1、专题26.2 反比例函数的图形与性质（二）【十大题型】【人教版】【题型1 反比例函数图象的对称性】1【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】6【题型3 两种函数图象的共存问题】8【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】11【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】18【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】24【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】32【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】42【题型9 反比例函数中的存在性问题】50【题型10 反比例函数中的规律问题】62【知识点 反比例函数图象的对称性】（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称
2、：对称轴为直线和直线【题型1 反比例函数图象的对称性】【例1】（2023春杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 【变式1-1】（2023春江苏九年级专题练习）如图，点A3a,-a是反比例函数y=kx的图象与O的一个交点，图中阴影部分的面积为4，则反比例函数的解析式为 【变式1-2】（2023春福建漳州九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxk0经过点A1,2，B2,m直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，DA求证：四边形ABCD是矩形【变
3、式1-3】（2023春江苏无锡九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx0的图象于A、B点，已知b-a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当SAPB=3时，b的值为 【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】【例2】（2023春湖南张家界九年级统考期中）已知反比例函数y（2m+1）xm2-5的图象在第一、三象限，求m的值【变式2-1】（2023春湖南衡阳九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A-3,8(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y=23【变式2-2】（2023春江苏苏州九年级统考期
4、中）若反比例函数y=(2m-1)xm2-2的图象在第二、四象限，则m的值是 【变式2-3】（2023春江苏南通九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数y1=(m+1)x3-m2的图象如图所示（1）求m的值；（2）当x1时，y的取值范围是 ；（3）当直线y2x与双曲线y1=(m+1)x3-m2交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2y1？【题型3 两种函数图象的共存问题】【例3】（2023春四川成都九年级成都外国语学校校考期中）若ab0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（）ABCD【变式3-1】（2023春浙江金华九年级校联考期中
5、）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【变式3-2】（2023春山东济南九年级统考期末）如图，关于x的函数y=-kx(k0)和ykxk，它们在同一坐标系内的图象大致是（）ABCD【变式3-3】（2023春江苏无锡九年级统考期末）已知一次函数ykxb，反比例函数y=kbx（kb0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（）ABCD【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】【例4】（2023春江苏泰州九年级统考期末）如图，一次函数y=-x+5与反比例函数y=kx(x0)的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，该反比例函数的图象关
6、于直线y=x-1对称后的图象经过直线y=-x+5上的点C，则线段AC的长度为 【变式4-1】（2023春江苏淮安九年级统考期末）正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=kx的图象有一个交点P的横坐标是2(1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；(2)直接写出y1y20的解集为_(3)根据图象，直接写出当-4x0)，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k1k2的值为 【变式4-3】（2023春江苏九年级期末）如图，已知线段AB，A2,1，B4,3.5，现将线段AB沿y轴方向向下平移得到线段MN直线y=mx+b过M、N两点，且M、N
7、两点恰好也落在双曲线y=kx的一条分支上，(1)求反比例函数和一次函数的解析式(2)直接写出不等式mx+b-kx0的解集若点P是y轴上一点，且PMN的面积为8.5，请直接写出点P的坐标(3)若点Cx1,a，Dx2,a-2在双曲线y=kx上，试比较x1和x2的大小【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】【例5】（2023春江西九年级统考期中）如图，直线y=-x+k与反比例函数y=kxx0的图像交于A，B两点，则下列结论错误的是（）AOA=OBB当A，B两点重合时，k=4C当k=6时，OA=26D不存在这样的k使得AOB是等边三角形【变式5-1】（2023春湖北鄂州九年级统考期末）如图，已知A(
8、1,y1)，B(2,y2)是反比例函数y=2x图象上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动，当|AP-BP|达到最大时，点P的坐标是 【变式5-2】（2023春江西上饶九年级校联考期末）如图，直线y=-x3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB=2AD，双曲线y=kx在第一象限经过C，D两点，则k的值是（）A6B274C272D27【变式5-3】（2023春全国九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，OBOA=2，AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C，当ACD面积为1时，k的值为（）A1
9、B2C3D4【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】【例6】（2023春浙江舟山九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，OAB的边OA在x轴正半轴上，其中OAB=90，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kxk0,x0的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若SOCD=32，则SBCDSOAD的值为（）A53B32C52D3【变式6-1】（2023春浙江宁波九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxk0,x0的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为62，则点C的坐标为 【变式6-2】（2023春浙江金华九年级
