1、专题2.26 轴对称图形中的折叠问题（分层练习）（培优练）【知识要点】初中数学有关于折叠的问题，是初中数学几何内容中比较特殊的一种类型。同时也是图形变化当中比较容易出考点的类型。想要解决初中数学中存在的折叠问题，那么我们对折叠的性质要有比较清楚的认识。首先要明白图形折叠前后图形的大小，形状都不发生改变，其次折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线。而且折叠前后及对应边相等，对应角相等，这是我们解决折叠问题中最核心的内容。另外，对于折叠问题，我们一般还有其重要的性质，就是将其转化为轴对称的问题，比如对称点的连线被对称轴垂直平分，我们连接两对称点，就可以得到相等的两条线段，一、单选题1如图所示，在长方
2、形纸片中，点M为边上的一点，将纸片沿，折叠，使点A落在处，点D落在处若，则的度数为（）A B C D2如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（）A B C D3已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，交于点；如图所示，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，若，则的度数为（）A B C D4如图，图是一个四边形纸条，其中，分别为边上的两个点，将纸条沿EF折叠得到图，再将图沿折叠得到图，若在图中，则的度数为（）A B C
3、D5如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（）A B C D6如图，中，点D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠得到，点F是点A的对应点，与交于点E，下列结论一定正确的是（）A B C D7如图，已知，点P是上的一点，连接，将沿所在直线折叠，点A落在点M处，连接若，则（）度A24 B36 C25.5 D26.58如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折为，则下列结论一定正确的是（）A B C D9将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，
4、称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止当n3时，a的值为（）A1.8或1.5 B1.5或1.2 C1.5 D1.210如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：；垂直平分；其中正确的有（）个A1 B2 C3 D4二、填空题11如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为G，点D、C分别折叠到点M、N的位置上，若，则 12如图，在中，直线是边的垂直平分线，与边交于点，是边上一点，把沿折叠，点落在点处，过点，且若
5、，则的度数为 度 13有一张三角形纸片，已知，点D在边上，请在边上找一点E，将纸片沿直线折叠，点B落在点F处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为 14如图，图是一个四边形纸条，其中，分别为边，上的两个点，将纸条沿折叠得到图，再将图沿折叠得到图，若在图中，则 15如图，点N是四边形的边上一点，沿折叠四边形，使点C落在边上的点M处，再沿，折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在上的点P处，则的度数为 16如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在点、处若，则与之间的数量关系可用等式表示为 17如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好
6、得到三角形，且下列四个结论：；若，则 其中正确的结论是 （填写序号）18如图，是等边三角形，将按如图的方式进行折叠，使点与边上的点重合，折痕分别与，交于点，下列四个结论：；若，是折痕上一动点，则的最小值是4其中正确的结论是 （填写序号）三、解答题19如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点（1）如果，求的度数；（2）如果已知，则_（用含的式子表示）（3）探究与的数量关系，并说明理由20在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法请用你所学知识解决下列问题将（）沿折叠，使点C刚好落在边上的点E处（1）图
7、1中，则_；_；（2）如图2，若，试说明：21如图，在中，点D是边上的一点，将沿折叠得到，与交于点F（1）若，求的度数；（2）若，比大，求的度数22如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置（1）如图点落在四边形的内部，探索，之间的数量关系，并说明理由；（2）如图，点落在边的上方，设与交于点，直接写出，之间的数量关系不需要说明理由23有一张正方形纸片，点E是边上一定点，在边上取点F，沿着折叠，点A落在点处，在边上取一点G，沿折叠，点B落在点处（1）如图，当点落在直线上时，猜想两折痕的夹角的度数并说明理由（2）当时，设试用含x的代数式表示的度数探究是否可能平分，若可能，求出
8、此时的度数；若不可能，请说明理由24如图，在ABC中，ABAC4，BAC120延长BA至点E，并使得AEAF（AEAB）连结EF（1）求证：EFBC（2）将AEF沿AC折叠并记点E沿AC折叠时的落点为点D当点D落在ABC内部时，AE的取值范围是多少？P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ若EF1，求DPDQ的最小值参考答案1A【分析】先根据角的和差可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，由此即可得解：，由折叠的性质得：，故选：A【点拨】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键2B【分析】由平行线的性质得，由，当点E在上时，点E到点A的距离最大，然后可求出的度数解：，当点E
