1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题16二次函数与动点综合问题 二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代
2、数、几何知识解决问题. 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题. 【例1】（2022本溪二模）如图，抛物线yx2+bx+c经过A（3，0），C（1，0）两点，与y轴交于点B（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；（3）如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA匀速运动，同时点Q从
3、点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AOB匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接AM，设AB与OM的交点为N，作NHOA于点H，则NHOB，设点M，点N，证明ANHAOB，求出，可得，求出直线OM的解析式，联立方程组，即可求M点的横坐标；（3）分两种情况讨论：当0t3时，P（t，4t），Q（3t，0），再由菱形的边的性质分三种情况求解：当BPPQ时，t或t5（舍）；当BPBQ时，t（舍）；当BQPQ时，t0（舍）或t（舍）
4、；当3t5时，P（t，4t），Q（0，t3），再由菱形的边的性质分三种情况求解：当BPBQ，t3.5；当BPPQ时，t7（舍）或t（舍）；当BQPQ时，t0（舍）或t【解答】解：（1）将（3，0），（1，0）代入yx2+bx+c，得，解得，；（2）连接AM，设AB与OM的交点为N，作NHOA于点H，则NHOB，A（3，0），B（0，4），设直线AB的解析式为ykx+4，3k+40，k，yx+4，设点M，点N，SBMN：SABM1：4，SBMN：SABM1：4，BN：AN1：3，NHOB，ANHAOB，即，解得，直线OM的解析式为y4x，联立方程组，解得，点M在第一象限，点M的横坐标为；（3）A
5、（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，当0t3时，P（t，4t），Q（3t，0），四边形BPQG是菱形，当BPPQ时，t2（t3+t）2+（t）2，解得t或t5（舍）；当BPBQ时，（3t）2+42t2，解得t（舍）；当BQPQ时，（3t）2+42（t3+t）2+（t）2，解得t0（舍）或t（舍）；当3t5时，P（t，4t），Q（0，t3），四边形BPQG是菱形，当BPBQ，t2（7t）2，t3.5；当BPPQ时，t2（t）2+（4tt+3）2，解得t7（舍）或t（舍）；当BQPQ时，（7t）2（t）2+（4tt+3）2，解得t0（舍）或t；综上所述：t的值为或3.5或【例2】（2
6、022沈北新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+6（a0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OAOC3OB，连接AC（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求SCPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得ACM15？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）先求出CQ与PH的长，由三角形的面积公式和二次
7、函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，先求出CM的解析式，联立方程组可求解【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+6（a0）交y轴于点C，点C（0，6），OC6，OAOC3OB，OAOC6，OB2，点A（6，0），点B（2，0），将点A，点B坐标代入解析式，可得：，解得：，抛物线的表达式为：yx22x+6；（2）如图，过点P作PHCO于H，OAOC6，OCA45PHOC，ACOCPH45，PHCH，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，CP2t，OQt，PHCHt，CQ6t，SPCQCQPH（t2+6t）（t3）2+，当t3时
8、，SCPQ的最大值为，PHCH3，OH63，点P的坐标为（3，63）；（3）如图，当点M在AC的下方时，设CM与x轴的交点为H，ACM15，ACO45，OCH30，tanOCH，OH2，点H（2，0），直线CM的解析式为：yx+6，联立方程组可得：，解得：（舍去）或，故点M（42，4）；当点M在AC的上方时，设CM与x轴的交点为G，ACM15，ACO45，OCG60，tanOCG，OG6，点H（6，0），直线CM的解析式为：yx+6，联立方程组可得：，解得：（舍去）或，故点M（4，+）；综上所述：点M的坐标为（42，4）或（4，+）【例3】（2022三亚模拟）如图1，抛物线yx2+bx+c与x
9、轴正半轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）两点，点P为抛物线的顶点，连接AB、BP（1）求抛物线的解析式；（2）求PBA的度数；（3）如图2，点M从点O出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，MEx轴交AB于点E，NFx轴交抛物线于点F，连接MN、EF当EFMN时，求点F的坐标；在M、N运动的过程中，存在t使得BNP与BMN相似，请直接写出t的值【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P作PDy轴于点D，可证：PBD是等腰直角三角形，AOB是等腰直角三角形，即可求得答案；
10、（3）如图2，延长FN交x轴于点G，由AEM是等腰直角三角形，可得EMAM3t，再由四边形EFNM是平行四边形，可得EMFN，建立方程求解即可得出答案；如图3，过点N作HGx轴于点G，由于MBN90，故MBNPBN，若BMNPBN90，推出t0，不符合题意；若BNMPBN90，可求得t1，进而可得BNMNBP，故t1【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）两点，解得：，抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，顶点P（1，4），如图1，过点P作PDy轴于点D，则D（0，4），PDB90，PD1，BD431，PDBD，PBD是等腰直角三
11、角形，PBD45，BP，OAOB3，AOB90，AOB是等腰直角三角形，ABO45，AB3，PBA180PBDABO180454590，（3）如图2，延长FN交x轴于点G，由题意得：OMt，ANt，AM3t，FNx轴，AGN90，由（2）知：AOB是等腰直角三角形，BAO45，ABG是等腰直角三角形，AGNGANtt，G（3t，0），当x3t时，x2+2x+3（3t）2+2（3t）+3t2+4t，F（3t，t2+4t），FGt2+4t，FNFGNGt2+4ttt2+3t，MEx轴，AEM是等腰直角三角形，EMAM3t，MEx轴，EFMN，FNx轴，四边形EFNM是平行四边形，EMFN，3tt2
