1、专题2.3 确定二次函数表达式（知识解读）【学习目标】1.会用待定系数法求二次函数的表达式.2.通过运用进一步熟悉二次函数的三种形式，体会待定系数法思想的精髓【知识点梳理】考点：二次函数的三种解析式（1）一般式：y=ax+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。（2）顶点式：y=a(x-h)+k(a0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b-4ac0
2、。已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。【典例分析】【考点1 ：待定系数法求二次函数】【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴 【变式1-1】（2022秋威县校级月考）已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，4）三点，则该函数的解析式为（）Ayx23xBy2x23xCy2x26xDyx26x【变式1-2】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（
3、-1，-1），求这个二次函数的解析式 【典例2】已知抛物线顶点为（1，4），且又过点（2，3）.求抛物线的解析式.【变式2-1】（2022秋蚌山区校级月考）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）Ayx4x+3Byx+4x+3Cyx+4x1Dyx4x1【变式2-2】（2022秋昭阳区校级月考）已知抛物线yx2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（）Ayx22x+4Byx22x3Cyx2+2x+1Dyx22x+1【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）和C（0，3）三点；求此二次函数的解析式【变式3-1】
4、已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，3），求这个二次函数的解析式 【考点2 ：二次函数三种形式】【典例4】（2022秋无为市月考）将二次函数化成ya（x+h）2+k的形式，则变化后正确的是（）ABCy（x+4）23D【变式4-1】（2022成都模拟）将二次函数yx214x+13化为y（xh）2+k的形式，结果为（）Ay（x+7）2+49By（x+7）236Cy（x7）2+49Dy（x7）236【变式4-2】（2021秋密山市校级期末）把二次函数yx2+2x2配方成顶点式为（）Ay（x1）2+2By（x1）2+1Cy（x+1）23Dy（x+2）
5、21【典例5】（2018秋江门期末）已知二次函数yx2+4x+3（1）用配方法将yx2+4x+3化成ya（xh）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象【变式5-1】（2022秋仪陇县校级月考）把y（23x）（6+x）变成yax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常数项为 【变式5-2】（2019秋凤凰县期末）已知二次函数yx26x+5（1）将yx26x+5化成ya（xh）2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小专题2.3 确定二次函数表达式（知识解读）【学习目标】1.会用待定系数法求二次函数的表达式
6、.2.通过运用进一步熟悉二次函数的三种形式，体会待定系数法思想的精髓【知识点梳理】考点：二次函数的三种解析式（1）一般式：y=ax+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。（2）顶点式：y=a(x-h)+k(a0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b-4ac0。已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-)
7、,然后把第三点代入x、y中便可求出a。【典例分析】【考点1 ：待定系数法求二次函数】【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴 【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得 a+b+c=0c=54a+2b+c=3解得 a=1b=6c=5所以，所求函数的解析式为 y=x2+6x5 y=x2+6x5=(x3)2+4 所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x = 3【变式1-1】（2022秋威县校级月考）已知二次
8、函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，4）三点，则该函数的解析式为（）Ayx23xBy2x23xCy2x26xDyx26x【答案】C【解答】解：设这个二次函数的解析式是yax（x3）（a0），把（1，4）代入得42a，解得a2；所以该函数的解析式为：y2x（x3）2x26x故选：C【变式1-2】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式 【答案】解：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c 抛物线经过 A(0,0) ， B(1,9) ， C(1,1) ，c=0a+b+c=9ab+c=1 ，解得 a=4b=5c=0 ，y=4x2+5x【典例
9、2】已知抛物线顶点为（1，4），且又过点（2，3）.求抛物线的解析式.【答案】解：抛物线顶点为（1，4）， 设抛物线解析式为ya（x1）24，把（2，3）代入得a43，解得a1，所以抛物线解析式为y（x1）24【变式2-1】（2022秋蚌山区校级月考）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）Ayx4x+3Byx+4x+3Cyx+4x1Dyx4x1【答案】A【解答】解：抛物线的顶点坐标为（2，1）设抛物线的解析式为ya（x2）21（a0），把（0，3）代入得：4a13，解得，a1所以，这条抛物线的解析式为：y（x2）21x24x+3故选：A【变式2-2
10、】（2022秋昭阳区校级月考）已知抛物线yx2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（）Ayx22x+4Byx22x3Cyx2+2x+1Dyx22x+1【答案】A【解答】解：抛物线yx2+bx+c的顶点坐标为（1，3），抛物线解析式为y（x1）2+3，即yx22x+4故选：A【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）和C（0，3）三点；求此二次函数的解析式【答案】解：由题意可设二次函数的解析式为： y=a(x+1)(x3)将C（0，3）代入得： 3=a(0+1)(03)解得a=1y=(x+1)(x-3)= x22x3此二次函数的解析式为： y=x22
11、x3 .【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，3），求这个二次函数的解析式 【答案】解：依题意，设函数的解析式为 y=a(x+3)(x1)(a0)将点 (0,3) 代入，得 3=3aa=1所求函数解析式为 y=(x+3)(x1) ，即 y=x2+2x3【考点2 ：二次函数三种形式】【典例4】（2022秋无为市月考）将二次函数化成ya（x+h）2+k的形式，则变化后正确的是（）ABCy（x+4）23D【答案】B【解答】解：yx2+4x3（x2+8x+1616）3（x+4）211，故选：B【变式4-1】（2022成都模拟）将二次函数y
12、x214x+13化为y（xh）2+k的形式，结果为（）Ay（x+7）2+49By（x+7）236Cy（x7）2+49Dy（x7）236【答案】D【解答】解：yx214x+13（x7）236故选：D【变式4-2】（2021秋密山市校级期末）把二次函数yx2+2x2配方成顶点式为（）Ay（x1）2+2By（x1）2+1Cy（x+1）23Dy（x+2）21【答案】C【解答】解：yx2+2x2（x2+2x+1）21（x+1）23故选：C【典例5】（2018秋江门期末）已知二次函数yx2+4x+3（1）用配方法将yx2+4x+3化成ya（xh）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函
13、数的图象【解答】解：（1）y（x2+4x）+3（x2+4x+44）+3（x+2）21；（2）如图：【变式5-1】（2022秋仪陇县校级月考）把y（23x）（6+x）变成yax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常数项为 【答案】3x2，16，12【解答】解：方程y（23x）（6+x）化为一般形式是y3x216x+12，二次项3x2，一次项系数为16，常数项为12故答案为：3x2，16，12【变式5-2】（2019秋凤凰县期末）已知二次函数yx26x+5（1）将yx26x+5化成ya（xh）2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小【解答】解：（1）yx26x+5（x3）24；（2）二次函数的图象的对称轴是直线x3，顶点坐标是（3，4）；（3）抛物线的开口向上，对称轴是直线x3，当x3时，y随x的增大而减小
