1、专题25 解三角形的综合应用【考点总结】1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比常用结论测量中的几种常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACBBC
2、a解直角三角形ABatan 底部不可达ACBADBCDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACBACbBCa用余弦定理AB河两岸ACBABCCBa用正弦定理AB河对岸ADCBDCBCDACDCDa在ADC中，AC在BDC中，BC在ABC中，应用余弦定理求AB【易错总结】(1)方向角与方位角概念不清；(2)仰角、俯角概念不清；(3)不能将空间问题转化为解三角形问题例1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为()A北偏西5 B北偏西10C北偏西15 D北偏西20解析：
3、选B.易知BA30，C在B的北偏西40的方向上，又403010，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10.例2在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC_答案：130例3江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部所连的线成30角，则两条船相距_m.解析：由题意画示意图，如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)答案：10【考点解析】【考点】一、求距离、高度问题例1、(1)(2020福建宁德5月质
4、检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_(2)(2020吉林长春质量监测(四)海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈
5、高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为_步(注：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)【解析】(1)由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21
6、600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80.故图中海洋蓝洞的口径为80.(2)因为AHBC，所以BCFHAF，所以.因为AHDE，所以DEGHAG，所以.又BCDE，所以，即，所以HB30 750步，又，所以AH1 255(步)【答案】(1)80(2)1 255求距离、角度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可以用，就选择更便于计算的定理 【变式】1.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段
7、长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_m.解析：由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，所以AQB30，所以ABBQ.又PB为公共边，所以PABPQB，所以PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900，所以P，Q两点间的距离为900 m.答案：900【变式】2为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得BDC60，BCD75，CD40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30，且CE1 m，则发射
8、塔高AB_m.解析：如图，过点E作EFAB，垂足为F，则EFBC，BFCE1，AEF30.在BCD中，由正弦定理得，BC20.所以EF20，在RtAFE中，AFEFtanAEF2020，所以ABAFBF201(m)答案：201【考点】二、测量角度问题例、在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值【解】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追
9、上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角 【变式】已知在岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/小时
10、的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船【考点】三、求解几何计算问题例1、(2020湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0DAB，A
11、D2，AB3，ABD的面积为，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的长【解】(1)因为ABD的面积SADABsinDAB23sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosDABcos.由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)法一：因为ABBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的长为.法二：因为ABBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.cosDBCcossinABD.sinBDCsin(
12、BCDDBC)sincosDBCsinDBC.在BCD中，由正弦定理，可得BC.求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“ABBC”，将已知条件和第(1)问中所求值转化为BCD内的边角关系解决平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解如该题中，把条件转化到BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长 【变式】如图，在平面四边形ABCD中，ABC为锐角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD3，BCD的面积S.(1)求CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD中，SBDBCsinCBD，
13、因为BC2，BD3，所以sinCBD.因为ABC为锐角，所以CBD30.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2)2(3)222(3)9.所以CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC，因为BCBD，所以BDC为锐角，所以cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.因为AC平分BAD，所以CADBAC.由得，解得sinABC.因为ABC为锐角，所以ABC45.【考点】四、余弦定理与其他知识的融合例1、(2020山东德州3月模拟)已知函数f(x)4sin xcos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，
14、B，C的对边分别为a，b，c.若f1，a2，求ABC面积的最大值【解】(1)函数f(x)4sin xcos4sin x42sin1.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，可得函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)在ABC中，因为f2sin11，所以sin0，又0A，所以A.所以ABC的面积为bcsin A.因为a2，所以由余弦定理可得a24b2c2bc2bc bc，所以bc4(2)，当且仅当bc时等号成立所以ABC面积为bcsin A2，故ABC面积的最大值为2.求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用已知建立边b，c之间的关系，导致无法利用基本不等式构建关于所求目标的不等式，从而
15、无法求得最值，“a2”的应用是关键 【变式】(2019山西省考前适应性训练)已知向量a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，f(x)ab.(1)求函数f(x)ab的最小正周期；(2)在ABC中，BC，sin B3 sinC，若f(A)1，求ABC的周长解：(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)由题意可得sin，又0A，所以2A，所以2A，故A.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2b2c22bcos A.所以a2b2c2bc7.又sin B3sin C，所以b3c.故79c2c23c2，解得c1.所以b3，ABC的周长为4.