12、+3t，解得：t1或t3（不符合题意，舍去），F（2，3）；存在如图3，过点N作HGx轴于点G，由知：OMt，ANt，AGNGt，MG32t，BN3t，BP，PBN90，MBN90，MBNPBN，若BMNPBN90，则BMO+NMG90，BOMMGN90，BMO+MBO90，MBONMG，BMOMNG，即1，32t3，解得：t0（不符合题意，舍去），故BMNPBN，若BNMPBN90，则ANM90，AMN是等腰直角三角形，AMAN2t，OAOM+AM3t3，t1，当t1时，MNAN，BNABAN32，且BNMPBN90，BNMNBP，综上所述，当BNP与BMN相似时，t1【例4】（2021长沙
13、模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m1，求m的值（2）已知RtABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且abc求a：b：c的值；若ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线ABC运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设yPQ2求y关于t的函数关系式；求y的最小值【分析
14、】（1）根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍，分情况求m值即可；（2）根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍，及勾股定理列出三边关系，联立方程组求出比值即可；根据三边比值和ABC周长的数值与面积的数值相等，求出三边长度即可；（3）分点P在AB上和在BC上两种情况，根据勾股定理求出PQ2即可；利用的函数关系式求最值即可【解答】解：（1）“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，当4+62（m1）时，解得m6，当m1+426时，解得m9，当6+m124时，解得m3（不合题意舍去），综上，m的值为6或9；（2）RtABC是“调和三角形”，且abc，a2+b2c2，a+c2b，由，得b，代
15、入，得a2+（）2c2，整理得（5a3c）（a+c）0，a，b，c为三角形三边，0abc，5a3c0，故a：c3：5，同理可得，a：b3：4，a：b：c3：4：5；若ABC周长的数值与面积的数值相等，即a+b+c，a：b：c3：4：5，ba，ca，a+b+c，即a+a+aaa，解得a6或a0（舍去），a6，b8，c10；（3）（）当P点在AB上时，即0t5时，过P作PDAC于D，则有AP2t，CQt，AA，PDABCA90，APDABC，PD：AD：AP3：4：5，PDt，ADt，DQ8tt8t，PQ2PD2+DQ2，PQ2（t）2+（8t）2t2t+64；（）当P在BC上时，即5t8时，此时
16、，PC6+102t162t，CQt，PQ2PD2+DQ2（162t）2+t25t264t+256，综上，y关于t的函数关系式：；由y关于t的函数关系式可知当P在AB上时有最小值，yt2t+64（t）2+，当t，y有最小值为1（2021遵化市模拟）如图，关于x的二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度
17、在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CPCB；BPBC；PBPC；（3）设AMt则DN2t，由AB2，得BM2t，SMNB（2t）2tt2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入yx2+bx+c，解得：b4，c3，二次函数的表达式为：yx
18、24x+3；（2）令y0，则x24x+30，解得：x1或x3，B（3，0），BC3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CPCB时，PC3，OPOC+PC3+3或OPPCOC33P1（0，3+3），P2（0，33）；当BPBC时，OPOC3，P3（0，3）；当PBPC时，OCOB3此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，3）或（0，0）；（3）如图2，设M运动时间为t，由AB2，得BM2t，则DN2t，SMNB（2t）2tt2+2t（t1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，2）时MNB面积最大，最大面
19、积是12（2020市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4经过A（3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（44，0）动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得SGCBSGCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得GBE45，求E点的坐标【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）首先求出AQDACB，则，得出DQDP的长，进而得出答
20、案；（3）首先得出G点坐标，进而得出BGMBEN，进而假设出E点坐标，利用相似三角形的性质得出E点坐标【解答】解：（1）将A（3，0）、B（4，0）代入yax2+bx+4得：，解得：，故抛物线的解析式为：；（2）如图，连接QD，由B（4，0）和D（，0），可得BD，CO4，BC4，则BCBD，BDCBCDQDC，DQBC，AQDACB，DQDP，；（3）如图，过点G作GMBC于点M，过点E作ENAB于点N，SGCBSGCA，只有CGAB时，G点才符合题意，C（0，4），4x2+x+4，解得：x11，x20，G（1，4），GBEOBC45，GBCABE，BGMBEN，设E（x，）解得x1，x24
21、（舍去），则E（，）3（2020项城市三模）如图，抛物线经过A（3，0），C（5，0）两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PMBD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E当t为何值时，点N落在抛物线上；在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组
22、求出a、b的值，即可得解；（2）根据抛物线解析式求出顶点B的坐标，然后根据相似三角形对应边成比例用t表示出PM，再求出NE的长度，表示出点N的坐标，再根据点N在抛物线上，把点N的坐标代入抛物线，解方程即可得解；根据PM的长度表示出QD，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标，从而求出QR的长度，再表示出EC的长度，然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可【解答】解：（1）yax2+bx+经过A（3，0），C（5，0）两点，解得，所以，抛物线的解析式为yx2+x+；（2）yx2+x+，（x22x+1）+，（x1）2+8，点B的坐标为（1，8），抛物线的
