1、专题17 反比例函数知识回顾1. 反比例函数的性质与图像：反比例函数的符号所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。对称性图像关于原点对称2. 反比例函数的集合意义：过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于。过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。这个三角形的面积等于。3. 待定系数法求反比例函数解析式： 在反比例函数中只有一个系数，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出的值，从而求出反比例函数解析式。4. 反比例
2、函数与一次函数的不等式问题：若反比例函数与一次函数有交点，则不等式的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。专题练习1（2022湘西州）如图，一次函数yax+1（a0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BCx轴于点C（1）求一次函数和反比例函数的解析式（2）求ABC的面积【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用直线的解析式求得点A坐标，利用坐标表示出线段CA，BC的长度，利用三角形的面积公式解答
3、即可【解答】解：（1）一次函数yax+1（a0）的图象经过点B（1，3），a+13，a2一次函数的解析式为y2x+1，反比例函数y的图象经过点B（1，3），k133，反比例函数的解析式为y（2）令y0，则2x+10，xA（，0）OABCx轴于点C，B（1，3），OC1，BC3AC1ABC的面积ACBC2（2022德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）请求出这个反比例函数的解析式；（2）蓄电池的电压是多少？（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？【分析】（1
4、）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I，将点（8，6）代入I，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）根据电压电流电阻即可求解；（3）将I10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I，图象经过（8，6），6，解得k6848，I；（2）蓄电池的电压是6848；（3）I10，I，10，R4.8，即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内3（2022大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度（单位：kg/m3）随之变化已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V5m3时，
5、1.98kg/m3（1）求密度关于体积V的函数解析式；（2）若3V9，求二氧化碳密度的变化范围【分析】（1）设密度关于体积V的函数解析式为（k0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度关于体积V的函数解析式；（2）由k9.90，利用反比例函数的性质可得出当V0时随V的增大而减小，结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度的变化范围【解答】解：（1）设密度关于体积V的函数解析式为（k0）当V5m3时，1.98kg/m3，1.98，k9.9，密度关于体积V的函数解析式为（V0）（2）k9.90，当V0时，随V的增大而减小，当3V9时，即二氧化碳密度的变化范围为1.13.34（
6、2022淄博）如图，直线ykx+b与双曲线y相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA，OB，求AOB的面积；（3）直接写出当x0时，关于x的不等式kx+b的解集【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）直线AC：yx+与双曲线：y（x0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求出点B的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；（3）根据图象即可解决问题【解答】解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入ykx+b，得，解得：，直线AC的解析式为yx+，将A（1，2）代入y（x0），
7、得m2，双曲线的解析式为y（x0）；（2）直线AC的解析式为yx+与y轴交点D，点D的坐标为（0，），直线AC：yx+与双曲线：y（x0）相交于A（1，2），B两点，点B的坐标为（3，），AOB的面积441；（3）观察图象，A（1，2），B（3，），当x0时，关于x的不等式kx+b的解集是1x35（2022镇江）如图，一次函数y2x+b与反比例函数y（k0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B（1）k ，b ；（2）连接并延长AO，与反比例函数y（k0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与AOB相似，求点D的坐标【分析】（1）将点A（1，4）分别代入反比例函数y（k
8、0）和一次函数y2x+b的解析式中，求解即可；（2）根据题意，需要分类讨论：当点D落在y轴的正半轴上，当点D落在y轴的负半轴上，CODAOB或CODBOA，依次根据比例关系，求解即可【解答】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y（k0）的解析式中，k144；将A（1，4）代入一次函数y2x+b，21+b4，解得b2故答案为：4；2（2）当点D落在y轴的正半轴上，则CODABO，COD与ABO不可能相似当点D落在y轴的负半轴上，若CODAOB，COAO，BODO2，D（0，2）若CODBOA，则OD：OAOC：OB，OACO，BO2，DO，D（0，），综上所述：点D的坐标为（0，2），（0，
9、）6（2022宁夏）如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y（m0，x0）的图象相交于点A，OB1，tanOBC2，BC：CA1：2（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE当BDE面积最大时，求点D的坐标【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC长，过点A作AFx轴于点F，则ACFBCO，由相似比可得出CF和AF的长，进而可得出点A的坐标，代入反比例函数可得出m的值，进而可得结论；（2）由（1）可得直线AB的解析式设点D的横坐标为t，由此可表达点D，E的坐标，根据三角形的面积
