1、几何最值之瓜豆原理巩固练习（基础）1.如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F，有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着ABFC的路径行走至C，乙沿着AFECD的路径行走至D，丙沿着AFCD的路径行走至D，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A甲乙丙B甲丙乙C乙丙甲D丙甲乙【解答】B【解析】四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，B90，甲行走的距离是ABBFCFABBC2AB；乙行走的距离是AFEFECCD；丙行走的距离是AFFCCD，BECF90，AFAB，EFCF，AFFCCD2AB，AFFCCDAFEFECC
2、D，甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B2.如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_【解答】1.5【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：由题中数据可知OP5，又点A、F分别是OB、BP的中点，AF是BPO的中位线，AF2.5，当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，AC2.511.5.3.如图，在等腰RtABC中，ACBC，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中
3、点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为_【解答】【解析】当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，设分别为AC、BC的中点，连接交CP于点O，如图所示：，当点P沿半圆从点A运动至点B时 ，点M的运动路径是以O为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆，点M的运动路径长为.4.如图，正方形ABCD中，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE、CF求线段OF长的最小值 【解答】【解析】法一、OE2，点E可以看成是在以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA至点P，使得APOC，连接PE，如图所示：AECF，PAEOCF，PAEOC
4、F，PEOF，当O、E、P三点共线时，PE的值最小，OF的最小值是.法二、E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆考虑DEDF且DEDF，故作DMDO且DMDO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值5.ABC中，AB4，AC2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_【解答】【解析】如图，以AO为直角边作等腰直角三角形AOF，且AOF90，则AOFO，四边形BCDE是正方形，BOCO，B
5、OC90，BOCAOF90，AOBCOF，AOBFOC，CFAB4，若点A、C、F三点不共线时 ，AFACCF，若点A、C、F三点共线时，AFACCF，AFACCF246，AF的最大值是6，AO的最大值是；法二、考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值根据AC2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心连接AM
6、并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO6.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，ACx轴于点M，交直线yx于点N，若点P是线段ON上的一个动点，APB30，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_【解答】【分析】根据PAB90，APB30可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为7.如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C
7、、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值【解答】【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60时，作出P点位置P2连接P1P2，即为P点轨迹根据ABP60可知：与y轴夹角为60，作OP，所得OP长度即为最小值，OP2OA3，所以8.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？【解答】【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹CG最小值即当CG的时候取到，作CH于点H，CH即为所求的最小值根据模型可知：与AB夹角为60，故过点E作EFCH于点F，则HF1，所以，因此CG的最小值为