23、对称轴与x轴交于点D，BD8，CD514，PMBD，PMCD，BPMBDC，即，解得PMt，所以，OE1+t，四边形PMNQ为正方形，NE8t+t8t，点N的坐标为（1+t，8t），若点N在抛物线上，则（1+t1）2+88t，整理得，t（t4）0，解得t10（舍去），t24，所以，当t4秒时，点N落在抛物线上；存在理由如下：PMt，四边形PMNQ为正方形，QDNE8t，设直线BC的解析式为ykx+m，则，解得，所以直线BC的解析式为y2x+10，则2x+108t，解得xt+1，所以，QRt+11t，又ECCDDE4t，根据平行四边形的对边平行且相等可得QREC，即t4t，解得t，此时点P在BD
24、上，所以，当t时，四边形ECRQ为平行四边形4（2018泉山区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+4经过A（3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BDBC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由抛物线yax2+bx+4经过A（3，0），B（4，0）两点
25、利用待定系数法可求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式；（2）由A、B、C三点的坐标求出AC、BC及AB的值，由相似三角形的判定定理得出ADQABC，再由相似三角形的对应边成比例可求出DP的值，进而可得出AP（即t）的值；（3）设抛物线yx2+x+4的对称轴x与x轴交于点E点A、B关于对称轴x对称，连接BQ交该对称轴于点M则MQ+MAMQ+MB，即MQ+MABQ，由于当BQAC时，BQ最小，此时EBMACO，再由tanEBMtanACO可求出ME的值，进而得出M点的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+4经过A（3，0），B（4，0）两点，解得，所求抛物线的解析式为：yx2+x+4；
26、（2）如图1，依题意知APt，连接DQ，A（3，0），B（4，0），C（0，4），AC5，BC4，AB7BDBC，ADABBD74，CD垂直平分PQ，QDDP，CDQCDPBDBC，DCBCDBCDQDCBDQBCADQABC，解得DP4，APAD+DP线段PQ被CD垂直平分时，t的值为；（3）如图2，设抛物线yx2+x+4的对称轴x与x轴交于点E点A、B关于对称轴x对称，连接BQ交该对称轴于点M则MQ+MAMQ+MB，即MQ+MABQ，当BQAC时，BQ最小，此时，EBMACO，tanEBMtanACO，解MEM（，），即在抛物线yx2+x+4的对称轴上存在一点M（，），使得MQ+MA的值最
27、小5（2018扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止设运动时间为t秒（1）当t2时，线段PQ的中点坐标为（，2）；（2）当CBQ与PAQ相似时，求t的值；（3）当t1时，抛物线yx2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使MQDMKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）先根据时间t2，和P，Q的运动速度可得动点P
28、和Q的路程OP和AQ的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：BPAQ90，所以当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时，当PAQCBQ时，分别列方程可得t的值；（3）根据t1求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQx轴，则KMKQ，KEMQ，画出符合条件的点D，证明KEQQMH或利用三角函数，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D【解答】解：（1）如图1，点A的坐标为（3，0），OA3，当t2时，OPt2，AQ2t4，P（2，0），Q（3，4），线段PQ的中点坐标为：（，），即（，2）；故答案为：（，2）；（2）如图1，当点P与点A
29、重合时运动停止，且PAQ可以构成三角形，0t3，四边形OABC是矩形，BPAQ90，当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时，4t215t+90，（t3）（t）0，t13（舍），t2，当PAQCBQ时，t29t+90，t，3，t不符合题意，舍去，综上所述，当CBQ与PAQ相似时，t的值是或；（3）当t1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线yx2+bx+c中得：，解得：，抛物线：yx23x+2（x）2，顶点K（，），Q（3，2），M（0，2），MQx轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，设DQ交y轴于H，KMKQ，KEMQ，MKEQKEMKQ，如图2，M
30、QDMKQQKE，tanMQDtanQKE，即，MH2，H（0，4），易得HQ的解析式为：yx+4，则，x23x+2x+4，解得：x13（舍），x2，D（，）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使HQMMKQQKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：yx，则，x23x+2x，解得：x13（舍），x2，D（，）；综上所述，点D的坐标为：D（，）或（，）6（2019兰州）二次函数yax2+bx+2的图象交x轴于点（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时
31、间为t秒（1）求二次函数yax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t时，求DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t时，在直线MN上存在一点Q，使得AQC+OAC90，求点Q的坐标【分析】（1）将点（1，0），B（4，0）代入yax2+bx+2即可；（2）由已知分别求出M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据DNB的面积DMB的面积MNB的面积即可求解；（3）由已知可得M（2t1，0），设P（2t1，m），根据勾股定理可得PC2（2t1）2+（m2）2，PB2（2t5）2+m2，再由PBPC，得到m与t的关系式
32、：m4t5，因为PCPB，则有1求出t1或t2，即可求D点坐标；（4）当t时，M（，0），可知点Q在抛物线对称轴x上；过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x的交点分别为Q1与Q2，由AB5，可得圆半径AM，即可求Q点坐标分别为（，），（，）【解答】解：（1）将点（1，0），B（4，0）代入yax2+bx+2，a，b，yx2+x+2；（2）C（0，2），BC的直线解析式为yx+2，当t时，AM3，AB5，MB2，M（2，0），N（2，1），D（2，3），DNB的面积DMB的面积MNB的面积MBDMMBMN222；（3）BM52t，M（2t1，0），设P（2t1，m），PC2（2t