10、统考期末）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1，0，点D4，4在反比例函数y=kx(x0)的图像上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC、AE(1)求k、b的值(2)求ACE的面积(3)已知点M在反比例函数y=kx(x0)的图像上，点M的横坐标为m若SMAESACE，则m的取值范围为_【变式6-3】（2023春湖北襄阳九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于Aa,-2，B两点(1)求反比例函数的表达式；(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且ABC的面积是AOB面积的一半，求点C的横坐标；(3)
11、将AOB在平面内沿某个方向平移得到DEF(其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F)，若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】【例7】（2023春江苏镇江九年级统考期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”【尝试初探】（1）点C2，3_“美好点”（填“是”或“不是”）；若点D4，b是第一象限内的一个“美好点”，则b=_；【深入探究】（2）若“美好点”Em，
12、6m0在双曲线y=kx（k0，且k为常数）上，则k=_；在的条件下，F2，n在双曲线y=kx上，求SEOF的值；【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点Px，y是第一象限内的“美好点”求y关于x的函数表达式；在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数_（x0）的图像平移得到；结合图像研究性质，下列结论正确的选项是_；（多项选择）A图象与经过点2，2且平行于坐标轴的直线没有交点；By随着x的增大而减小；Cy随着x的增大而增大；D图像经过点10，32；对于图像上任意一点x，y，代数式2-xy-2是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由
13、【变式7-1】（2023春湖北荆州九年级统考期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2-xx的图象与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图列表：下表是x与y的几组对应值，其中m_；x-4 -3 -2 -1 -12121234y-32-53-2 -3 -5 31m-13-12描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象请你把图象补充完整；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；当x0时，y随x增大而_；（填“增大”或“减小”）函数y=2-xx的图象是由函数y=2x的图象向_平移_个
14、单位长度而得到；函数y=2-xx的图象关于点_成中心对称；（填点的坐标）(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=2-xx的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值【变式7-2】（2023春江苏扬州九年级统考期末）如图1，将函数y=kxx0的图像T1向左平移4个单位得到函数y=kx+4x-4的图像T2，T2与y轴交于点A0,a(1)若a=3，求k的值(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E求正方形ABCD的面积；直接写出点E的坐标【变式7-3】（2023春重庆沙坪坝九年级重庆南开中学校考期末）
15、在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：a=aa0-aa0)是不是王氏函数；(2)若y=1x (13x2)是王氏函数，求w的取值范围；(3)若y=x3 (axa+2,a0)是王氏函数，且w的最大值为27，求a的值【题型9 反比例函数中的存在性问题】【例9】（2023春福建泉州九年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A-2,0，点B0,2，直线AB与反比例函数y=kxx0的图象在第一象
16、限交于点Ca,4(1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，点E4,m是反比例函数y=kxx0图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使ACD的面积与ACE的面积相等，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由(3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标【变式9-1】（2023春四川成都九年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=kx与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）(1)当AB
17、=25时，求k的值；(2)点B关于y轴的对称点为C，连接AC，BC；判断ABC的形状，并说明理由；当ABC的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接AP，BP，使PAB的面积等于ABC面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【变式9-2】（2023春福建泉州九年级统考期末）如图，已知反比例函数y=k1x(x0)的图象与直线y=k2x+b将于交于A-1,6、B-6,m两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点，(1)求反比例函数及直线AB的解析式；(2)若SABC=25，求点C的坐标；(3)若点C的坐标为1,0，点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点
18、E，使得以点DEAB为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由【变式9-3】（2023春江苏淮安九年级统考期末）如图1，一次函数y=kx-52k0的图像与y轴交于点B，与反比例函数y=mxx0的图像交于点A8,32，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD(1)一次函数表达式为_；反比例函数表达式为_；(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到OCD若点O的对应
19、点O恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点O、D的坐标；如图3，在平移过程中，射线OC与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以O、D、FQ为顶点的四边形是菱形时，直接写出点O的坐标【题型10 反比例函数中的规律问题】【例10】（2023浙江衢州统考一模）如图14所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；（2）按照图1图2图3图4这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 （用含n的代数式表示）【变式10-1】（
20、2023辽宁抚顺统考三模）如图，点B1在反比例函数y=2x（x0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点C1的坐标为（1，0）取x轴上一点C2（32，0），过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1，依次在x轴上取点C3（2，0），C4（52，0）按此规律作矩形，则第n（n2，n为整数）个矩形）An-1Cn-1CnBn的面积为 【变式10-2】（2023山东日照二模）如图，已知点A是双曲线y5x在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是 【变式10-3】（2023春辽宁抚顺九年级统考阶段练习）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= （用含n的代数式表示）