10、公式可表达BDE的面积，根据二次函数的性质可得结论【解答】解：（1）如图，过点A作AFx轴于点F，AFy轴，ACFBCO，BC：ACOB：AFOC：CF1：2OB1，tanOBC2，OC2，AF2，CF4，OFOC+CF6，A（6，2）点A在反比例函数y（m0，x0）的图象上，m2612反比例函数的表达式为：y（x0）（2）由题意可知，B（0，1），直线AB的解析式为：yx1设点D的横坐标为t，则D（t，t1），E（t，）EDt+1BDE的面积为：（t0）（t+1）t2+t+6（t1）2+0，t1时，BDE的面积的最大值为，此时D（1，）7（2022鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx
11、+2的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；（2）点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB，CB，求ACB的面积【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B、D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得【解答】解：（1）一次函数yx+2的图象过点A（1，m），m1+23，A（1，3），点A在反比例函数y（x0）的图象上，k133，反比例函数的解析式为y；（2）点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，B
12、（3，1），作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，代入yx+2得，1x+2，解得x1，D（1，1），BD3+14，SABC4368（2022菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yax+b的图象与反比例函数y的图象都经过A（2，4）、B（4，m）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求ABC的面积【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CDx轴于D，根据SABCSACD+SBCD即可求
13、得【解答】解：（1）将A（2，4），B（4，m）两点代入y中，得k2（4）4m，解得，k8，m2，反比例函数的表达式为y；将A（2，4）和B（4，2）代入yax+b中得，解得，一次函数的表达式为：yx2；（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，由题意可知，点A与点C关于原点对称，C（2，4）在yx2中，当x2时，y0，D（2，0），CD垂直x轴于点D，SABCSADC+SBCD4（2+2）+4（42）8+4129（2022安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：yax+b（a0）与反比例函数y（k0）的图象交于C
14、，P（8，2）两点（1）求该反比例函数的解析式及m的值；（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由【分析】（1）把P（8，2）代入y可得反比例函数的解析式为y，即得m4；（2）连接AC，BD交于H，由C（4，4），P（8，2）得直线CD的解析式是yx+2，即得D（0，2），根据四边形ABCD是菱形，知H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），有，可解得B（8，2），从而可知B在反比例函数y的图象上【解答】解：（1）把P（8，2）代入y得：2，解得k16，反比例函数的解析式为y，C（4，m）在反比例函数y的图象上，m4；反比例函数的解析式
15、为y，m4；（2）B在反比例函数y的图象上，理由如下：连接AC，BD交于H，如图：把C（4，4），P（8，2）代入yax+b得：，解得，直线CD的解析式是yx+2，在yx+2中，令x0得y2，D（0，2），四边形ABCD是菱形，H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），D（0，2），解得，B（8，2），在y中，令x8得y2，B在反比例函数y的图象上10（2022绵阳）如图，一次函数yk1x+b与反比例函数y在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点
16、P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和PMN面积的最小值【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出（8+）（m2）30，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入yk1x+b，进一步求得一次函数的解析式；（2）求出与直线MN平行且在第三象限内与反比例函数y有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时PMN面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可【解答】解：（1）反比例函数y过点M（2，8），k22816，反比例函数的解析式为y，设N（m，），M（2，8），SO
17、MB8，四边形OANM的面积为38，四边形ABMN的面积为30，（8+）（m2）30，解得m18，m2（舍去），N（8，2），一次函数yk1x+b的图象经过点M、N，解得，一次函数的解析式为yx+10；（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y有唯一公共点P时，PMN的面积最小，设与直线MN平行的直线的关系式为yx+n，当与y在第三象限有唯一公共点时，有方程x+n（x0）唯一解，即x2nx+160有两个相等的实数根，n241160，解得n8或x8（舍去），与直线MN平行的直线的关系式为yx8，方程x8的解为x4，经检验，x4是原方程的解，当x4时，y4，点P（4，4），如图，过点P作AN
18、的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，PD4，DQ8，CD2，MC8+412，NQ2+46，SPMNSMPC+S梯形MCQNSPNQ612+（12+6）612636+543654，答：点P（4，4），PMN面积的最小值为5411（2022巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B两点，与双曲线y（k0）交于点C、D两点，AB：BC2：1（1）求b，k的值；（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b0的解集；（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求ODE的面积【分析】（1）根据点A在直线上，把点A代入，求出b
19、的值；过C作CFx轴于点F，得AOBAFC，根据AB：BC2：1，可求出点F的坐标，可得点C的坐标，代入反比例函数，即可求出k的值；（2）根据交点坐标的性质，可求出点D的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；（3）根据同底同高，得SODESCOD，SCODSCOA+SADO即可【解答】解：（1）点A在直线上，A（4，0），解得b2，过C作CFx轴于点F，AOBAFC，AB：BC2：1，AF6，OF2，在中，令x2，得y3，C（2，3），k6（2）D点是和交点，解得或，D点在第三象限，D（6，1），由图象得，当6x0或x2时，不等式的解集为6x0或x2（3）ODE和OCD同底同高，SODE