33、1）2+（m2）2，PB2（2t5）2+m2，PBPC，（2t1）2+（m2）2（2t5）2+m2，m4t5，P（2t1，4t5），PCPB，1t1或t2，M（1，0）或M（3，0），D（1，3）或D（3，2）；方法二，过点C作CHMN于H，可证BMPPHC，利用全等三角形的性质可求解（4）当t时，M（，0），点Q在抛物线对称轴x上，如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x的交点分别为Q1与Q2，AB5，AM，AQ1C+OAC90，OAC+MAG90，AQ1CMAG，又AQ1CCGAMAG，Q1（，），Q1与Q2关于x轴对称，Q2（，），Q点坐标分别为（，），（，）；7（2
34、019鄂州）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB4，交y轴于点C，对称轴是直线x1（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q设运动时间为t（t0）秒若AOC与BMN相似，请直接写出t的值；BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【分析】（1）将A、B关坐标代入yx2+bx+c中，即可求解；（2）确定直线BC的解析式为yx+3，根据点E、F关于直线x1对称，即可求解
35、；（3）AOC与BMN相似，则，即可求解；分OQBQ、BOBQ、OQOB三种情况，分别求解即可【解答】解：（1）点A、B关于直线x1对称，AB4，A（1，0），B（3，0），代入yx2+bx+c中，得：，解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3，C点坐标为（0，3）；（2）设直线BC的解析式为ymx+n，则有：，解得，直线BC的解析式为yx+3，点E、F关于直线x1对称，又E到对称轴的距离为1，EF2，F点的横坐标为2，将x2代入yx+3中，得：y2+31，F（2，1）；（3）如下图，连接BC交MN于Q，MN4t2+4t+3，MB32t，AOC与BMN相似，则，即：，解得：t或或1（舍去、），故
36、：t1；M（2t，0），MNx轴，Q（2t，32t），BOQ为等腰三角形，分三种情况讨论，第一种，当OQBQ时，QMOBOMMB2t32tt；第二种，当BOBQ时，在RtBMQ中OBQ45，BQ，BO，即3，t；第三种，当OQOB时，则点Q、C重合，此时t0而t0，故不符合题意综上述，当t或秒时，BOQ为等腰三角形8（2019乐山）如图，已知抛物线ya（x+2）（x6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tanCAB设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQPC当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变
37、化范围；在的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；在的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围【分析】（1）由函数解析式，可以求出点A、B的坐标分别为（2，0），（6，0），在RtOAC中由tanCAB，可以求出点C的坐标为（0，3），进而可以求出抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴为：x2，顶点M（2，4），在RtPCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2CQ2，把三角形三边长用点P，Q的坐标表达出来，整理得：，利用0m4，求出n的取值范围；由，得：，求出点P到线段CQ距离为2；设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：，
38、联立抛物线方程，可求出x27x+4t0，由4916t0，得，可得当线段CQ与抛物线有两个交点时，【解答】解：（1）根据题意得：A（2，0），B（6，0），在RtAOC中，且OA2，得CO3，C（0，3），将C点坐标代入ya（x+2）（x6）得：，抛物线解析式为：；整理得：y故抛物线解析式为：得：y；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0m4），则PC222+（m3）2，PQ2m2+（n2）2，CQ232+n2，PQPC，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2CQ2，即22+（m3）2+m2+（n2）232+n2，整理得：（0m4），当时
39、，n取得最小值为；当m4时，n取得最大值为4，所以；由知：当n取最大值4时，m4，P（2，4），Q（4，0），则，CQ5，设点P到线段CQ距离为h，由得：，故点P到线段CQ距离为2；由可知：当n取最大值4时，Q（4，0），线段CQ的解析式为：，设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：，当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点，此时对应的点Q的纵坐标为：，将Q（4，3）代入得：t3，当线段CQ继续向上平移，线段CQ与抛物线只有一个交点时，联解得：，化简得：x27x+4t0，由4916t0，得，当线段CQ与抛物线有两个交点时，3t9（2019西宁）如图，直线yx+
40、2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP（1）求抛物线的解析式；（2）若AOP的面积是3，求P点坐标；（3）如图，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NEx轴交直线AB于点E若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出点A、B的坐标；因为抛物线的顶点为点A，所以设抛物线的表达式为：ya（x2）2，将点B的坐标代
41、入上式，即可求解；（2）AOP的面积OAyP2yP3，解得：yP3，即可求解；（3）t秒时，点M、N的坐标分别为：（t，0）、（0，t），则点E（2t，t），而点N（0，t），故NE2t，当四边形AMNE是菱形时，NEMN，即可求解【解答】解：（1）yx+2，令x0，则y2，令y0，则x2，故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2），抛物线的顶点为点A（2，0），设抛物线的表达式为：ya（x2）2，将点B的坐标代入上式得：2a（02）2，解得：a，故抛物线的表达式为：y（x2）2x22x+2；（2）点A（2，0），则OA2，AOP的面积OAyP2yP3，解得：yP3，则yP3（x2）2，解
