1、专题2.15 等边三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】等边三角形的定义等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.特别提醒：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形【知识点二】等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60.【知识点三】等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形【知识点三】含30的直角三角形含30的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30，那么它所对的
2、直角边等于斜边的一半. 特别提醒：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【考点一】等边三角形等边三角形的性质求值证明【例1】如图，在等边中，与交于点F给出下列二个条件：，请从中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明 【答案】选择为条件，为结论或选择为条件，为结论；证明见解析【分析】当选择为条件，为结论时，由等边三角形的性质可得、，由条件得到，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论当选择为条件，为结论时，也可证明，进而得到结论.解：当选择为条件，为结论，证明如下：证明：是等边三角形，在和中，
3、当选择为条件，为结论，证明如下：证明：是等边三角形，在和中，【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键【举一反三】【变式1】如图：等边三角形ABC中，BDCE，AD与BE相交于点P，则APE的度数是（）A45B55C60D75【答案】C【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得解：是等边三角形，在和中，故选：C【点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键【变式2】如图，ABC60，点E在射线BC上，且
4、BE5，点D在射线AB上移动，在ABC内部找一点F，使FDFEED，则EF取最小值的时候，BD 【答案】2.5【分析】由FDEFED得到EF最小时，ED取得最小值，然后过点E作EAB于点，即可得到EF最小，然后利用含30角的直角三角形的三边关系求得BD的长度解：FDFEED，EF取最小值时，DE取得最小值，如图，过点E作EAB于点，则BDE90， ABC60，BE30，BE5，BDBE52.5，EF取得最小值时，BD的长为2.5，故答案为：2.5【点拨】本题考查了等边三角形的性质、含30角的直角三角形的三边关系，解题的关键是熟知“垂线段最短”得到EF最小值时点D的位置【考点二】等边三角形的判定
5、求值证明【例2】 如图，在中，点D、E在边上（点D在点E的左侧），说明是等边三角形的理由 解：因为（已知），所以（_）在和中，所以_（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）因为（_），又因为（已知），所以即因为（已知），所以_所以是等边三角形（_）【答案】同一个三角形中，等角对等边，三角形内角和定理，60，有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形【分析】根据等角对等边的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的内角和可得，推得，结合题意可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形解：（已知），（同一个三角形中，等角对等边）在和中，（全等三角形的对应边相等），（全等三角
6、形的对应角相等）（三角形内角和定理），又（已知），即（已知），所以是等边三角形（有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形）【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，等边三角形的判定，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键【举一反三】【变式1】如图，在中，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：；是等边三角形；则上列说法中正确的个数是（） A2B3C4D5【答案】B【分析】利用三线合一可判断；由折叠的性质可判断；根据垂直平分线的性质得到OA=OB，从而计算出ACB=EOF=63，可判断；证明OABOAC，得到OA=OB
7、=OC，从而推出OEF=54，可判断；而题中条件无法得出OD=OE，可判断解：如图，连接OB，OC， AB=AC，OA平分BAC，BAC=54，AOBC（三线合一），故正确；BAO=CAO=BAC=54=27，ABC=ACB=（180-BAC）=126=63，DO是AB的垂直平分线，OA=OB，即OAB=OBA=27，则OBC=ABC-OBA=63-27=36OBA，由折叠可知：OEFCEF，故正确；即ACB=EOF=6360，OE=CE，OEF=CEF，OEF不是等边三角形，故错误；在OAB和OAC中，OABOAC（SAS），OB=OC，又OB=OA，OA=OB=OC，OCB=OBC=36，
8、又OE=CE，OCB=EOC=36，OEC=180-（OCB+EOC）=180-72=108，又OEC=OEF+CEFOEF=1082=54，故正确；而题中条件无法得出OD=OE，故错误；正确的结论为共3个，故选B【点拨】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及全等三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键【变式2】已知、两点分别在轴、轴上，为坐标原点，若点在轴上，则使得是等腰三角形点的个数是 【答案】2【分析】根据等腰三角形性质分别讨论ABBC，ABAC，BCAC，可得答案解：当ABBC时，为等边三角形
