1、第45课基本不等式及其应用【自主学习】第45课 基本不等式及其应用(本课时对应学生用书第114116页)自主学习回归教材1.(必修5P98例1改编)若x0，则x+的最小值为.【答案】4【解析】因为x0，所以x+4，当且仅当x=，即x=2时取等号.2.(必修5P98例1改编)设a，b均为正数，则+的最小值为.【答案】2【解析】因为a，b为正数，所以+2=2，当且仅当=，即a=b时取等号.3.(必修5P105习题10改编)函数y=x+(x-1)的值域为.【答案】1，+)【解析】因为x-1，所以x+10，所以y=x+=x+1+-12-1=1，当且仅当x=0时取等号，所以函数y=x+(x-1)的值域为
2、1，+).4.(必修5P105习题9改编)函数y=2-x-(x0)的最大值为 .【答案】-2【解析】因为x0，所以y=2-x-=2-2-2=2-4=-2，当且仅当x=，即x=2时取等号.5.(必修5P106习题16改编)已知正数x，y满足x+2y=1，那么+的最小值为.【答案】3+2【解析】因为x0，y0，x+2y=1，所以+=(x+2y)=1+2+3+2=3+2，当且仅当x2=2y2时取得最小值3+2.1. 基本不等式的定理表达式为(a0，b0)，当且仅当a=b时取“=”.2. 应用基本不等式求最值时应注意的问题是一正；二定；三相等.3. 与基本不等式相关的重要不等式：(1)a2+b22ab
3、(a，bR)；(2)+2(ab0)；(3)(a，bR).4. 基本不等式(a0，b0)的两个等价变形：(1)ab(当且仅当a=b时取“=”)；(2)a+b2(当且仅当a=b时取“=”).【要点导学】要点导学各个击破利用基本不等式证明例1已知a0，b0，c0，求证：+a+b+c.【思维引导】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到.【解答】因为a0，b0，c0，所以+2 =2c；+2 =2b；+2 =2a.以上三式相加得22(a+b+c)，即+a+b+c，当且仅当a=b=c时取等号.【精要点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出
4、发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.利用基本不等式求最值微课11 问题提出从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求积的最值、和的最值时，基本不等式焕发出强大的生命力，它是解决最值问题的强有力的工具.我们结合例2谈谈运用基本不等式求最值有哪些方法技巧. 典型示例例2(2015南通期末)如图，已知函数y=ax+b(b0)的图象经过点P(1，3)，则+的最小值为.(例2)【思维导图】【答案】【规范解答】方法一：(基本不等式法)由图可知a1，点(1，3)在函数y=ax+b的图象上，所以a+b=3，且1a3，0b2.所以+=2=(a-1)+b=
5、.当且仅当=，即a=，b=时取等号，所以+的最小值为.方法二：(判别式法)由方法一可知a+b=3，1a3，0b2+=，所以u.当a=，b=时，u=+=，所以+的最小值为.方法三：(三角代换法)由方法一可知a+b=3，且1a3，0b0，则+2(当且仅当a=b时取“=”).若ab0，则2，即+2或+-2(当且仅当|a|=|b|时取“=”).(4)若a，bR，则(当且仅当a=b时取“=”). 题组强化1.已知x0，那么y=2+x+的最大值是.【答案】-2【解析】因为x0，所以y=2+x+=2-2-2=-2，当且仅当-x=，即x=-2时取等号，所以y=2+x+的最大值为-2.2. (2015福建卷)若
6、直线+=1(a0，b0)过点(1，1)，则a+b的最小值为.【答案】4【解析】依题意有+=1，所以a+b=(a+b)=1+12+2 =4，当且仅当a=b=2时等号成立.3.(2014重庆卷改编)若log4(3a+4b)=log2，则a+b的最小值是.【答案】7+4【解析】由log4(3a+4b)=log2，得3a+4b=ab，则+=1，所以a+b=(a+b)=7+7+2=7+4，当且仅当=，即a=4+2，b=2+3时等号成立，故其最小值是7+4.4. (2015无锡期末)已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为.【答案】【解析】方法一：=，当且仅当3a=b时等号成立，又因为9a2+b
