1、专题16函数性质、方程、不等式等相结合问题1【2020年高考全国卷文数10】设函数，则（ ）A是奇函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是偶函数，且在单调递减【答案】A【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出【解析】函数定义域为，其关于原点对称，而，函数为奇函数又函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递增故选A2【2020年高考全国卷文数12理数11】若，则（ ）ABCD【答案】A【思路导引】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与
2、的大小关系，进而得到结果【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定，故选A3【2020年高考全国卷理数9】设函数，则（ ）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上
3、单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确故选D4【2020年高考山东卷6】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（ ）A天 B天 C天 D天【答案】B【思路导引】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果【解析】因为，
4、所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选B【专家解读】本题的特点是注重知识的应用，本题考查了指数型函数模型的应用，考查指数式与对数式互化，考查函数与方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养解题关键是正确进行指数式与对数式的互化5【2020年高考山东海南卷8】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以
5、在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或，解得或，所以满足的的取值范围是，故选D一、考向分析： 二、考向讲解考查内容 解 题 技 巧 单调性 1、用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式如若已知f(a)0，f(xb)0，则f(xb)0，设函数f(x)(xa，a)的最大值为M，最小值为N，那么MN()A2 016 B2 018 C4 032 D4 034【答案】D【解析】由题意得f(x)2
6、 018因为y2 018x1在a，a上是单调递增的，所以f(x)2 018在a，a上是单调递增的，所以Mf(a)，Nf(a)，所以MNf(a)f(a)4 0364 034【例2】（2021四川泸州高三一模）函数的最大值为_【答案】0【解析】由，且，令，即在为单调递增，为单调递减，而为增函数，在上单调递增，上单调递减，【例3】对于任意实数a，b，定义mina，b函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值为_【答案】1【解析】依题意知，h(x)当02时，h(x)3x 是减函数，则h(x)maxh(2)1考查对称性：【例1】（2021定远县育才学校高三月考）
7、函数f（x）=的图象A关于原点对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于直线y=x对称【答案】C【解析】函数的定义域为，且满足，故该函数为偶函数，图象关于轴对称，故选C【名师点睛】函数中常见的几种对称关系：（1）函数关于轴对称，则有；（2）函数关于轴对称，则有；（3）函数关于原点对称，则有；（4）函数关于直线对称，则与其反函数是同一个函数考查单调性奇偶性周期性综合问题【例1】【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数当时，其中k0若在区间(0，9上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 【答案】【解析】作出函数，的图象，如图：由图可知，函数的
8、图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，两点连线的斜率，综上可知，满足在(0，9上有8个不同的实数根的k的取值范围为【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大正确作出函数，的图象，数形结合求解是解题的关键因素【例2】（2021四川宜宾高三一模）已知定义在上的奇函数满足，若且时，都有，则下列四个结论中：图象关于直线对称；在上为减函数；其中正确的个数（ ）A1B2C3D4【答案】A【解析】因
9、为为奇函数，所以，所以，所以对称轴为，因为，所以，所以周期为4，所以对称轴，故不符合，所以不正确；，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以正确；因为且时，都有，所以，即，所以在上为增函数，所以在上为增函数，所以在上为增函数，所以不正确；因为，所以，所以不正确，即正确的个数为1个，故选A【名师点睛】本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合，得到和，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出，得到函数的单调性二次函数给定区间上的最问题【典例】求f(x)x22ax1在区间0，2上的最大值和最小值【解析】f(x)(xa)21a2，对称轴为xa(1)当a0时
10、，由图可知，f(x)在区间0，2上是增函数，所以f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a(2)当0a1时，由图可知，对称轴在区间0，2内，所以f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a(3)当12时，由图可知，f(x)在0，2上为减函数，所以f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1【点评】上题由于对称轴xa，而a的取值不定，从而导致了分类讨论由于抛物线的对称轴在区间0，2所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)，故应分四类讨论与二次函数有关的最值问题还有以下三类： (1)求二次函数在某定区间上的最小(大)值
11、【变式1】求二次函数f(x)x22ax2在2，4上的最小值【解析】函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2，4上是减函数，f(x)minf(4)188a当2a4时，f(x)minf(a)2a2f(x)min(2)已知二次函数的最大(小)值，求参数【变式2】已知函数yx22ax(0x1)，且ymaxa2，求实数a的取值范围【解析】yx22ax(xa)2a2(0x1)，函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为xa又ymaxa2，且0x1，0a11a0实数a的取值范围是1，0(3)求二次函数在某动区间上的最大(小)值【变式3】设f(x)x24x4，xa，a1(aR)，求函数f(x)的最小值g(a)的解析式【解析】f(x)(x2)28，xa，a1，当2a，a1时，即1a2时，g(a)f(2)8当a12，即a2时，f(x)在a，a1上是增函数，g(a)f(a)a24a4综上可知，g(a)【小结】（1）求在区间上的最值，下面分析的各情况： 若对称轴在区间内，则最小值为，最大值为中的较大者；若，则在区间内为增函数，则最大值为，最小值为； 若，则在区间内为减函数，则最小值为，最大值为
