1、第二节 直线的位置关系 基础梳理1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，分别设为k1，k2，则l1l2_.一般地，若直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则l1l2A1B2-A2B1=0且_(或_)l1l2_，l1与l2重合_且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)2.三种距离(1)两点间的距离 平面上的两点P1
2、(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|=_.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|=_.(2)点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=_.(3)两条平行线的距离 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=_.3.直线系(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为_；(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为_；(3)过两直线l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0的交点的直线系方程为_ 答案：1.(1)k1=k2 平行(2)k1k2=-1 A1C2-A2C1 0 B1
3、C2-B2C1 0 A1A2+B1B2=0 A1B2-A2B1=0 2.(1)(2)(3)221212xxyy 22xy 0022|AxByCAB1222|CCAB3.(1)Ax+By+C=0(CC)(2)Bx-Ay+C=0(3)A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2)=0(l为参数，此方程不含l2)基础达标1.(教材改编题)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于 ()A.2 B.1 C.0 D.-1 2.与直线3x-4y-1=0平行且距离为1的直线方程是 ()A.3x-4y+4=0 B.3x-4y-6=0 C.3x-4y+4=0或3x-4y-6=0 D.3x
4、-4y+4=0或3x-4y-3=0 3.(教材改编题)若三直线2x+3y+8=0，x-y-1=0，x+ky+k+=0相交于一点，则k的值等于 ()11.2.2.22ABCD4.(教材改编题)若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x-1平行，则m=_.5.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是_ 答案：1.D 解析：由a(a+2)=-1，解得a=-1.2.C 解析：设所求直线为3x-4y+m=0，则有 =1，解得m=4或m=-6，故所求直线的方程为3x-4y+4=0或3x-4y-6=0.3.A 解析：由 得 即两直线交于点(-1，-2)，将此点坐标代入x+ky+k+=0得k
5、=-.4.-解析：显然m0，k1=-，k2=3，由k1=k2，得m=-.5.x+2y-3=0 解析：设P(x，y)是所求直线上任一点，则(2-x，y)在直线x-2y+1=0上，代入整理，得x+2y-3=0.|1|5m 238010 xyxy 12xy 121223232m题型一 两条直线位置关系的判定与应用【例1】已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值 基础达标解：(1)方法一：当a=1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0，l1不平行于l2；当a=0时，l1：y=-3，l2：x-y-1=0，l
6、1不平行于l2；当a 1且a 0时，两直线可化为 l1：y=-x-3，l2：y=x-(a+1)，l1l2 解得a=-1，综上可知，当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行 2a11a12131aaa 方法二：由A1B2-A2B1=0，得a(a-1)-1*2=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-160，l1l2 a=-1，当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行 211 2011 60a aa a 222016aaa a (2)方法一：当a=1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0，l1与l2不垂直，故a=1不成立，同理a=0也不成立 当a1且a0时，l1：y=-x-3，l2
7、：y=x-(a+1)，由 =-1a=.方法二：由A1A2+B1B2=0，得 a+2(a-1)=0a=.2a11a2a11a2323变式1-1 已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值 解：当a-2=0或a=0时，两直线显然不平行；当a-20且a0时，由 =，得a=-1或a=3.若a=-1，则 =成立，故a=-1舍去，经检验，a=3符合题意 1a32a 1a32a 1a变式1-2 已知直线ax-y+2a=0与(2a-1)x+ay+a=0互相垂直，求a的值 解：由a(2a-1)-a=0，得a=1或a=0.当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0，互相垂直；当a=