20、SOCD，SCODSCOA+SADO，12（2022资阳）如图，一次函数y1kx+b的图象与反比例函数y2的图象交于点A（1，m）和点B（n，2）（1）求一次函数的表达式；（2）结合图象，写出当x0时，满足y1y2的x的取值范围；（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点【分析】（1）将A、B两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当x0，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x的即可；（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图象即可判断反比例函数的系数k，进而得到反比例函
21、数的解析式【解答】解：（1）由题意得：，m6，n3，A（1，6），B（3，2），由题意得：，解得：，一次函数的表达式为：y2x+4；（2）由图象可知，当x0时，一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x的值为x1，当x0时，满足y1y2的x的取值范围为x1；（3）一次函数y2x+4的图象平移后为y2x，函数图象经过第一、三象限，要使正比例函数y2x与反比例函数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k0，当k1时，满足条件，反比例函数的解析式为（答案不唯一）13（2022徐州）如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴
22、交于点C，ADx轴于点D，CBCD，点C关于直线AD的对称点为点E（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形求k、b的值；若点P在y轴上，当|PEPB|最大时，求点P的坐标【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到ADCE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CHEH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；（2）根据正方形的性质得到ADCE，AD垂直平分CE，求得CHAD，设点A的坐标为（m，），得到m2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入ykx+b得，解
23、方程组即可得到结论；延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PEPD|PEPB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为yx2，于是得到结论【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由：一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点A，设点A的坐标为（m，），点C关于直线AD的对称点为点E，ADCE，AD平分CE，如图连接CE交AD于H，CHEH，BCCD，OCBD，OBOD，OCAD，ADx轴于D，CEx轴，E（2m，），2m8，点E在这个反比例函数的图象上；（2）四边形ACDE为正方形，ADCE，AD垂直平分CE，CHAD，设点
24、A的坐标为（m，），CHm，AD，m，m2（负值舍去），A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入ykx+b得，；延长ED交y轴于P，CBCD，OCBD，点B与点D关于y轴对称，|PEPD|PEPB|，则点P即为符合条件的点，由知，A（2，4），C（0，2），D（2，0），E（4，2），设直线DE的解析式为yax+n，直线DE的解析式为yx2，当x0时，y2，P（0，2）故当|PEPB|最大时，点P的坐标为（0，2）14（2022济南）如图，一次函数yx+1的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函
25、数图象交于点C，与x轴交于点D，ACAD，连接CB求ABC的面积；点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标【分析】（1）将点A的坐标代入y求得a，再把点A坐标代入y求出k；（2）先求出A，B，C三点坐标，作CDx轴于D，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE的长，进而求得三角形ABC的面积；（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y求得点P的横坐标【解答】解：（1）把xa，y3代入yx+1得，a4，把x4，y3代入y得，3，k12；（
26、2）点A（4，3），D点的纵坐标是0，ADAC，点C的纵坐标是3206，把y6代入y得x2，C（2，6），如图1，作CDx轴于D，交AB于E，当x2时，y2，E（2，2），C（2，6），CE624，xA8；如图2，当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，yP1+304，当y4时，4，x3，P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的ABQP），由yQyByPyA得，01yP3，yP2，当y2时，x6，P（6，2），综上所述：P（3，4）或（6，2）15（2022枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行
27、检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天）3569硫化物的浓度y（mg/L）4.52.72.251.5（1）在整改过程中，当0x3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）在整改过程中，当x3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓
28、度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【分析】（1）设AC的函数关系式为：ykx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；（2）可推出xy13.5为定值，所以当x3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；（3）将x15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：ykx+b，线段AC的函数表达式为：y2.5x+12（0x3）；（2）34.552.7.13.5，y是x的反比例函数，y（x3）；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：当x15时，y0.9，13.50，y随x的增大而减小，该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L