9、在上时，点E到点A的距离最大，如图，由折叠可知，故选B【点拨】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定E点的位置3B【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，据此可得，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数解：由翻折的性质得：，四边形为长方形，又，即：，故选：B【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键4C【分析】首先根据折叠和平行的性质求出，再由三角形外角的性质求出，结合折叠和平行的性质求出，进而可求解：由折叠可知：，图中，图中，故选：C【点拨】本题主要考查了平行的性质和翻折的性质，熟练掌握平行的性质和翻折的性质是解题的关键5D【分
10、析】根据平行线的性质得到，由折叠得，求出和，然后根据三角形内角和等于即可求出答案解：在长方形中，由折叠得：，；故选：D【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和等于与轴对称的性质6B【分析】延长交于点，根据折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，故，根据全等三角形的平时和性质可得，根据三角形内角和可得，即可得到解：延长交于点，如图：是沿所在直线折叠得到的，有故选项B正确故选：B【点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键7C【分析】延长交于点E，根据折叠与平行线的性质以及三角形内角和定
11、理求出的值，并进一步得到的值解：如图，延长交于点E，由折叠与平行线的性质可知：，故C正确，故选：C【点拨】本题主要考查三角形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，平行线的性质是解题关键8B【分析】根据折叠的性质得，然后逐项分析即可解：由折叠的性质得，A若，则，、是的两个内角，又三角形三个内角和为，不可能等于，不可能成立，故A不正确；B，故B正确；C若，显然不一定成立，故不正确；D若，显然不一定成立，故D不正确故选：B【点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键9B【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长
12、为2a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2a、a（2a）2a2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2a，由1a2，得a2a；第2次操作，剪下的正方形边长为2a，所以剩下的长方形的两边分别为2a、a（2a）2a2，当2a22a，即a时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a2，剩下的长方形的两边分别为2a2、（2a）（2a2）43a，则2a243a，解得a1.2；2a22a，即a时则第3次操作时，剪
13、下的正方形边长为2a，剩下的长方形的两边分别为2a、（2a2）（2a）3a4，则2a3a4，解得a1.5故选：B【点拨】本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.10C【分析】利用三角形全等的性质、等腰三角形的三线合一、角之间的关系、平行线的判定定理逐个分析各个结论的正误即可解：依题意有，故结论正确；为等腰三角形，又AD垂直平分，故结论正确； 又 ，故结论错误； 又 ，故结论正确；综上，正确的结论有3个故选：C【点拨】本题考查全等三角形的性质、线段的垂直平分、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，为
14、三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握三角形相关的知识定理11/55度【分析】先根据四边形是长方形，得出，得到，再根据折叠的性质可得，最后求出的度数解：四边形是长方形，由折叠的性质可得，又与为内错角，故答案为：【点拨】本题主要考查了长方形的性质、平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键1228【分析】设，根据折叠的性质推出，根据垂直平分线的性质得出，可得，进一步推出，继而得到，利用三角形内角和得出，利用外角的性质得到，解方程组即可解：设，由折叠可知：，直线垂直平分，即，又，在中，即，即，解得：，的度数为，故答案为：28【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和与外角的性质，垂直平
15、分线的性质，平行线的判定和性质，解二元一次方程组，等边对等角，知识点较多，此题较为复杂，解题时要运用相应知识点推导角的关系，利用内角和和外角的性质作为关系列方程13或【分析】分两种情况讨论，由折叠、平行推导出角之间数量关系，进而求得结论解：如图，由折叠知；如图，由折叠知，故答案为：或【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠得出角之间的相等关系是解题的关键14/102度【分析】根据折叠的性质，先求出图的的度数，再根据平行线的性质，求出的度数，由邻补角特点可求出的度数，再由折叠性质可得，再根据求得的度数为，由折叠的性质得图的的度数为，根据计算即可得出答案解：第一次折叠后，如图，由折叠可得：
