1、 专题27 二次函数中的最值问题一题可破万题山二次函数最值常见模型小结，一题20问题型一 【铅垂高系列】2023四川凉山中考真题2022天津中考真题2022湖北襄阳统考中考真题2023湖南娄底中考真题2023湖南中考真题2023青海西宁中考真题2023四川广安中考真题2023湖南永州中考真题2022四川广元中考真题题型二 【线段和差最值篇】2023湖南张家界中考真题2022山东淄博统考中考真题2022四川遂宁中考真题题型三 【构造二次函数模型求最值】2023山东东营中考真题2023四川巴中中考真题2023湖南张家界中考真题2023山东聊城中考真题2022湖北襄阳中考真题2023湖北荆州中考真题
2、2022江苏连云港中考真题2022湖南岳阳中考真题2023宁夏中考真题2023湖北襄阳中考真题题型四 【加权线段最值】2023四川内江中考真题2023黑龙江绥化中考真题题型五 【几何构造最值篇】2022天津统考中考真题一题可破万题山二次函数最值常见模型小结，一题20问母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（2，0）三点，P是抛物线上一点（1） 求抛物线解析式 【答案】【铅垂高系列】本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来（2） （）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值， 【答案】16 补充二级结论【思路分析】先分离出面积为定值的ABC，ABC面积
3、为12设P，(上面的点减去下面的点)当时，PH取最大值2，此时APB面积为：(AO是PBH，PAH两个三角形高之和)（3） （）若P在直线AB上方，作PFAB，F在线段AB上，求PF最大值【答案】【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上导角可知PFHAOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大（4） （）若P在直线AB上方，作PFAB，交线段AB于F，作PEy轴交AB于E，求PEF周长和面积的最大值【答案】22和1【思路分析】PEF形状固定，（5） 若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求的最大值【答案】【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换（6） （）若P在直线AB上方
4、，连接CP，交AB于D，PDA面积为S1，CDA面积为S2，求的最小值【答案】【思路分析】化斜为自第一步：面积比转换为共线的边之比第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比（7） （）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求PCD面积最大值【答案】12【思路分析】过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H推导过程如下：以PH为底，设PHC的高为h1，PDH的高为【几何构造最值篇】（8） （）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求mn的最大值【答案】2【思路分析】特殊位置时有最小值，大多数题
5、目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况（9） （）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。【答案】【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，（10） （）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a2），求CMN周长的最小值 【答案】【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形，故，接下来就是常规的将军饮马了（11） （）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将BDQ沿BQ折叠得BDQ， 求OD的最小值 连接OD，M是线段OD的中点，求AM的最小值【答案】4；【思路分析】(1)D轨迹为圆（2
6、）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题（12） （）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DEx轴于点E，设ADE的内心为I，试求BI的最小值【答案】【思路分析】易知ADIAOI(SAS)，AIDAIO135，而OA为定线段则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，OFA90，故，【构造二次函数模型求最值】（13） （）P在第一象限，作PQx轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值【答案】【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽设，则，而P和Q点到对称轴的距离为，则，PQGH的周
7、长为：（14） （）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DEBC，求BDE面积的最大值【答案】3【思路分析】易知ADEACB，利用相似比得出高之比设AD3m，则E点到x轴的距离为2m，BDE的面积为：（15） （）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，ADP和BDE的面积分别为S1、S2，求S1S2的最大值【答案】设，则（16） （）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，N(n，0)为x轴上一点，且BMNM 求n的变化范围 当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围【答案】（1），（2）【思路分析】由勾
8、股定理构造出关于n的函数模型，【详解】设M坐标为(1，m)，整理得：，由可知，设平移后：分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点，此时N点坐标为，则继续向上平移，当0，此时只有一个交点综上 【加权线段最值】（17） （） 若y轴上有一动点M，求AMBM的最小值及M点坐标【答案】，M（0，2）【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可作MHBC于H，则，AG即所求【法一：等面积】，再由相似求出M点坐标法二：，再由三角函数求M点坐标法三：求出AG解析式（18） （）若动点 D 从点 A 出发先以V1的速度朝 x 轴负方向运动到 G，再以V2的速度向B 点运动，且V1 2V2，当运动时
9、间最短时，求点 G 的坐标（V1为定值） 【答案】【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和【简析】设运动总时间为t，以A为顶点，在x轴下方构造一个30的角，作垂线即可进行代换，当时取到最小值（19） （）将线段CO绕O点进行旋转，得线段CO，在旋转过程中，求的最小值【答案】【思路分析】通过构造子母型相似代换，阿氏圆模型取点，通过SAS可知，相似比为2，故，（20） （）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GDAG的最小值【答案】【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角如图，作于E，易知，当G，D，E三点共线时取到最小值，此时，题型一 【铅垂高系列】2023四川凉山中考真题1 如
