1、单元能力检测(七)考查范围：第七单元立体几何时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是()A若ab，a，则bB若a，则aC若a，则aD若ab，a，b，则3已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若，则C若m，m，
2、则D若m，n，则mn4已知某几何体的三视图如图D71所示，则该几何体的表面积是()图D71A. B2C3 D65如图D72，正三棱锥SABC中，BSC40，SB2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为()图D72A2 B3 C2 D36一个盛满水的三棱锥容器SABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知SDDASEEBCFFS21，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的()A. B. C. D.7在正三棱锥SABC中，相对的棱互相垂直，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是()A12 B32 C36
3、D488图D73是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长BD为2；侧视图是一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且ABBC1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是_图D73二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡相应位置)9如图D74，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为_图D7410若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该三棱柱的体积等于_11. 若一个球的体积为4，则它的内接正方体的表面积是_12如图
4、D75是一个几何体的三视图若它的表面积为7，则这个空间几何体的体积是_图D75 ks5u13. 如图D76所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图ABCD中，顶点B到x轴的距离为_图D76图D7714图D77是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF是异面直线；直线BE与直线AF是异面直线；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5、)15(12分) 如图D78所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE90，AFDE，DEDA2AF2.(1)求证：AC平面BEF；(2)求四面体BDEF的体积图D7816(13分)已知正方形ABCD的边长为1，ACBDO.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC1，得到三棱锥ABCD，如图D79所示(1)求证：AO平面BCD；(2)求二面角ABCD的余弦值图D7917(13分)在如图D710所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点(1)求证：BDEG；(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值图
6、D71018(14分)如图D711，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，FA平面ABCD，EFBC，FA2，AD3，ADE45，点G是FA的中点(1)求证：EG平面CDE；(2)求二面角BCEG的余弦值图D71119(14分)已知几何体EABCD如图D712所示，其中四边形ABCD为矩形，ABE为等边三角形，且AD，AE2，DE，点F为棱BE上的动点(1)若DE平面AFC，试确定点F的位置；(2)在(1)的条件下，求二面角EDCF的余弦值图D71220(14分)如图D713，四棱锥PABCD底面是直角梯形，ABCD，ABAD，PAB和PAD是两个边长为2的正三角形，DC4，O为BD
7、中点，E为PA中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求证：OE面PDC；(3)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值图D713单元能力检测(七)1A解析 E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲即甲是乙的充分不必要条件2D解析 选项A中有b的可能；选项B中各种可能情况都存在；选项C中有a的可能；只有选项D中的命题正确3D解析 线面平行不具有传递性；垂直于同一个平面的两个平面可以相交；根据直
8、线与平面垂直的性质定理，选项D中的结论正确ks5u4C解析 这个空间几何体是侧棱垂直于底面的三棱柱，底面周长为2，故其表面积是211(2)13. ks5u5C解析 由于质点的运动是沿三棱锥的侧面，故把侧面展开后，所求的最小距离就是展开后点B的两个位置之间的线段的长度把该正三棱锥的侧面沿侧棱SB展开成平面图形，则在三角形SBB中，SBSB2，BSB120，所求的最短路线的长度就是BB的长度，BB2BD2.6D解析 当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多，最多可盛原来水的1.7C解析 正三棱锥对棱互相垂直，则ACSB，又SBMN，且MNAM，SBAM，从而SB面SAC.BSABSCASC90，以
9、S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，故球的直径2RSA，即R3，S球4R236，故选C.8C解析 该空间几何体是底面为俯视图中的直角梯形，顶点在底面上的射影为俯视图中的点P的四棱锥，其直观图如图连接BO，则BOCD，PBO即为异面直线PB与CD所成角由题意，得PO1，BO，故tanPBO.9.42解析 因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为a，则长方体体积为a3，三棱柱体积为a3，四分之一圆柱的体积为a3，所以它们的体积之比为42.102解析 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，由于侧面A1B1BA