42、得：x2，故点P的坐标为：（2+，3）或（2，3）；（3）存在，理由：由题意得：t秒时，点M、N的坐标分别为：（t，0）、（0，t），当yt时，ytx+2，解得：x2t，故点E（2t，t），而点N（0，t），故NE2t，当四边形AMNE是菱形时，NEMN，即t2+（t）2（2t）2，解得：t或2（舍去2），故t10（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（2，3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，P
43、B，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN2，动点Q从点P出发，沿PMNA的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标【分析】（1）将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）S四边形OBPFSOBF+SPFB41+PHBO，即可求解；（3）过点M作AMAN，过作点A直线DE的对称点A，连接PA交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，即可求解【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x+2，同理可得直线D
44、E的表达式为：yx1；（2）如图，连接BF，过点P作PHy轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：yx+1，设点P（x，x2+x+2），则点H（x，x+1），S四边形OBPFSOBF+SPFB41+PHBO2+2（x2+x+2+x1）7，解得：x2或，故点P（2，3）或（，）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作AMAN，过点A作直线DE的对称点A，连接PA交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，MN2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A（1，2），AADE，则直线AA过点A，则其表达式为：yx+3，联立得x2，则AA中点坐标为
45、（2，1），由中点坐标公式得：点A（3，0），同理可得：直线AP的表达式为：y3x+9，联立并解得：x，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，）11（2019湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在直线的
46、右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长【分析】（1）由OA3，tanOAC，得OC，由四边形OABC是矩形，得BCOA3，所以CDBC，求得D（，）；（2）由易知得ACBOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，所以BDB60，BDFBDF30，所以BFBDtan30，AFBF，因为BFDAEF，所以BFAE90，因此BFDAFE，AEBD，点E的坐标（，0）；动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为yx2+x，因此E（，0），直线DE：yx+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时
47、，求得此时抛物线解析式为yx2+x+，所以E（6，0），直线DE：yx+，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为F1F2，即G运动路径的长为【解答】解：（1）OA3，tanOAC，OC，四边形OABC是矩形，BCOA3，D是BC的中点，CDBC，D（，）；（2）tanOAC，OAC30，ACBOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，DBCACB30BDB60，BDFBDF30，B90，BFBDtan30，AB，AFBF，BFDAEF，BFAE90，BFDAFE（ASA），AEBD，OEOA+AE，点E的坐标（，0）；动点P在点O时
48、，抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx2+x，E（，0），直线DE：yx+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx2+x+，E（6，0），直线DE：yx+，F2（3，）；点F运动路径的长为F1F2，如图，当动点P从点O运动到点M时，点F运动到点F，点G也随之运动到G连接GG当点P向点M运动时，抛物线开口变大，F点向上线性移动，所以G也是线性移动即GGFFDFG、DFG为等边三角形，GDFGDF60，DGDF，DGDF，GDFGDFGDFGDF，即GDGFDF在DFF与DGG中，DFFDGG
49、（SAS），GGFF，此时FGG120，GGDF，点G的运动轨迹是线段GG，G运动路径的长为12（2021高明区校级模拟）在平面直角坐标系中，RtABC，ACB90，ABx轴，如图1，C（1，0），且OC：OAAC：BC1：2（1）A点坐标为（0，2），B点坐标为（5，2）；（2）求过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，PQB面积最大，试求出最大面积【分析】（1）根据OC
50、1可得OA2，因为A在y轴上，可得A的坐标，根据勾股定理计算AC，AB的长，可得B的坐标；（2）利用待定系数法求二次函数的解析式；（3）根据动点的时间和速度表示PB和DQ的长，根据三角形面积公式表示PQB面积，根据二次函数的最值即可解答【解答】解：（1）C（1，0），OC1，OC：OA1：2，OA2，A（0，2），AC，AC：BC1：2，BC2，ACB90，AB5，ABx轴，B（5，2），故答案为：（0，2），（5，2）；（2）设过A、B、C三点的抛物线表达式为：yax2+bx+c，则，解得：，过A、B、C三点的抛物线表达式为：yx2x+2；（3）如图2，设运动t秒时，PQB面积最大，且0t5
51、，则BP5t，DQ5t，SPQB，a0当t时，面积最大值是：SPQB，此时点P的坐标为（，2），当点Q向上运动时，点Q的坐标为（，），当点Q向下运动时，点Q的坐标为（，），综上，当点P的坐标为（，2），点Q的坐标为（，）或（，）时，PQB面积最大，最大面积为13（2020香洲区校级一模）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处（1）若抛物线yax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在M
52、，N使以A，M，N，E为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线DCA以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线lx轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围（t的取值应保证QFG的存在）【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）易求得抛物线的对称轴x5，过点E作ETAH，垂足为T，运用勾股定理用的代数式表示出AM2、EM2，然后分别以A