10、图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点，取得最大值时，求的值和的最大值2022广东统考中考真题如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，点P为线段上的动点，过P作/交于点Q(1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标2022天津中考真题2 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B(1)若，求点P的坐标；直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标2022湖北襄阳统考中考真题3 在平面直角坐标系中，直线ym
11、x-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C(1)如图，当m2时，点P是抛物线CD段上的一个动点求A，B，C，D四点的坐标；当PAB面积最大时，求点P的坐标；2023湖南娄底中考真题4 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C(1)求b，c的值(2)点是抛物线上的动点,当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值.2023湖南中考真题5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为(1)求抛物线的解析式(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点若，求面积的最大值2023青海西宁中考真题6
12、如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M求的最大值及此时P点的坐标2023四川广安中考真题7 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点(1)求这个二次函数的解析式(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标2023湖南永州中考真题8 如图，抛物线（，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的
13、动点，轴于H，且(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线交于点，求的最大值；2022四川广元中考真题9 在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C (1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求PAB周长的最小值；(3)当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值10 已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动(1)如图1，连接，若，求点P的坐标(2)如
14、图2，过点P作轴交于点Q，交于点H，求周长的最大值题型二 【线段和差最值篇】2023湖南张家界中考真题11 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点点D为线段上的一动点(1)求二次函数的表达式；(2)如图，求周长的最小值；2022四川遂宁中考真题12 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值2022山东淄博统考中考真题13 如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧
15、），顶点D（1，4）在直线l：yx+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PMx轴于点M，PNl于点N，当1m3时，求PM+PN的最大值题型三 【构造二次函数模型求最值】2023山东东营中考真题14 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？2023四川巴中中考真题15 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为(1)求抛物线的表达式(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大
16、值，并求出最大值2023湖南张家界中考真题16 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点点D为线段上的一动点如图，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值2023山东聊城中考真题17 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点(1)求抛物线的表达式；(2)如图，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D当m为何值时，面积最大，并求出最大值2022湖北襄阳中考真题18 在平面直角坐标系中，直线
17、ymx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，求m的取值范围；求线段BC长度的最大值2023湖北荆州中考真题19 已知：关于的函数(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是_；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，并与动直线交于点，连接，其中交轴于点，交于点设的面积为，的面积为当点为抛物线顶点时，求的面积；探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由2022江苏连云港中考真题20 已知二次函数，其中(1)当该函数的图像经过原点，求此
18、时函数图像的顶点的坐标；(2)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值2022湖南岳阳中考真题21 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）求点和点的坐标；若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值2023宁夏中考真题22 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交
19、于点已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线(1)直接写出点的坐标；(2)在对称轴上找一点，使的值最小求点的坐标和的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N设S=SPAMSBMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由2023湖北
20、襄阳中考真题23 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；时，的最小值为2，求的值；当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围题型四 【加权线段最值】2023四川内江中考真题24 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；2023黑龙江绥化中考真题25 如图，抛物线的图象经过，三点，且一次函数的图象经过点(1)求抛物线和一次函数的解析式(2)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）点是抛物线上的一个动点且在直线下方已知点的横坐标为过点作于点求为何值时，有最大值，最大值是多少？题型五 【几何构造最值篇】2022天津统考中考真题26 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标