16、，第二次折叠后，如图，由折叠可得：， 【点拨】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键15【分析】根据折叠的性质可得，可知，进一步可得得度数，再根据折叠的性质及同旁内角互补两直线平行得出，从而可得，根据折叠的性质，可知，进一步可得的度数解：根据折叠得性质，可得，由折叠可知，根据折叠的性质，可知，故答案为：【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的判定及性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键16【分析】利用四边形内角和可得，再代入与即可解：四边形中，四边形中，将四边形纸片沿折叠，整理得：，故答案为：【点拨】本题主要考查了折叠的性质以及四边形内角和的应用，折叠是一
17、种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等17【分析】由折叠的性质可得，则，由，可得，则，由，可得，则，进而可判断的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断的正误；由，则，可得，即，进而可判断的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断的正误；解：由折叠的性质可得，正确，故符合要求；，无法判断与的关系，错误，故不符合要求；，正确，故符合要求；，即，正确，故符合要求；故答案为：【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识解题的关键在于明确角度之间的数量关系18【分析】根据折叠的性质可得，由三角形内角和
18、为，可以判断正确；由图可得，进而可判断正确；点F关于的对称点为点B，所以，最小值为的长，故正确；由于点在上的位置无法确定，仅能确定，故不一定正确解：由折叠的性质可得，是等边三角形，在中，故正确；由图可得，在中，故正确；由，是等边三角形，可得， 连接，如图由题意可知，点F关于的对称点为点B，所以，最小时，点O与点E重合，即为的长，故的最小值是4，正确；由于点在上的位置无法确定，故不能确定；故不一定正确故答案为：【点拨】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，最短路径问题等，灵活运用性质是解题的关键19（1）；（2）；（3），理由见分析【分析】（1）由平行线性质得到的度数，再由折叠性质得到的度数，最
19、后根据平角定义即可求出的度数；（2）由平行线性质和折叠性质得到，根据外角性质即可得到的度数；（3）由平行线性质得到和，即可推出最后结果（1）解：，由折叠知，；（2），由折叠的性质可得：，；（3），【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠性质，外角性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键20（1）2，12；（2）见分析【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可；（2）由折叠性质和三角形的外角性质证得，再根据等角对等边证得，进而可证得结论（1）解：由折叠性质得：，故答案为：2，12；（2）解：由折叠性质得，又，【点拨】本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解
20、答的关键21（1）；（2）【分析】（1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，进而求出，再根据题意求出，即可得出答案（1）解：沿折叠得到，；（2）解：，沿折叠得到，比大，【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键22（1）；（2）【分析】（1）数量关系：理由：过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系；（2）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系（1）解：，之间的数量关系：理由
21、如下：过点作，交于点，交于点，沿折叠，点落在点的位置，之间的数量关系是：（2）过点作，沿折叠，点落在点的位置，即：，之间的数量关系是：【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，平行公理的推论掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键23（1），见分析；（2）或，可能，当点B落在内部时，；当点B落在内部时，【分析】（1）利用平角的定义，利用折叠得到，即可得到；（2）分点落在内部和点B落在内部，两种情况进行讨论求解即可；分点落在内部和点B落在内部，两种情况进行讨论求解即可（1）解：猜想：；理由如下：，折叠，；（2）（2）（）当点落在内部时， ， ，；（）如图，当点B落在内部时， ，综上所述，或；可能
22、（）当点B落在内部时，平分， ，解得，；（）当点B落在内部时， 平分， 又， ，解得：， 此时，综上所述，可能平分，或【点拨】本题考查折叠，角平分线的定义，平角的定义熟练掌握折叠的性质，角平分线平分角，是解题的关键注意分类讨论24（1）见分析；（2）；2.5【分析】（1）由等腰三角形的性质和对顶角相等，以及三角形的内角和，即可得到EHBC；（2）因为AEF为等边三角形，所以当E、P、Q共线时DP+DQ的值最小，由此可计算DP+DQ的最小值解：（1）延长EF交BC于点H，BAC120，ABAC，EAC60，BC30AEAF，EAFE60，EHB90EFBC（2）当点D在BC上时，由折叠知，AEAD，DACEAC60，BAD60，ADB90B30，AE的取值范围是0AE2AEAF，EAC60，AEF是等边三角形AEEF1，即点D在ABC内部D，E关于AC对称，当E，P，Q三点共线且垂直BC时，DPDQ的值最小且DPDQEHB30，即DPDQ的最小值为2.5【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，涉及折叠等相关知识，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，注意在解题过程中需注意的事项是本题的解题关键