8、0时，两方程为y=0与x=0，互相垂直 故a=1或a=0.题型二 距离问题【例2】过点P(1,2)引直线，使它与两点A(2,3)，B(4，-5)的距离相等，求此直线方程 解：方法一：显然这条直线的斜率存在，设直线方程为y=kx+b，根据条件有 化简得 或 所以 或 即直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.222|23|45|11kbkbkbkk 24kbk 2310kbkb 46kb 3272kb 方法二：设直线方程为Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，由题意得：化简得 或 所以所求直线方程为4Bx+By-6B=0或Ax+Ay-A=0，即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.22
9、2220|23|45|ABCABCABCABAB46ABCB 2373BACA 2373变式2-1 与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于 的直线方程是_.13答案：2x+3y+18=0或2x+3y-8=0 解析：所求直线l与直线l0：2x+3y+5=0平行，可设l：2x+3y+C=0，由l与l0距离为 ，得 =，解得C=18或C=-8，所求直线l的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.1313|5|13C 题型三 交点及直线系问题【例3】求经过直线l1：3x+2y-1=0和l2：5x+2y+1=0的交点且垂直于直线l3：3x-5y+6=0的直线l的方程 解：方法一：由 得l1，l
10、2的交点P(-1,2)又l3的斜率k3=，l的斜率k=-，l：y-2=-(x+1)，即5x+3y-1=0.方法二：由ll3，可设l：5x+3y+C=0.l1，l2的交点可以求得为P(-1,2)5(-1)+32+C=0，C=-1，l：5x+3y-1=0.32105210 xyxy 353553方法三：l过l1，l2的交点，且与l3垂直，易知l2不符合题意 故设l：3x+2y-1+l(5x+2y+1)=0，即(3+5l)x+(2+2l)y+(-1+l)=0，(3+5l)3+(-5)(2+2l)=0，解得l=，代入上式整理得l：5x+3y-1=0.15变式3-1 直线l经过直线l1：2x+3y+2=
11、0与l2：3x-4y-2=0的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线l的方程 解：设直线l的方程2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0(mR，此方程不含l2)，化简得：(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0.直线l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线l的斜率为1，即l2不合题意 2+3m=(3-4m)，解得m=或m=5，代入并化简得直线l的方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.17易错警示【例1】已知一直线l经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B(0，-5)距离相等，求此直线的方程 错解 方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-
12、k+2=0，|232|052|1212kkkkk ，即|k-1|=|k-7|，解得k=4，所求直线方程为4x-y-2=0.3542ABk又，方法二：由已知lAB，l：y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.错解分析 方法一中忽视了斜率不存在的情况，方法二忽视了 l可以过AB中点的情况.正解：方法一：当l斜率不存在时，直线方程为x=1，满足条件 当斜率存在时，解法同错解中“方法一”方法二：当l过AB中点时，直线方程为x=1.当lAB时，解法同错解中“方法二”综上，直线l的方程为x=1或4x-y-2=0.【例2】设直线l1：ax+2y+8=0，l2：8x+3y-10=0，l3：2x-y-10=0
13、，若三条直线不能围成三角形，试求a的值 错解 因为l2与l3不平行，所以l1l2或l1l3，1238,2,2382232164.3akkkaaaa 又因为所以或，故或错解分析 三条直线不能围成三角形，除了任何两条平行 的情况外，还有三条直线相交于一点的情况，本题忽略 了后一种情况。正解：(1)当l1l2或l1l3时解答过程同错解 (2)当l1、l2、l3相交于一点时，由 得 所以l2与l3的交点为 .又l1经过l2与 l3的交点，所以a*-2*+8=0，解得a=，综上，知a=或a=-4或a=8310210 xyxy207307xy 2030,772073071515163链接高考1.(2009
14、安徽)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是()A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 知识准备：1.会求与已知直线垂直的斜率；2.会用点斜式写出方程 答案：A 解析：因为直线2x-3y+4=0的斜率为k1=，所以所求直线l的斜率为-，所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0，故选A.2332322.(2010安徽)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 知识准备：1.知道两直线平行其斜率相等；2.直线过定点，会根据点斜式求出直线方程 答案：A 解析：因为所求直线的斜率k=，且过定点(1,0)，所以所求方程为y=(x-1)，即x-2y-1=0，故选A.1212