53、M与AE，EM与EA，ME与MA为菱形的一组邻边进行讨论，列出等式，求出n，就可求出点M的坐标；（3）根据点Q的位置不同，分以下四种情况进行讨论：点Q在线段DC上、点Q在AC上且在直线的右边、）点Q在AC上且在直线上、点Q在AC上且在直线l的左边，就可解决问题【解答】（1）解：四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），BCOD10，DCOB8，OBCC90，由折叠可得：OAOD10，AEDE，OBC90，OB8，OA10，AB6，AC4，设AEDEx，则CE8x，C90，x242+（8x）2，解得：x5，AEDE5，点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），抛物线yax2+b
54、x经过点A（6，8），D（10，0），解得：此抛物线的解析式为；（2）存在M、N，使以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，设抛物线的对称轴与BC交于点H，过点E作ETAH，垂足为T，连接AM、ME，如图1，设点M的坐标为（m，n），则，AH651，HM8n，ET1055，TM5n，因为AHHM，AM2AH2+MH21+（8n）2，ETMH，ME2ET2+MT225+（5n）2，若AM与AE是菱形的一组邻边，则AMAE，AM2AE2，1+（8n）225，（8n）224，解得：；若EM与EA是菱形的一组邻边，则EMEA，EM2EA2，25+（5n）225，（5n）20，n35；若MA与ME是菱形的
55、一组邻边，则MAME，MA2ME2，1+（8n）225+（5n）2，解得：n42.5综上所述：满足要求的点M的坐标为，（5，5），（5，2.5）；（3）设直线OA的解析式yk1x，点A的坐标为（6，8），6k18，k1，故直线OA的解析式为yx，同理可得：直线OE的表达式为y，OP1tt，P（t，0），直线x轴于点P，点F，G是直线l与OA，OE的交点，故，当0t8时，点Q在线段DC上，过点Q作QS直线l，垂足为S，如图2，则QSPD10t，当8t9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，设FG交AC于点N，如图3，则QNCNCQPDCQ（10t）（t8）182t，；当t9时，QN182t0，
56、点Q与点N重合，此时QFG不存在，故舍去；当9t10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图4则QNCQCNCQPD（10t）2t18，（2t18）综上所述：14（2020南充一模）如图，抛物线y（x+1）（xn）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，ABC的面积为5动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PNx轴交BC于M，交抛物线于N（1）求抛物线的解析式；（2）当M在线段BC上，MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？【分析】（1）根据已知条件，求出点A、点B、点C的坐标，根据ABC的面积
57、为5即可求解；（2）根据题意得出点M、点N的坐标，求出MN的代数式即可求解；（3）根据两点间的距离的含义，作BC的中垂线即可求解【解答】解：（1）抛物线y（x+1）（xn）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，A（1，0），B（n，0），C（0，），n0，ABn+1，OCn，由SABCABOC5，n（n+1）5，n（n+1）20，取正根n4，y（x+1）（x4）x2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2），直线BC为yx+2，设M（m，m+2），N（m，m2+m+2），MN（m2+m+2）（m+2）m2+2m（m2）2+2，当m2时，MN最大，OP2，AP3，即经
58、过3s，MN最大；（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，CDECOB，由（2），BC2，D（2，1），DE2CD2，CE5，OE3，E（0，3），直线DE为y2x3，由x2+x+22x3，移项整理得：x2+x50，x2+x100，取正根x，OP，AP，即经过秒，点N到点B、点C的距离相等15（2020潮南区模拟）如图，关于x的二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与
59、点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积（3）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设AMt则DN2t，由AB2，得BM2t，SMNB（2t）2tt2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处（3）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CPCB；BPBC；PBP
60、C；【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入yx2+bx+c，解得：，二次函数的表达式为：yx24x+3；（2）如图1，设A运动时间为t，由AB2，得BM2t，则DN2t，SMNB（2t）2tt2+2t（t1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，2）时MNB面积最大，最大面积是1；（3）令y0，则x24x+30，解得：x1或x3，B（3，0），BC3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2，当CPCB时，PC3，OPOC+PC3+3或OPPCOC33P1（0，3+3），P2（0，33）；当BPBC时，OPOB3，P3（0，3）；当PBPC时，OCOB
61、3，此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，3）或（0，0）16（2020潮州模拟）如图1，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB2OA4（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分ACP时，求点P的坐标；（3）如图2，点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t秒则当t为何值时，EFG的面积是ABC的面积的？【分析】（1）根据OA
