1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题16二次函数与动点综合问题 二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代
2、数、几何知识解决问题. 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题. 【例1】（2022本溪二模）如图，抛物线yx2+bx+c经过A（3，0），C（1，0）两点，与y轴交于点B（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；（3）如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA匀速运动，同时点Q从
3、点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AOB匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值【例2】（2022沈北新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+6（a0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OAOC3OB，连接AC（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求SCPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）点M
4、是抛物线上一点，是否存在点M，使得ACM15？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【例3】（2022三亚模拟）如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）两点，点P为抛物线的顶点，连接AB、BP（1）求抛物线的解析式；（2）求PBA的度数；（3）如图2，点M从点O出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，MEx轴交AB于点E，NFx轴交抛物线于点F，连接MN、EF当EFMN时，求点F的坐标；在M、N运动的过程中，存在t使得BNP与BMN相似，请直接
5、写出t的值【例4】（2021长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m1，求m的值（2）已知RtABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且abc求a：b：c的值；若ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线ABC运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设yPQ2求y关于t
6、的函数关系式；求y的最小值1（2021遵化市模拟）如图，关于x的二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积2（2020市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4经过
7、A（3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（44，0）动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得SGCBSGCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得GBE45，求E点的坐标3（2020项城市三模）如图，抛物线经过A（3，0），C（5，0）两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为
8、每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PMBD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E当t为何值时，点N落在抛物线上；在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由4（2018泉山区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+4经过A（3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BDBC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动（1）求该抛物线的
9、解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由5（2018扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止设运动时间为t秒（1）当t2时，线段PQ的中点坐标为 ；（2）当CBQ与PAQ相似时，求t的值；（3）当t1时，抛物线yx2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K
10、，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使MQDMKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由6（2019兰州）二次函数yax2+bx+2的图象交x轴于点（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒（1）求二次函数yax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t时，求DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t时，在直线MN上存在一点Q，使得AQC+OAC90，求点Q的坐标7
11、（2019鄂州）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB4，交y轴于点C，对称轴是直线x1（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q设运动时间为t（t0）秒若AOC与BMN相似，请直接写出t的值；BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由8（2019乐山）如图，已知抛物线ya（x+2）（x6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tanCAB设抛物线的顶点为M，对称
12、轴交x轴于点N（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQPC当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；在的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；在的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围9（2019西宁）如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP（1）求抛物线的解析式；（2）若AOP的面积是3，求P点坐标；（3）如图，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，
13、点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NEx轴交直线AB于点E若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由10（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（2，3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当
14、点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN2，动点Q从点P出发，沿PMNA的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标11（2019湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段D
15、F为边，在DF所在直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长12（2021高明区校级模拟）在平面直角坐标系中，RtABC，ACB90，ABx轴，如图1，C（1，0），且OC：OAAC：BC1：2（1）A点坐标为 ，B点坐标为 ；（2）求过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，PQB面积最大，试求出最大面积13（2020香
16、洲区校级一模）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处（1）若抛物线yax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在M，N使以A，M，N，E为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线DCA以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P
17、作直线lx轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围（t的取值应保证QFG的存在）14（2020南充一模）如图，抛物线y（x+1）（xn）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，ABC的面积为5动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PNx轴交BC于M，交抛物线于N（1）求抛物线的解析式；（2）当M在线段BC上，MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？15（2020潮南区模拟）如图，关于x的二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）
18、和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积（3）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由16（2020潮州模拟）如图1，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB2OA4（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设P是（1
19、）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分ACP时，求点P的坐标；（3）如图2，点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t秒则当t为何值时，EFG的面积是ABC的面积的？17（2021饶平县校级模拟）如图，抛物线yx2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）APD能否构成直角三角形
20、？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由18（2020山西模拟）综合与实践如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由19（2020雁塔区校级模拟）将抛物线C1：yx2+3沿x轴翻折，得抛物线C2（1）请求出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m
21、个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由20（2020清江浦区模拟）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处（1）若抛物线yax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否
22、存在点M，使AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线DCA以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线lx轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围（t的取值应保证QFG的存在）21（2022济宁三模）如图，直线y2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）（1
23、）求抛物线的解析式（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H当DPHCAD时，求t的值；过点H作HMBD，垂足为点M，过点P作PNBD交线段AB或AD于点N在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由22（2022望花区模拟）如图1，已知抛物线yax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）、点C的坐标为（0，3）（1）请写出该抛物线的函数表达式和点B的坐标；（2）如图2，有两动点D、E在COB的边上运动，运动速度均为每秒5个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按COB方向向终点B运动，点E沿线段BC按BC方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒，请解答下列问题：当t为何值时，BDE的面积等于；在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标