10、与侧面A1C1CA都是有一个内角为60的菱形，故三棱锥AA1B1C1是一个所有棱长都等于2的三棱锥，作AO面A1B1C1于点O，则点O是底面正三角形的中心，故A1O2，故AO，三棱锥的底面积等于22，故所求的三棱柱的体积为2.1124解析 根据球的体积公式r34，r33，故r，该球的内接正方体的体对角线为2.设正方体的棱长为a，则a2，即a2，故球的内接正方体的表面积是62224.12.解析 这个空间几何体上面是底面半径为1，高为的圆锥，下面是底面半径为1，高为a的圆柱，根据表面积求出a，即可根据体积公式进行计算上面圆锥的母线长为2，表面积为21a127，解得a2，故这个空间几何体的体积是12
11、212. ks5u13.解析 BC1，BCx45，则顶点B到x轴的距离为BCcos451.14解析 如图，该几何体是一个正四棱锥，由于EFAD，ADBC，所以CF，BE共面，结论不正确；根据异面直线的判断方法，BE，AF是异面直线，结论正确；由于EFBC，所以EF平面PBC，结论正确；由于四棱锥的侧棱长和底面边长不确定，平面BCE不一定垂直平面PAD.15解答 (1)设ACBDO，取BE中点G，连接FG，OG，所以OG綊DE.因为AFDE，DE2AF，所以AF綊OG，从而四边形AFGO是平行四边形，FGAO.因为FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.(2)因为平
12、面ABCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF.因为AFDE，ADE90，DEDA2AF2，所以DEF的面积为EDAD2，所以四面体BDEF的体积SDEFAB.16解答 (1)证明：在AOC中，AC1，AOCO，AC2AO2CO2，AOCO.又AC、BD是正方形ABCD的对角线，AOBD.又BDCOO，AO平面BCD.(2)由(1)知AO平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A，C，B，D，是平面BCD的一个法向量，设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，即所以yx，且zx，令x1，则y1，z1，可取n
13、(1，1,1)从而cosn，即二面角ABCD的余弦值为.17解答 解法1：(1)证明：EF平面AEB，AE平面AEB，EFAE.又AEEB，EBEFE，EB，EF平面BCFE，AE平面BCFE.过D作DHAE交EF于H，则DH平面BCFE.EG平面BCFE，DHEG.ADEF，DHAE，四边形AEHD是平行四边形，EHAD2，EHBG2.又EHBG，EHBE，四边形BGHE为正方形，BHEG.又BHDHH，BH平面BHD，DH平面BHD，EG平面BHD.BD平面BHD，BDEG.(2)AE平面BCFE，AE平面AEFD，平面AEFD平面BCFE.由(1)可知GHEF，GH平面AEFD.DE平面
14、AEFD，GHDE.取DE的中点M，连接MH，MG，四边形AEHD是正方形，MHDE.MHGHH，MH平面GHM，GH平面GHM，DE平面GHM，DEMG，GMH是二面角GDEF的平面角由计算得GH2，MH，MG，cosGMH.平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.解法2：(1)EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)(2,2,0)，(2,2,2
15、)，22220，BDEG.(2)由已知得(2,0,0)是平面DEF的法向量设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，(0,2,2)，(2,2,0)，即令x1，得n(1，1,1)设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则cos|cosn，|.平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.18解答 (1)EFBC，ADBC，EFAD.在四边形ADEF中，由FA2，AD3，ADE45，可得GE，ED2，GD，故GE2ED2GD2，所以EGDE.又由FA平面ABCD，得AFCD，正方形ABCD中，CDAD，ADAFA，CD平面ADEF.EG平面ADEF，CDEG.CDDED，EG平面CDE.(2)
16、以AB、AD、AF为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，C(3,3,0)，E(0,1,2)，G(0,0,1)(0,3,0)，(3,2，2)，(0,1,1)分别求得平面BCE与平面CEG的一个法向量为m(2,0,3)，n(4，3,3)，向量m与n的夹角的余弦值为，二面角BCEG的余弦值为.19解答 (1)连接BD交AC于点M，若DE平面AFC，则DEFM，点M为BD中点，则F为棱BE的中点(2)AD，AE2，DE，DAAE.又四边形ABCD为矩形，DA面ABE.方法1：以AB中点O为坐标原点，以OE为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则(，1，)，(
17、，1，)，设平面DCE的法向量n(x，y，z)，令x1，则n(1,0,1)，.设平面DCF的法向量m(x，y，z)令x2，则m(2,0,1)设二面角EDCF的平面角为，cos.方法2：设二面角EDCA的平面角为，取AB中点O，CD中点N，EO平面ACD，ONCD，ONE，tan1.同理设二面角FDCA的平面角为，tan.设二面角EDCF为，tan，则cos.20解答 (1)证明：设F为DC的中点，连接BF，则DFAB.ABAD，ABAD，ABDC，四边形ABFD为正方形O为BD的中点，O为AF与BD的交点，PDPB2，POBD.BD2，PO，AOBD.在PAO中，PO2AO2PA24，POAO
18、.AOBDO，PO平面ABCD.(2)方法1：连接PF，O为AF的中点，E为PA中点，OEPF，OE平面PDC，PF平面PDC，OE平面PDC.方法2：由(1)知PO平面ABCD，又ABAD，所以过O分别作AD，AB的平行线，以它们为x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：A(1，1,0)，B(1,1,0)，D(1，1,0)，F(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0,0，)，E，则，(1,1，)，(1，1，)，(1,3，)，OEPF.OE平面PDC，PF平面PDC，OE平面PDC.(3)设平面PDC的法向量为n(x1，y1，z1)，直线CB与平面PDC所成角为，则即解得令z11，则平面PDC的一个法向量为n(，0,1)又(2，2,0)，则sin|cosn，|，直线CB与平面PDC所成角的正弦值为.