62、、OB的长度求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）求出C（0，4），求出直线CD的解析式，联立直线CD的解析式和抛物线的解析式可求出答案；（3）过点G作GHx轴于点H，证明AHGAOC，得出，求出点G的坐标，当0t4时，如图2，过点F作FMx轴于点M，依题意得：，根据三角形的面积可求出答案，当4t6时，可求出答案【解答】解：（1）OB2OA4，A（2，0），B（4，0），把A（2，0），B（4，0）分别代入得：，解得：，抛物线的函数表达式为；（2）如图，设CP与x轴相交于点D，OC平分ACP，AOCO，OAOD2，D（2，0），把x0代入得，y4，C（0，4），设直
63、线CD的解析式为ykx+d，把C（0，4），D（2，0）分别代入ykx+d得：，解得：，y2x4，依题意得，解得，P（6，8）；（3）如图2，过点G作GHx轴于点H，GHy轴AHGAOC，由A（2，0），C（0，4），得G（1，2），点E运动到点B的时间为4（2）16秒，点F运动到点C的时间为秒，当0t4时，如图2，过点F作FMx轴于点M，依题意得：，OCOB4，OBC45，FMMBt，EH1t，HG2，HM61t5t，EM6tt62t，SEFGSEGH+S梯形HGFMSEFM，EFG的面积是ABC的面积的，解得：t11，t24，当4t6时，如图3，SEFGSAFESAGEt，综上所述，当t1
64、或t4时，EFG的面积是ABC的面积的17（2021饶平县校级模拟）如图，抛物线yx2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的
65、长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）APD是直角时，点P与点B重合，求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），解得，抛物线解析式为yx24x+3；（2）令x0，则y3，点C（0，3），则直线AC的解析式为yx+3，设点P（x，x24x+3），PDy轴，点D（x，x+3），PD（x+3）（x24x+3）x2+3x（x）2+，a10，当x时，线段PD的长度有最大值；（3）APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），yx24x+3（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2
66、，1），A（3，0），点P为在抛物线顶点时，PAD45+4590，此时，点P（2，1），综上所述，点P（1，0）或（2，1）时，APD能构成直角三角形18（2020山西模拟）综合与实践如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）令x0和y0，可得方程，解得可求点A
67、，B，C的坐标；（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解；（3）分两种情况讨论，利用锐角三角函数和三角形面积公式可求解【解答】解：（1）令y0，可得0x2x3，解得：x11，x24，点A（1，0），点B（4，0），令x0，可得y3，点C（0，3）；（2）点A（1，0），点B（4，0），点C（0，3），AB5，OB4，OC3，BC5，当BDBE时，则5tt，t，当BEDE时，如图1，过点E作EHBD于H，DHBHBD，cosDBC，t，当BDDE时，如图2，过点D作DFBE于F，EFBFBEt，cosDBC，t，综上所述：t的值为，和；（3）SBOCBOCO6，SBOC，S
68、BOC，如图1，过点E作EHBD于H，sinDBC，HEt，当SBDESBOC时，则（5t）t，t11，t24，当SBDESBOC，时，则（5t）t，t25t+160，方程无解，综上所述：t的值为1或419（2020雁塔区校级模拟）将抛物线C1：yx2+3沿x轴翻折，得抛物线C2（1）请求出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出
69、此时m的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，顶点的纵坐标为互为相反数；（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称可得OMON，A，E关于原点O对称可得OAOE，判断四边形ANEM为平行四边形；若AM2+ME2AE2，解得m，即可求解；【解答】解：（1）抛物线C1：yx2+3的顶点为（0，3），翻折后的抛物线的顶点坐标为（0，3），抛物线C2解析式为：yx23；（2）存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（m，3），N（m，3），M，N关于原点O对称，OMON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（，0），（，0），A（m，0），E（+m，
70、0），A，E关于原点O对称，OAOE，四边形ANEM为平行四边形，AM23+912，ME2（+m+m）2+324m2+4m+12，AE2（+m+m）24m2+8m+12，若AM2+ME2AE2，12+4m2+4m+124m2+8m+12，解得m，此时AME是直角三角形，且AME90，当m时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形20（2020清江浦区模拟）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处（1）若抛物线yax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若
71、点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线DCA以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线lx轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围（t的取值应保证QFG的存在）【分析】（1）设AEDEx，则CE8x，则x242+（8x）2，则AEDE5，则点A的坐标为（6，8），进而求解；（2）分AEAM、AEE
72、M、AMEM三种情况，分别求解即可；（3）分0t8、8t9、t9、9t10三种情况，分别求解函数表达式即可求解【解答】解：（1）四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），BCOD10，DCOB8，OBCC90，由折叠可得：OAOD10，AEDE，OBC90，OB8，OA10，AB6，AC4，设AEDEx，则CE8x，C90，x242+（8x）2，解得：x5，AEDE5，点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），抛物线yax2+bx经过点A（6，8），D（10，0），则，解得，此抛物线的解析式为yx2+x；（2）抛物线过O、D（10，0）两点，则其对称轴为x5，设点M（5，m）
73、，而点A（6，8）、点E（10，5），则AE216+925，AM21+（m8）2，EM2（m5）2+25，当AEAM时，则251+（m8）2，解得：m82；当AEEM时，同理可得：m5；当AMEM时，同理可得：m；故点M的坐标为（5，8+2）或（5，82）或（5，5）或（5，2.5）；（3）设直线OA的解析式yk1x，点A的坐标为（6，8），6k18，解得：k1，直线OA的解析式yx，同理可得：直线OE的表达式为yx，OP1tt，P（t，0），直线x轴于点P、点F，G是直线l与OA，OE的交点，点F、G的坐标分别为（t，t）、（t，t），则FGttt，当0t8时，点Q在线段DC上，过点Q作QS