7、2=1，a0，b0，所以当a=，b=时，取得最大值为.方法二：令，则= .令t=cos +sin =sin.因为，所以+，则sin，所以t(1，所以=.因为y=t-在t(1，上单调递增，所以当t=时，取得最大值为.5. (2015重庆卷)设a0，b0，a+b=5，则+的最大值为.【答案】3【解析】(+)2=a+b+4+29+2=9+a+b+4=18，当且仅当a+1=b+3且a+b=5，即a=，b=时等号成立，所以+3.利用基本不等式解恒成立问题例3已知对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，求实数a的取值范围.【解答】因为对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，所以a-恒成立，
8、而|x|+2，-2，所以a-2，即实数a的取值范围为a|a-2.【精要点评】分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或某个函数的最值问题.变式(1)设k0，若关于x的不等式kx+5在(1，+)上恒成立，则k的最小值为.(2)已知xln x-(a+1)x+10对任意的x恒成立，那么实数a的取值范围为.【答案】(1)1(2)(-，0【解析】(1)原不等式变为k(x-1)+5-k，因为x1，所以x-10，所以k(x-1)+4，所以45-k，即()2+4-50，解得1，所以k1，即k的最小值为1.(2)原不等式等价于ax1-x+xln x，x，所以a+ln x.令f(x)=+ln
9、x，x，则f(x)=，当x时，f(x)0，所以当x=1时，f(x)min=f(1)=0，所以a0.【精要点评】(1)恒成立问题常常用分离参数的方法转化问题；(2)通过构造新函数求最值，从而求出参数的取值范围.1. 若x-3，则x+的最小值为.【答案】2-3【解析】因为x-3，所以x+30，x+=x+3+-32-3=2-3.2.(2015苏州、无锡、常州、镇江二模)已知常数a0，函数f(x)=x+(x1)的最小值为3，则a的值为.【答案】1【解析】因为f(x)=x-1+1，且x-10，所以f(x)2+1=3，当且仅当x-1=，即x=+10时取等号，此时a=1.3.(2015天津卷)已知a0，b0
10、，ab=8， 则当a的值为时，log2alog2(2b)取得最大值.【答案】4【解析】log2alog2(2b)=(log216)2=4，当a=2b时取等号，结合a0，b0，ab=8，可得a=4，b=2. 4.(2015湖南卷)若实数a，b满足+=，则ab的最小值为.【答案】2【解析】方法一：由题设得+=，ab=b+2a2，当且仅当b=2a=时，等号成立，所以ab2.方法二：=+2，即ab2，当且仅当b=2a=时，等号成立. 5.(2015苏州期末)已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为.【答案】2+【解析】设b+1=c，则b=c-1，a+c=3，且0a2，1c1时，函数y=x+的最
11、小值是.2已知正数x，y满足x+y=1，那么+的最小值为.3若x+2y=1，则2x+4y的最小值为.4(2015宿迁一模)若a2-ab+b2=1，a，b是实数，则a+b的最大值是.5(2014扬州中学模拟)设x，y均为正实数，且+=1，则xy的最小值是.6某公司一年购买某种货物200 t，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买t.7若二次函数f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域为0，+)，则+的最大值为.8(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)已知正实数x，y满足x+3y+=10，则x
12、y的取值范围为.二、 解答题 9已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0，b0)的最大值为12，求+的最小值.10如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB=3 m，AD=2 m.(1)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(2)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(第10题)11(2015苏州、无锡、常州、镇江二模)已知a，bR，a0，曲线y=，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间3，4上至少有一个公共点，求a2+b2的最小值
