1、专题18 二次函数中线段、周长、面积最值问题【中考考向导航】目录【直击中考】1【考向一 二次函数中求线段和最值问题】1【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】13【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】18【直击中考】【考向一 二次函数中求线段和最值问题】例题：（2022秋陕西西安九年级校考阶段练习）如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是(1)求抛物线的解析式；(2)写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：(3)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值【答案】(1)(2)二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为(3)【分析】（1）将点和点，代入解析式，待定系数
2、法求解析式即可求解；（2）将解析式化为顶点式即可求解；（3）根据二次函数图象的对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解【详解】（1）解：二次函数的图象过点和点，解得：；（2）解：，二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为（3）解：令中，则，关于对称轴对称，则，连接，交对称轴于点，则此时取最小值，,，此时【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键【变式训练】1（2023秋安徽合肥九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E(1)求抛物线的解析式；(2)求线
3、段的最大值；(3)当时，求点的坐标【答案】(1)(2)最大值为(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求出，利用待定系数法求出的解析式为：，根据直线轴，可知点P、E的横坐标相等，设为m，且，可得，即可得，问题得解；（3）过C点作于点F，先证明四边形是矩形，即有，在等腰中，有，根据点P、E的横坐标相等，设为m，且，即有，可得，再根据，可得，解方程即可求解【详解】（1）将、代入中，可得：，解得：，即抛物线解析式为：；（2）当时，设的解析式为：，又，解得：，即的解析式为：，直线轴，点P、E的横坐标相等，设为m，且，当时，有最大值，最大值为，即最大值为；（3）过C点作于点F，如图，直线轴，
4、四边形是矩形，在等腰中，有，直线轴，点P、E的横坐标相等，设为m，且，且，解得，或者（舍去），当时，即点坐标为：【点睛】本题主要考查了待定系数法求解抛物线解析式，等腰三角形的性质，二次函数的图象与性质以及解一元二次方程等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键2（2022四川成都四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DMMC是否有最小值，如果有，请写出理由【答案】(1
5、)(2)，见解析(3)有，最小值为【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在中，根据，有，即可得，问题得解；（3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解【详解】（1）把点，代入抛物线中得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2），理由是：如图1，令，则，即，在中，；（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，即，的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：；对称轴是：，即，在中，即，在M，N移动的过程中，有最小值是【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性
6、质，解直角三角形以及垂线段最短等知识题目难度不大，细心作答即可掌握二次函数的性质是解答本题的关键3（2023全国九年级专题练习）如图，抛物线的图象与直线有唯一交点(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与轴的交点分别为点、，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由(3)直线与轴交于点，点是轴上一动点，请你写出使是等腰三角形的所有点的横坐标【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）将点代入，可求抛物线的解析式；将点代入，然后根据抛物线与直线由唯一交点，求出，即可求直线的解析式；（2）根据抛物线的对称轴可知M、N点关于对称轴对称，则当A、
7、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长；（3）设，分别求出，再由等腰三角形三边关系，分类讨论即可【详解】（1）将点代入，解得，抛物线的解析式为，将点代入，抛物线的图象与直线有唯一交点，有两个相等实数根时，解得，直线解析式为；（2）存在点P，使的值最小，理由如下，连接，当时，解得或， ，抛物线的对称轴为直线，M、N点关于对称轴对称，当A、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长，的最小值为；（3）当时，设，当时，解得或（舍）；当时，解得或；当时，解得；综上所述：Q点横坐标为或或或【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，二次函数的
8、图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用抛物线的对称性求最小值的方法是解题的关键4（2022山东济南校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A(1)求出抛物线解析式的一般式；(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值【答案】(1)；(2)，；(3)3【分析】（1）利用函数求解的坐标，再把的坐标代入二次函数解析式可得答案，（2）过点作轴交于，得到，利用二次函数的性质可得答案，（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，从而得到，从而可得答案【详解】
