22、形结合是解题的关键【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例6】（2023春江苏宿迁九年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0x10和10x17，即可得到答案【详解】（1）解：设当20x45时，反比例函数的解析式为y=kx，将C(20,45)代入得：45=k20，解得k=900，反比例函数的解析式为y=900x，当x=45时，y=90045=20，D(45,20)，A(0,20)，即A对应的指标值为20；（
23、2）解：设当0x17，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0x10和20x45时的解析式【变式6-1】（2023秋吉林通化九年级统考期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：药物点燃后的时间x（分）6121824空气中的含药量y（毫克/立方米）12643(1)在如图所示平面
24、直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析(2)它们在同一个反比例函数图象上，反比例函数解析式为y72x(3)此次消毒能有效杀灭空气中的病菌【分析】（1）根据表格中的x、y的值分别为点的横纵坐标描点即可；（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同
25、一个反比例函数图象上设反比例函数解析式为y=kx，将（6，12）代入解析式求出k即可；（3）把y8代入y2x得x4，把y8代入y72x得x9，计算9454，即可判断此次消毒能有效杀灭空气中的病菌【详解】（1）解：如图所示：（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上设反比例函数解析式为y=kx，把（6，12）代入解析式得：k12672，反比例函数解析式为y72x，分别把（12，6），（18，4），（24，3）代入y72x中，都满足函数解析式，这些点都在反比例函数y72x的图象上；（3）把y8代入y2x得，82x，x4，把y8代入y72x得，72x8，x9，9454，此次消毒
26、能有效杀灭空气中的病菌【点睛】此题考查了求函数解析式，反比例函数图象的性质，反比例函数的实际应用，正确掌握反比例函数图象上点的特点求出反比例函数解析式是解题的关键【变式6-2】（2023秋河北邢台九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为20C，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温yC与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到80C时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温yC与开机时间x分钟成反比例函数关系）当水温降至30C时，热水器又自动以相同的功率加热至80C重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则（1）当0x15时，水温yC开机时间x分钟的函数表达式 ；（2）
27、当水温为30C时，t= ；（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y约为 【答案】 y=4x+20 40 1603C【分析】（1）设直线解析式为y=kx+b，结合图像点(0,20)，(15,80)代入即可得到答案；（2）设反比例函数解析式为y=kx，结合图像点(15,80)代入求出k，将y=30代入即可得到答案；（3）根据（1）（2）解析式得到从30加热到80，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案【详解】解：（1）设直线解析式为y=kx+b，将点(0,20)，(15,80)代入可得，b=2015k+b=80，解得k=4b=20，故答案为：y=4x+20；（2）
28、设反比例函数解析式为y=kx，将点(15,80)代入可得，k=1580=1200，y=1200x，当y=30时，30=1200x，解得x=40，故答案为40；（3）当y=30时，30=4x+20，解得x=2.5，从30加热到80，需要15-2.5=12.5分钟，40+12.5=52.5，60-52.5=7.5，15+7.5=22.5，将x=22.5 代入，y=1200x，可得y=120022.5=1603【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间【变式6-3】（2023春江苏南京九年级南师附中新城初中校考期末）如图，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分测量发现：A=E=90，AE=5，AB=DE=1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4
