1、第三节基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号且不为零)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1(思考辨析)判断下列结论
2、的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2C.D.2Da2b22ab(ab)20，A错误；对于B，C，当a0，b0，22.3(2016绍兴二模)若a，b都是正数，则的最小值为()A7B8C9D10Ca，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号，故选C.4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1B1C3D4C当x2时，x
3、20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2. 【导学号：51062190】25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.利用基本不等式求最值(1)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A.B2C2D4(2)(2017湖州二次质量预测)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_(1)C(2)3(1)由知a0，b0，所以2，即ab
4、2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.(2)由x22xy30得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.规律方法1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式变式训练1(1)(2017金华十校4月联考)已知a0，b0，且2ab1，若不等式m恒成立，则m的最大值等于()A10B9C8D7(2)(2017杭州学军中学一模)已知实数m，n满足mn0，mn1，则的最大值为_(1)B(2)4(1)415
5、25229，当且仅当ab时取等号又m，m9，即m的最大值等于9，故选B.(2)mn0，mn1，m0，n0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，4分8(当且仅当ab时等号成立).7分(2)法一：a0，b0，ab1，112，同理12，52549，12分9(当且仅当ab时等号成立).14分法二：1，由(1)知，8，12分故19.14分规律方法1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，
6、达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到变式训练2设a，b均为正实数，求证：ab2.证明由于a，b均为正实数，所以2，4分当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab22，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，12分当且仅当即ab时取等号.14分基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间
7、为t(h)，y214，x50,100.4分所以这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x.(或yx，x).6分(2)yx26 ，当且仅当x，即x18，等号成立.12分故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.14分规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解变式训练3某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由
8、于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解(1)由题意得，y，即yx1.5(xN*).6分(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，12分当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.14分思想与方法1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时
9、含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解2基本不等式的两个变形：(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)(2)(a0，b0，当且仅当ab时取等号)易错与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致课时分层训练(三十二)基本不等式A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知x1，则函数yx的最小值为()A1B0C1D2C由于x1，则x10，
10、所以yx(x1)1211，当且仅当x1，由于x1，即当x0时，上式取等号2设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件3(2017金华十校联考)函数f(x)ax12(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0，n0，则的最小值为()A4B5C6D32D由题意知A(1，1)，因为点A在直线mxny10上，所以mn1，所以(mn)3，因为m0，n0，所以33232.当且仅当
11、时，取等号，故选D.4(2017湖州二模)已知a0，b0，ab，则的最小值为()【导学号：51062191】A4B2C8D16B由a0，b0，ab，得ab1，则22.当且仅当，即a，b时等号成立故选B.5(2017杭州二中月考)若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQBQPRCPQRDPRb1，lg alg b0，(lg alg b)，即QP.，lglg(lg alg b)Q，即RQ，PQ0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，所以214，解得p.8某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运
12、费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨20每次都购买x吨，则需要购买次运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为44x万元44x160，当且仅当4x时取等号，x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小三、解答题9(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解(1)y(2x3).2分当x0，24，4分当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为.6分(2)0x0，y，10分当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.15分10已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1
13、)xy的最小值；(2)xy的最小值. 【导学号：51062192】解(1)由2x8yxy0，得1，2分又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.6分(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.10分当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1要制作一个容积为4 m3 ，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A80元B120元C160元D240元C由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m
14、2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m又设总造价是y元，则y204108020160.当且仅当2x，即x2时取得等号2(2017浙江名校(柯桥中学)交流卷三)设a0，b0，ab2a2b260，则的最小值是_，此时ab的值为_4a0，b0，ab2a2b26，2ab4，当且仅当2ab，即ab时，取到最小值4.3经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(120|t20|)6分(2)当t1,20时，4014t4012441(t5时取最小值).9分当t(20,30时，因为W(t)5594t递减，所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，12分所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元.15分