74、直线l，垂足为S，如图1，则QSPD10t，SFGQSFGPDt（10t）t2+t；当8t9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，设FG交AC于点N，如图2，则QNCNCQPDCQ（10t）（t8）182tSFDQNt（182t）t2+t；当t9时，QN182t0，点Q与点N重合，此时QFG不存在，故舍去，当9t10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图3则QNCQCNCQPD（10t）2t18，SFGQNt（2t18）t2t；综上所述：S21（2022济宁三模）如图，直线y2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点A、E，点E的坐标
75、是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H当DPHCAD时，求t的值；过点H作HMBD，垂足为点M，过点P作PNBD交线段AB或AD于点N在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，根据两点式设抛物
76、线解析式，将点E坐标代入抛物线解析式求得a的值，从而得出答案；（2）由点A，点B，点C，点D坐标可求ADCD，BDOC，可证四边形PDQC是平行四边形，可得PDCQ，即3t42t，解之即可；分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解【解答】解：（1）在直线y2x+4中，令x0时，y4，点B坐标（0，4），令y0时，得：2x+40，解得：x2，点A（2，0），抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），可设抛物线解析式为ya（x2）（x6），将E（5，3）代入，得：3a（52）（56），解得：a1，抛物线解析式为：y（x2）（x6）x2+8x12；（2）抛物线解析式为：yx2+8x1
77、2（x4）2+4，顶点D（4，4），点B坐标（0，4），BDOC，BD4，yx2+8x12与x轴交于点A，点C，令y0，得0x2+8x12，解得：x16，x22，点C（6，0），点A（2，0），AC4，点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），ADCD2，DACDCA，BDAC，DPHPQA，且DPHDAC，PQADAC，PQDC，且BDAC，四边形PDCQ是平行四边形，PDQC，42t3t，t；存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t1如图，若点N在AB上时，即0t1，BDOC，DBAOAB，点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），ABAD2，OA2，OB4，ABD
78、ADB，tanOABtanDBA，PN2BP4t，MHPN4t，tanADBtanABD2，MD2t，DH2t，AHADDH22t，BDOC，5t210t+40，t11+（舍去），t21；若点N在AD上，即1t，PNMH，点H、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为122（2022望花区模拟）如图1，已知抛物线yax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）、点C的坐标为（0，3）（1）请写出该抛物线的函数表达式和点B的坐标；（2）如图2，有两动点D、E在COB的边上运动，运动速度均为每秒5
79、个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按COB方向向终点B运动，点E沿线段BC按BC方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒，请解答下列问题：当t为何值时，BDE的面积等于；在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标【分析】（1）把A、C两点代入抛物线yax2+x+c解析式，即可得表达式令y0，得B点的坐标；（2）在OBC中，BCOC+OB，当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动，由勾股定理得BC5，当运动时间为t秒时，BE5
80、t，过点E作ENx轴，垂足为N，根据相似三角形的判定得BENBCO，根据相似三角形的性质得，点E的坐标为（44t，3t），分两种情形讨论：、当点D在线段CO上运动时，0t，此时CD5t，点D的坐标为（0，35t），SBDESBOCSCDESBOD，由SBDE，即可求解；、如图，当点D在线段OB上运动时，t1，BD75t，SBDEBDEN，解方程即可求解；根据平行四边形ADFE的性质得出坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+x+c经过A（1，0），C（0，3）两点，解得，该抛物线的函数表达式为yx2+x+3；抛物线yx2+x+3，令y0，解得：x11，x24，B点的坐标为（4，0）；（2）在OB
81、C中，BCOC+OB，当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动，OC3，OB4，在RtOBC中，BC5，0t1，当运动时间为t秒时，BECD5t，如图，过点E作ENx轴，垂足为N，则BENBCO，t，BN4t，EN3t，点E的坐标为（44t，3t），下面分两种情形讨论：、当点D在线段CO上运动时，0t，此时CD5t，点D的坐标为（0，35t），SBDESBOCSCDESBODBOCOCD|xE|OBOD435t（44t）4（35t）10t2，当SBDE时，10t2，解得t1（舍去），t2，t；、如图，当点D在线段OB上运动时，t1，BD75t，SBDEBDEN（75t）3t，解得（不合题
82、意，舍去），综上所述，当或时，BDE的面积等于；当点D在线段OC上，过点E作EHx轴，过点F作FHEH于H，四边形ADFE是平行四边形，ADEF，ADEF，ADF+DFE180，COFH，ODF+DFH180，ADOEFH，又AODEHF，ADOEFH（AAS），AOEH1，FHDO35t，点E的坐标为（44t，3t），点F（54t，3t+35t），3t+35t（54t）2+（54t）+3，解得：t1，t2（不合题意舍去），F坐标为（，）；当点D在线段OB上，过点E作EQAB于Q，过点F作FMAB于M，四边形ADFE是平行四边形，ADEF，ADEF，EAQFDM，又AQEDMF90，AEQDFM（AAS），DMAQ，EQFM，EFAD4（75t）+15t2，点E的坐标为（44t，3t），点F（2+t，3t），3t（2+t）2+（2+t）+3，解得：t36（不合题意舍去），t41，F坐标为（3，3）综上所述：F的坐标为（3，3）或（，）