9、，即点一种情况如图所示； 当ABAC，有、两种情况，但此时点与点重合，一种情况如图所示；当BCAC，有一种情况，此时与重合，综上所述点的个数为2故答案为：2【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和等边三角形的判定，分别讨论是解题关键【考点三】等边三角形的判定和性质求值证明【例3】如图，以等边的边为边作，使，连接，过点A作，交于点D，交的延长线于点F，设（1）_（用含的式子表示），_；（2）当，求的长【答案】(1)，； (2)7【分析】（1）由等边三角形的性质得到，则，再证明，由三线合一定理可得，则，由等边对等角和三角形内角和定理求出，则由三角形外角的性质可得；（2）如图所示，在上截取，连接，则是等
10、边三角形，得到，证明，得到，再证明是的垂直平分线，得到，则（1）解：是等边三角形，故答案为：，；（2）解：如图所示，在上截取，连接，是等边三角形，是等边三角形，即，是的垂直平分线，【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键【举一反三】【变式1】如图，已知，点为边上一点，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（） A5BCD【答案】A【分析】根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长解：连接OE，如
11、图所示： ，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，,为等边三角形，即，故选：A【点拨】本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形【变式2】如图，数学兴趣小组的同学在利用等边三角形画出美丽的“三角玫瑰”图案，已知等边ABC的边长是24，D，E，F分别在三边上，且DEBC，EFAC，FDAB，则BE的长是 【答案】8【分析】根据等边三角形的性质和判定，DEF是等边三角形，从而证明BEDCFEADF，AD=BE=CF，结合直角三角形的性质，BD=2BE=2AD，得到BD+AD=AB即3BE=24计算即可解：ABC是等边三角形，A=B=C=60， DE
12、BC，EFAC，FDAB，BDE=FEC=AFD=30，FDE=DEF=EFD=60，DEF是等边三角形，DE=EF=FD，BEDCFEADF，AD=BE=CF，BD=2BE=2AD，BD+AD=AB，3BE=24，解得BE=8，故答案为：8【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定性质，直角三角形的性质是解题的关键【考点四】等边三角形性质与判定含30的直角三角形【例4】如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且， （1）求证：是等边三角形；（2）线段、三者存在什么数量关系？写出你的判断过程；（3）数学学习不仅要能解决问题，还要善
13、于提出问题，结合本题，在现有图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题（只要提出问题，不要解答）（1）证明：_；（2）我的判断是：_，证明如下：_；（3）我提出的问题是：_，_【答案】（1）见解析； (2)，理由见解析(3)连接，并延长交于点，求证是直角三角形；若等边的边长为1，求边上的高长是多少（答案不唯一）【分析】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到，根据等角对等边可得到，同理可证明，因为，所以；（3）根据直角三角形及等边三角形的性质解答即可解：（1）证明：是等边三角形，是等边三角形；（2） 解：，其理由如下：平分，且，
14、同理，；（3）解：连接，并延长交于点，求证是直角三角形；若等边的边长为1，求边上的高长是多少【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是是解答此题的关键【举一反三】【变式1】如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BDCE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则以下结论：（1）ACECBD；（2）AFG60；（3）AF2FG；（4）AC2CE其中正确的结论有（）个 A4B3C2D1【答案】B【分析】（1）由ABC是等边三角形，可得ACCB，ACEB60，又由BDCE，即可证得ACECBD；（2）由ACECBD，可得CAEBCD，然
15、后由三角形外角的性质，求得AFGACFCAEACFBCDACE60；（3）由AFG60，AGCD，可得FAG30，即可证得AF2FG；（4）由ACBC，且BC不一定等于2CE，可得AC不一定等于2CE解：（1）ABC是等边三角形，ACCB，ACEB60，在ACE和CBD中，ACECBD（SAS），故正确；（2）ACECBD，CAEBCD，AFGACFCAEACFBCDACE60；故正确；（3）AFG60，AGCD，FAG30，AF2FG；故正确；（4）ACBC，且BC不一定等于2CE，AC不一定等于2CE；故错误故选：B【点拨】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30角的直
16、角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用【变式2】如图，BDOA于点D，交射线OC于点P，PD=1，B=30，若点P到OB的距离为1，则OP的长为 【答案】2【分析】过点P作PEOB于点E，可得出PD=PE=1，则得出POD=POE，由直角三角形的性质得出答案解：如图,过点P作PEOB于点E，点P到OB的距离为1,PE=1，PD=1,PD=PE，又PDOA,PEOB,点P在AOB的平分线上,即POD=POE，B=30，BDOA,BOD=60,POE=BOD=30,OP=2PE=2故答案为：2.【点拨】本题考查了角平分线的判定，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质熟练掌握几何图形的性质是解题的关键
