1、山东省实验中学高三2月份诊断性考试数学试题一单项选择题(本大题共8小题，共40分)1. 设集合，则集合M与集合P关系是（ ）A. B. C. D. D分析：确定出集合中的元素，然后根据集合的关系判断解答：，所以故选：D2. 已知实数，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. C分析：根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.解答：当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.点拨：本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.3. 已知是边长为4的等边三角形，、是内部两点，且满足，则的面积为（ ）.A. B.
2、C. D. A分析：以为原点，以的垂直平分线为轴，建立直角坐标系由于等边三角形的边长为4，可得，的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，利用的面积公式即可得出解答：解：以为原点，以的垂直平分线为轴，建立直角坐标系等边三角形的边长为4，由足，的面积为，故选：点拨：本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、三角形的面积计算公式，属于中档题4. 的展开式中，的奇次幂项的系数之和为（ ）A. B. C. D. 1A分析：先将展开，再利用赋值法求出奇次幂项的系数之和.解答：设，令，则，令，则，两式相减，整理得.故选：A5. 已知，且，则（ ）A. 1B. C. D. A分析：切化弦后交叉相乘，由两角和的余
3、弦公式变形后，结合诱导公式得值，从而可得结论解答：由题意，故选：A6. 已知函数且则的取值范围是（ ）A. B. C. D. C分析：首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数，不等式等价于，再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式.解答：由题意可知， 是偶函数，且当时，在区间上，函数单调递增， 原不等式等价于，即，即，解得：，即不等式的解集是.故选：C点拨：本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用函数性质解抽象不等式，对数不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.7. 已知双曲线的左、右顶点为、，焦点在轴上的椭圆以、为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交
4、双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（ ）A. B. C. D. A分析：求出椭圆的方程，设点，可得出，由点在椭圆上，点在双曲线上，可得出关于、的方程组，求出、的值，利用斜率公式可求得的值.解答：设所求椭圆的标准方程为，半焦距为，双曲线的左顶点为，右顶点为，由于椭圆以、为顶点，则，该椭圆的离心率为，所以，解得，所以，椭圆的方程为，设点，由于，则为的中点，则点，由于点在椭圆上，点在双曲线上，所以，解得，所以，.故选：A.点拨：关键点点睛：解本题的关键在于分析出点为的中点，结合点在椭圆上，点在双曲线上列方程组求出点的坐标，进而利用斜率公式求解.8. 已知函数f（x）满足f（x）f（3x），
5、当x1，3），f（x）lnx，若在区间1，9）内，函数g（x）f（x）ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案.解答：函数f（x）满足f（x）f（3x），当x1，3），f（x）lnx故， 画出函数图像，如图所示：当直线与相切时：，设切点为则 此时 当直线经过点时： 综上所述：故选：点拨：本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.二多项选择题(本大题共4小题，共20分)9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）A. 在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进
6、行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B. 随机变量服从正态分布，则C. ，D. “与是互斥事件”是“与互为对立事件”必要不充分条件BD分析：利用系统抽样概念可判断A选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项的正误；利用离散型随机变量方差与期望的性质可判断C选项的正误；利用互斥事件、对立事件的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误.解答：对于A选项，在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样为“等距”抽样，为系统抽样，A选项错误；对于B选项，随机变量服从正态分布，则，B选项正确；对于C选项，C选项错误；对于D选项，充分性：“与是互斥事
7、件”“与互为对立事件”，充分性不成立；必要性：“与是互斥事件”“与互为对立事件”，必要性成立.因此，“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，D选项正确.故选：BD.10. 已知，下面结论正确的是（ ）A. 若f(x1)=1，f(x2)=，且的最小值为，则=2B. 存在(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C. 若f(x)在0，2上恰有7个零点，则的取值范围是D. 若f(x)在上单调递增，则的取值范围是(0，BCD分析：由二倍角公式和诱导公式化简函数式，然后根据正弦定理的性质周期性、奇偶性、零点、单调性分别判断各选项解答：由题意，A题意说明函数相邻
8、两个最值的横坐标之差为，周期为，A错；Bf(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象解析式是，时，是偶函数，图象关于轴对称，B正确；C时，在上有7个零点，则，解得，C正确；Df(x)在上单调递增，则，又，故解得，D正确故选：BCD点拨：本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦型函数的周期性、奇偶性、零点、单调性，考查二倍角公式、诱导公式等，考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力11. 正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有（ ）A. 侧面上存在点F，使得B. 直线与直线所成角可能为C. 平面与平面所成锐二面角的正切值为D. 设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截
9、正方体所得的截面面积最大为AC分析：取中点M，中点N，连接，易证得平面平面，可得点F的运动轨迹为线段取的中点F，根据等腰三角形的性质得，即有，A正确；当点F与点M或点N重合时，直线与直线所成角最大，可判断B错误；根据平面平面，即为平面与平面所成的锐二面角，计算可知C正确；解答：取中点M，中点N，连接，则易证得，从而平面平面，所以点F的运动轨迹为线段取的中点F，因为是等腰三角形，所以，又因为，所以，故A正确；设正方体的棱长为a，当点F与点M或点N重合时，直线与直线所成角最大，此时，所以B错误；平面平面，取F为的中点，则，即为平面与平面所成的锐二面角，所以C正确；因为当F为与的交点时，截面为菱形（
10、为的交点），面积为，故D错误.故选：AC.点拨：本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（ ）A. B. C. D. BD分析：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.根据椭圆的上顶点为，且.可得，可得，设，.利用定义可得：.可得.在中，由余弦定理可得：，代入化简利用离心率计算公式即可得出.解答：解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.椭圆的上顶点为，且.，.不
11、妨设点在第一象限，设，.，.在中，由余弦定理可得：.两边同除以，得，解得：.,.故选：BD.点拨：本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.三填空题(本大题共4小题，共20分)13. 已知条件，条件向量，的夹角为锐角.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_.分析：由向量的夹角为锐角，得且向量不共线，进而解得不等式，再利用p是q的充分不必要条件，即可得到结论.解答：由，得，又向量，的夹角为锐角，得且向量不共线，所以，解得且.因为p是q的充分不必要条件，所以是且的真子集，所以.故答案为：点拨：本题考查了向量的夹角，充分条件，必要
12、条件的定义，注意向量共线时其夹角的值，属于基础题.14. 设等比数列的公比，前项和为，则_15解答：分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.详解：数列为等比数列 ， 故答案为15.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.15. 若圆的方程为x2y2kx2yk20，则当圆的面积最大时，圆心坐标为_(0，1)解答：方程为x2y2kx2yk20化为标准方程为(x)2(y1)21，r211，k0时r最大此时圆心为(0，1)16. 过曲线上一点作该曲线的切线，分别与直线，轴相交于点，.设，的面积分别为，则_，的取值范围是_. (1).
