1、专题17 最值问题中的将军饮马模型 【模型展示】特点传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为将军饮马的问题广泛流传。实际问题：应该怎样走才能使路程最短?作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.结论AC+BC最短【模型证明】解决方案(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？连接AB,与直线l相交于一点C.AC+BC最短（两点之间线
2、段最短）(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 所作的AC +BC最短吗？请说明理由？【证明】如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BCAC +BC= AC +BC = AB，AC+BC= AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC +BCAC+BC即AC +BC 最短【题型演练】一、单选题1如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE1，P点在A
3、C上移动，则PEPD的最小值是（）A4B4.5C5.5D52如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A4BCD53如图，矩形中，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（）ABCD4如图，等边ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE2，则EMCM的最小值为（）AB3C2D45已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）ABCD6如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB2，A120，则PMPC的最小值为（）A2BCD17如图，在AB
4、C中，AB2，ABC60，ACB45，D是BC的中点，直线l经过点D，AEl，BFl，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）AB2C2D38如图，凸四边形中，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（）ABC6D3二、填空题9在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为_10如图，点是内任意一点，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值是_11如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的
5、动点，则的最小值是_12如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM2，N是AC上的一动点，则DNMN的最小值是_13如图所示，在中，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，则周长的最小值是_14如图，在四边形ABCD中，BCD50，BD90，在BC、CD上分别取一点M、N，使AMN的周长最小，则MAN_15如图，在矩形ABCD中，AB15，BC20，把边AB沿对角线BD平移，点A，B分别对应点A，B给出下列结论：顺次连接点A，B，C，D的图形是平行四边形；点C到它关于直线AA的对称点的距离为50；ACBC的最大值为15；AC+BC的最小值为9其中正
6、确结论的序号是_16如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是_17如图，菱形ABCD 的边长为6，ABC120，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PBPM 的值最小时，PM的长是_三、解答题18如图，在RtABC中，ACB90，ABC30，AC2，以BC为边向左作等边BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点（1）求证：ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值19如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA2，SABC
7、12，点C在x轴的正半轴上，且OCOB(1)求直线AB的解析式；(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由20如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”如图1，在ABC中，AB=AC=1，BAC=108，DE垂直
8、平分AB，且交BC于点D，连接AD(1)证明直线AD是ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度(3)如图3，射线CF平分ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求QAC的正弦值21在长方形ABCD中，AB4，BC8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ2(1)如图，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：APQE；(2)如图，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积22在中，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED（1）如图1，当时，则_；（2）当时，如图2，连接AD，判断的形状，并证明；如图3，直线CF与ED交于点F，满足P为直线CF上一动点当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_，并证明23已知如图，在中，点是边上一点，连接，点是上一动点，连接（1）如图1，当时，连接，延长交于点，求证：；（2）如图2，以为直角边作等腰，连接，若，当点在运动过程中，求周长的最小值