9、（1）解：令，解得：，点，即（2）解：令，化简可得：解得或，如图，过点作轴交于，设，则，所以：当时，；当时，；，当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，设 则 ，、关于轴对称，此时最小，的最小值是3【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查利用轴对称求线段和的最小值，同时考查锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】例题：（2020贵州遵义统考一模）已知抛物线经过、三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的解析式；(2
10、)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使以、为顶点的三角形为直角三形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)或 或或【分析】（1）把 三点坐标代入，得到关于 的方程组即可；（2）因为长度确定，所以的周长最小，等同于 最小，问题转化为：在直线取一点使得到两定点的距离之和最小（“将军饮马”模型），所以在同一条直线，在利用待定系数法求出直线的解析式即可确定点坐标；（3）分别讨论直角顶点在、的情况，计算即可，见详解【详解】（1）解：把、三点分别代入得：，解得，（2）解： 与关于直线对称，点在直线上， 当点在线段与直线的交点
11、时，最短， 的周长 = ，的长度确定， 当最小时，的周长最小，由以上可知：当点在线段与直线的交点时，的周长最小，设线段所在直线方程为：，把、代入得：解得： 直线的解析式为： 直线为：，将代入得：，即点坐标为，（3）解：要使以、为顶点的三角形为直角三形，只要考虑直角顶点分别为、情况， 如图1所示：（a）直角顶点为时，过点作交直线于点，设直线与轴交点为，则 ，根据相似三角形对应边成比例性质得：其中： ，计算可得： ，故点坐标为： （b）直角顶点为时，过点作交直线于点，过点作轴垂线，垂足为点，由相似性质定理可得：其中： ，计算可得： ，则，故点坐标为： （c）直角顶点为时，点为以线段为直径的圆与直线
12、 的交点，过点作 垂足为点如图2所示： 在与中有：， 其中：， ， ，代入数据整理得： 即， 或，即或， 点坐标为或 故答案为：或 或 或 【点睛】本题考查了二次函数表达式求解，动点+最值问题，以及相似和圆的知识，综合性较大，其中第（3）问的关键是要分情况讨论各种直角顶点存在性和计算结果，特别是直角顶点为点时就用到“直径所对圆周角是直角”这一原理和“一线三等角”模型【变式训练】1（2022秋山东菏泽九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由(3)
13、在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值若没有，请说明理由【答案】(1)抛物线的解析式为：(2)存在，点的坐标为(3)存在，最大值为【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）设，过点作轴交于点，连接、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值【详解】（1）解：将，代入中，可得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：存
14、在，理由如下：如图，、两点关于抛物线的对称轴对称，直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，点是抛物线与轴的交点，的坐标为，又，直线解析式为：，点坐标即为，解得：，；（3）解：存在，理由如下：如图，设，过点作轴交于点，连接、，若有最大值，则就最大，又，当时，最大值为【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】例题：（2023陕西咸阳校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，对称轴为直线(1)求抛物线的解
15、析式；(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值【答案】(1)；(2)【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解【详解】（1）解：，对称轴为，解得：，抛物线解析式为：；（2）如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，即，抛物线解析式为：，,即，设是第三象限内抛物线上的动点，则且，开口向下，当时有最大值，面积的最大值为【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质【变式训练】1（2023湖北省直辖县级单位校考一
16、模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t当t为何值时，四边形是平行四边形？(3)在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？【答案】(1)；(2)(3)，【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）根据平行四边形的性质可得，得到关于的方程，求解即可；（3）由题意可得，利用二次函数的性质求解即可【详解】（1）解：将
17、点、点代入抛物线解析式可得，解得，即抛物线为设直线l的解析式为，将点、点代入得解得，即直线l的解析式为；（2）解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点，则，所以，点，点连接，如图：四边形是平行四边形，即，化简可得：，解得，（舍去），即，四边形是平行四边形；（3）连接、，如图：由题意可得：，开口向下，对称轴为，当时，面积最大，为【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式2（2023秋河北邯郸九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，两点(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y轴于C
18、点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，(3)存在，点P的坐标为，8【分析】(1)运用待定系数法计算即可(2)判定，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标(3)设，过点P作于点E，根据，构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可【详解】（1）抛物线与x轴交于，两点，解得，该抛物线的解析式为（2）存在，点理由如下：抛物线与x轴交于，两点，是对称点，且，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，当时，故点（3）如图，设，过点P作于点E，抛物线与x轴交于，两点，且，故当时，取得最大值，且为8，此时【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键