13、.三、 选做题12(2015南京、盐城一模)若实数x，y满足xy0，且log2x+log2y=1，则的最小值为.13(2015镇江期末)已知正数x，y满足+=1，则+的最小值为.【检测与评估答案】第45课基本不等式及其应用13【解析】因为x1，所以y=x+=(x-1)+12+1=3，当且仅当x-1=，即x=2时等号成立，故函数y的最小值为3.29【解析】+=(x+y)=1+45+2=5+4=9，当且仅当x=，y=时取等号.32【解析】易知2x+4y=2x+22y2=2=2，当且仅当x=，y=时，等号成立.42【解析】方法一：因为a2-ab+b2=1，即(a+b)2-3ab=1，从而3ab=(a
14、+b)2-1，即(a+b)24，所以-2a+b2，所以(a+b)max=2.方法二：令u=a+b，与a2-ab+b2=1联立消去b得3a2-3au+u2-1=0，由于此方程有解，从而有=9u2-12(u2-1)0，即u24，所以-2u2，所以(a+b)max=2.516【解析】因为x，y均为正实数，+=1，所以8+x+y=xy2+8，即(-4)(+2)0，所以4，故xy16，即xy的最小值是16.6 20【解析】设每次都购买x t，则需要购买次，则一年的总运费为2=(万元)，一年的存储费用为x万元，故一年的总费用为+x2=40，当且仅当=x，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用
15、之和最小，每次应购买20 t.7【解析】由二次函数特点可知在定义域R上其值域为0，+)，则a0，且=16-4ac=0，即ac=4欲求+的最大值，利用前面关系，建立f(a)=+=1+，由f(a)=1+1+=，当且仅当=a，即a=6时取等号.8【解析】方法一：令t=xy，则x=，于是+3y+=10，所以10=y+(t+4)2，解得1t.当y=(t+4)时，得y2=.当t=1时，y=1，x=1；当t=时，y=，x=2所以1t为所求.方法二：令t=xy，则y=，于是x+x=10，可得x2-10x+2+3t=0，由=100-4(2+3t)0，得1t.9作出可行区域如图中阴影部分所示，当直线z=ax+by
16、(a0，b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4，6)时，目标函数z=ax+by(a0，b0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 +=+2=，当且仅当=，即a=b=时取等号.故+的最小值为.(第9题)10(1)设AN=x(x2)，则ND=x-2因为=，即=，所以AM=.所以S矩形AMPN=3(x-2)+122+12=24，当且仅当x=4时取等号，即当AN=4 m时，矩形AMPN的面积最小，为24 m2.(2)由(2)知S矩形AMPN=3(x-2)+12(x6)，令x-2=t(t4)，则f(t)=3t+12因为f(t)=3-，当t4时，f(t)0，所以f
17、(t)=3t+12在区间4，+)上单调递增，所以f(t)min=f(4)=27，此时x=6即当AN=6 m时，矩形AMPN的面积最小，为27 m2.11 令=ax+2b+1，可得ax2+(2b+1)x-a-2=0.方法一：把等式看成关于a，b的直线方程(x2-1)a+2xb+x-2=0.由于直线上一点(a，b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，所以a2+b2=，因为x-2+在x3，4是减函数，上述式子在x=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.方法二：令a2+b2=t2(t0)，所以a=tcos ，b=tsin .因为=ax+2b+1，所以ax2+(2b+1)x-(a+2)=0，所以tcos x2+tsin 2x+x-tcos -2=0，所以(tx2-t)cos +2xtsin =2-x，所以sin(+)=2-x，所以|sin(+ )|=1，所以t=.下同方法一.124【解析】因为log2x+log2y=log2xy=1，所以xy=2因为xy0，所以x-y0，所以=x-y+2=4，当且仅当x-y=2，即x=+1，y=-1时取等号.1325【解析】因为=1-，所以+=+=+9x=4+9(x-1)+9=13+9(x-1).又因为=1-0，所以x1，同理y1，所以13+9(x-1)13+2=25，当且仅当x=时取等号，所以+的最小值为25.