13、 2 (2). (0，2)分析：求出原函数的导函数，设出点坐标，得到函数在点处的切线方程，分别求得，的坐标，即可求得三角形的面积；再求出的长度，到直线的距离，写出三角形的面积，由的范围可得的面积的取值范围解答：解：由，得，设，则，曲线在处的切线方程为分别与与联立，可得，取，可得，又，的面积；，点到直线的距离的面积故答案为：2；点拨：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，考查计算能力，是中档题四解答题(本大题共6小题，共70分)17. 在条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角的对边分别为， .求的面积.见解析分析：若选：利用正弦定理可得,即,再
14、利用余弦定理求得,进而求得,从而求得面积；若选：利用正弦定理可得,化简可得,即,利用余弦定理求得,从而求得面积；若选：根据正弦定理得,整理可得,进而求得面积解答：解：若选：由正弦定理得， 即， 所以， 因为，所以. 又， ，所以， 所以. 若选：由正弦定理得. 因为，所以，化简得， 即，因为，所以. 又因为，所以，即， 所以. 若选：由正弦定理得， 因为，所以，所以，又因为，所以， 因为，所以，所以. 又， ，所以， 所以.点拨：本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力18. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（
15、2）令，求数列的前项和.（1）详见解析（2）分析：（1）根据数列的递推公式可得，即可证明数列是等差数列，再求出通项公式即可；（2）先求得，则利用裂项相消法即可求出.解答：（1），且，即，数列是首项为，公差为1的等差数列.，.（2）由（1）知， .点拨：本题考查了由递推关系证明等差数列，考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题.19. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，在线段上，且.（1）证明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值（1）详见解析；（2）.分析】（1）连接交于点，连接，利用三角形相似证明，然后证明面（2）过作于，以为原点，分别为轴，轴，轴
16、的正方向建立空间直角坐标，不妨设，求出面的一个法向量，面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可解答：解：（1）连接交于点，连接因为，所以，又因为，所以，所以，又面，面，所以面.（2）过作于，因为，所以是线段的中点因为面面，面面，所以面连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以.如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设，则，由，得，的中点，.设面的一个法向量为，则，即，得方程的一组解为，即.面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.点拨：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20. 2018年8月16日，中共中央
17、政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40注射疫苗60总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.（1）求列联表中
18、的数据，的值；（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.附：，.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828（1），（2）没有把握认为注射此种疫苗有效.（3）.分析：（1）结合题表，列出方程，即可得出答案（2）利用卡方计算公式计算（3）先列出所有可能的情况，列举出满足条件的个数，然后利用古典概型计算公式解答：（1）由题意，易得，（2）由得，所以没有把握认为注射此种疫苗有效.（3）由于在感染病
19、毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用，表示，2只已注射疫苗，用，表示，从这五只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：，.其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种：，所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.点拨：本道题目考查了卡方公式和古典概型计算公式，注意公式牢记，同时明白利用古典概型计算公式，计算结果，即可得出答案21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）（1）答案见解析；（2）.分析：（1）将整理为，分别在、和四种情况下，根据的正负确定单调区间；（2）通过分离变
20、量法将问题转化为恒成立的问题，利用导数，结合零点存在定理可确定的最小值点为，从而化简得到，由此确定整数的最大值.解答：（1）定义域为，当时，令，解得：，当时，；当时，；单调递增区间为，单调递减区间为；当时，令，解得：或，当和时，；当时，；的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，解得：或，当和时，；当时，；的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2），由在恒成立.可得：在恒成立，令，则，令，与在上均单调递增，在上单调递增，且，使得，此时，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，在恒成立，整数的最大值为.点拨：方法点睛：本题考查导数在研究
21、函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本方法是分离变量的方法，将问题转化为变量与函数最值之间的关系，从而求得函数最值得到结果.22. 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且.（1）求椭圆的方程；（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.（1）；（2）.分析：（1）利用将点的横坐标代入直线，求得点的坐标，代入的坐标运算，求得的值，也即求得点的坐标，将的坐标代入椭圆，结合，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系，由此求得的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.解答：（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.又解得椭圆方程为（2）由（1）知，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为，又（为三角形内切圆半径），当的面积最大时，其内切圆面积最大.设直线的方程为：，则消去得，令，则，令，当时，在上单调递增，当时取等号，即当时，的面积最大值为3，结合，得的最大值为，内切圆面积的最大值为.点拨：本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交，所形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.
