1、课时巩固过关练(六)导数的简单应用及定积分一、选择题1(2016湖北襄阳期末)设函数f(x)x3ax2x1在点(1，f(1)处的切线与直线x2y30垂直，则实数a等于()A1 B2C3 D4解析：函数f(x)x3ax2x1的导数为f(x)3x22ax1，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线斜率为42a，由切线与直线x2y30垂直，可得42a2，解得a1.故选A.答案：A2(2016辽宁师大附中期中)定积分dx的值为()A. B.C D2解析：y，(x1)2y21表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，定积分dx，故选A.答案：A3(2016
2、河南安阳一中月考)如图是函数ycos在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是()A. B.C. D.4(2016重庆开县月考一)已知函数f(x)x22ax，g(x)3a2lnxb，设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同，则a(0，)时，实数b的最大值是()A.e6 B.e6C.e D.e答案：D5(2016安徽马鞍山模拟)在x上，函数f(x)x2pxq与g(x)在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是()A. B4C8 D.解析：g(x)，且x，则g(x)3，当且仅当x1时，g(x)min3，当x时，f(x)取得最小值f，则1，得p2，f(x)x22xq，又f
3、(x)minf(1)3，12q3，q4，f(x)x22x4(x1)23，x，f(x)maxf(2)4.答案：B6(2016重庆一中期中)定义在上的函数f(x)，f (x)是它的导函数，且恒有sinxf (x)cosxf(x)成立，则()A.ff B.ffC.f2f D.ff(x)cosx，则f (x)sinxf(x)cosx0，构造函数g(x)，则g(x)，当x时，g(x)0，即函数g(x)在上单调递增，gg，f0时，“不等式ax2ex22恒成立”等价于“不等式a恒成立”，令f(x)，则f (x)，令h(x)2xex22ex22，则f (x)与函数h(x)的符号一致，又因为h(x)2xex20
4、，所以h(x)在区间(0，)上单调递增，因为h(2)22e222e2220，所以在区间(0,2)上，h(x)0，即f (x)0，即f (x)0，所以函数f(x)在区间(2，)上单调递增，所以在区间0，)，函数f(x)的最小值为f(x)minf(2)2，所以a2，故选D.答案：D二、填空题8(2016广东佛山联考)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_解析：因为y，exex22，exex24，y1,0)，即tan1,0)，0，.答案：0，解得a，所以a的取值范围是.答案：10(2016河南信阳一模)已知实数a，b满足eb2a3，则|2ab1|的最小值为_解析：由eb2
5、a3，取对数，得bln(2a3)，则2a30.则|2ab1|2aln(2a3)1|(2a3)ln(2a3)2|(*)，令2a3x(x0)，(*)式化为|xlnx2|，令yxlnx2，则y1，令y0，得x1.当x(0,1)时，y0，则函数在(1，)上为增函数，当x1时，ymin1ln123，即|2ab3|的最小值为3.答案：3三、解答题11(2016江西高安二中段考)已知函数f(x)(x1)ln(x1)(1)设函数g(x)a(x1)f(x)在区间2，e21上不单调，求实数a的取值范围；(2)若kZ，且f(x1)xk(x1)0对x1恒成立，求k的最大值解：(1)g(x)a(x1)(x1)ln(x1
6、)，则g(x)a1ln(x1)在(1，)上递增；又g(x)在2，e21上不单调，等于g(x)在2，e21上有零点由已知，有解得1a3.a的取值范围为(1,3)(2)由题知k1恒成立令u(x)，则u(x)，令v(x)lnxx2，v(x)1.x1，v(x)0，即v(x)在(1，)上单调递增又v(3)ln310，x0(3,4)，使得v(x0)0，即u(x0)0，u(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增u(x)minu(x0)x0(3,4)，k0时，f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减，f(x)的极大值为faln2a，f(x)的极小值为f(1)0；当a0时，函数f(x)的极大值为aln2a，函数f(x)的极小值为0；当a0时，函数f(x)的极小值为aln2a，函数f(x)的极大值为0.(2)g(x)2lnxx2x，g(x)2x.假设结论不成立，则有由，得2ln(xx)(x1x2)0，22x0，由，得2x0，即，即ln.令t，不妨设x1x2，u(t)lnt(0t0，u(t)在0t1上是增函数，u(t)u(1)0，则ln，式不成立，与假设矛盾g(x0)0.
