1、专题16 全国初中数学竞赛分类汇编卷（四）几何初步认识（简单）一选择题1A车站到B车站之间还有3个车站，那么从A车站到B车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（）A8B9C10D11【解答】解：如图，从A车站到B车站方向共有线段AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，10条所以从A车站到B车站方向共有车票10种故选：C2（“新希望杯”竞赛）如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EFm，CDn，则AB（）AmnBm+nC2mnD2m+n【解答】解：由题意得，EC+FDmnE是AC的中点，F是BD的中点，AE+FBEC+FDEFCDmn又ABAE
2、+FB+EFABmn+m2mn故选：C3由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图不可能是（）ABCD【解答】解：俯视图中有5个正方形，最底层有5个正方体，A、由主视图和左视图可得第二层最多有2个正方体，第3层有1个正方体，故共有5+2+18个正方体，不可能是这种情况，符合题意；B、由主视图和左视图可得第二层最多可以有4个正方体，第3层有2个正方体，故共有5+4+110个正方体，可能是这种情况，不符合题意；C、由主视图和左视图可得第二层最多可以有4个正方体，第3层有1个正方体，故共有5+4+110个正方体，可能是这种情况，不符合题意；D、由
3、主视图和左视图可得第二层最多可以有4个正方体，第3层有2个正方体，故共有5+4+211个正方体，可能是这种情况，不符合题意；故选：A4如图，每个立方体的6个面上分别写有1到6这个自然数，并且任意两个相对面上所写两个数字之和为7，把这样的7个立方体一个挨着一个地连接起来，紧挨着的两个面上的数字之和为8，则图中“*”所在面上的数字是（）A4B3C2D1【解答】解：由题意可知：正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6六个数，并且它们任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7，故第一个正方体的后面为3，紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，则与它相接的第二个正方体的前面为5，对面为2，依此类推，
4、与它相接的第三个正方体的前面为6，对面为1，第三个正方体的左面为5，右面为2；或左面为2，右面为5（1）当第三个正方体的左面为5，右面为2时，第四个正方体的左面为6，右面为1，第五个正方体的左面为7（不合题意舍去）；（2）当第三个正方体的左面为2，右面为5时，第四个正方体的左面为3，右面为4，第五个正方体的左面为4，右面为3第五个正方体的下面为5，上面为2；或下面为2，上面为5当第五个正方体的下面为5，上面为2时，第六个正方体的下面为6，上面为1，第七个正方体的下面为7（不合题意舍去）；当第五个正方体的下面为2，上面为5时，第六个正方体的下面为3，上面为4，第七个正方体的下面为4，上面为3则“
5、”所在面上的数是3故选：B5（“新希望杯”竞赛）用若干个相同的小正方体粘成一个立体图形（实心），该立体图形的三视图如图所示，那么所用小正方体的个数为（）A19B20C21D22【解答】解：由三视图知，小正方体的分布情况如下：则所用小正方体的个数为21，故选：C6已知B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，CD12，则MC的长为（）A12B1C32D2【解答】解：如图：，AB：BC：CD2：3：4，CD12，AB6，BC9ADAB+BC+CD6+9+1227，M是AD的中点，AM=12AD=272，由线段的和差得ACAB+BC6+915，MCACAM15-272=32故选：C7
6、一天有24小时，在这24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？（）A1B2C12D24【解答】解：设时针的角速度为w，则分针跟秒针的角速度分别为12w和720w先来考察时针与分针重合时的角度，设为x则有等式：xw=x+360n12w 其中n为分针超过时针的圈数n的取值范围为从1到22之间的正整数只取到22是因为在一天中虽然分针是走了24圈，但时针也走了两圈所以24222然后，我们就可以代入n值来求x求出x后，还要看秒针此时是否也在x处可知时针走到x处用的时间为xw，此时秒针走过的总角度为720w*x/w720x然后把此值化简到360以内看是否为w即可简单过程如下：当n1时
7、，x=3601172036011-536011可见时针与分针重合时秒针不与它们重合当n2时，x236011720236011-1036011秒针不重合当n3时，x336011720336011-436011秒针不重合当n11时，x1136011=360720360360秒针重合，此时即为中午12点循环由上可知一天中三针完全重合在一起的时候共有两次，分别为中午12点和凌晨0点故选：B8（“五羊杯”竞赛）4点钟后，从时针到分针第一次成90角，到时针与分针第二次成90角，共经过多少分钟（答案四舍五入到整数）（）A60B30C40D33【解答】解：分针的角速度是每分钟6，时针的角速度是每分钟0.5，故
8、分针从“落后”时针90到“领先“时针90（按顺时针方向），应比时针多跑了180，所费的时间为180（60.5）33（分）故选：D二填空题9如图，B、C、D依次是线段AE上的三点，已知AE8.8cm，BD3cm，则图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的长度之和为 cm【解答】解：AE8.8cm，BD3cm，以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE（BC+CD）+（AB+BE）+（AC+DE）+（AD+DE）+AE+BDBD+AE+AE+AE+AE+BD3+8.8+8.8+8.8+8.8+341.2（cm）故答案为：41
9、.210（“华罗庚金杯”竞赛）如图是一个立体图形的主视图、左视图和俯视图，图中单位是厘米，则立体图形的体积为 立方厘米【解答】解：根据该几何体的三视图可知该几何体的下面底面直径为2、高为1的圆柱，上面是高为2的圆柱的一半，故该几何体的体积为：121+121222立方厘米，故答案为：211在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角AOB分成AOE、BOE两部分，已知BOE，OC为AOE的平分线，DOE90，则COD （用含有的代数式表示）【解答】解：当射线OD，OE在直线AB的同侧时，如图所示：OC为AOE的平分线，12，AOE+BOE180，BOE，AOE180，12=12（180）90
10、-12，CODDOE+190+90-12=180-12；当射线OD、OE在直线AB的异侧时，如图所示：OC为AOE的平分线，l2，AOE+BOE180，BOE，AOE180，12=12（180）90-12，CODDOE190（90-12）=12综上所述，COD=12或180-12故答案为：12或180-1212（北京竞赛）以AOB的顶点O为端点引射线OC，使AOC：BOC5：4，若AOB15，则AOC的度数是 【解答】解：如图1，当射线OC在AOB的内部时，设AOC5x，BOC4x，AOBAOC+BOC15，解得：AOC820，如图2，当射线OC在AOB的外部时，设AOC5x，BOC4x，AO
11、CAOB+BOC，又AOB15，解得：AOC75，故答案为：820或75三解答题13用边长为1厘米的正方体拼成一个边长为4、5、6厘米的长方体，然后将拼成的长方体表面涂上红色，问三个面涂红色的有几个？两个面涂红色的有几个？一个面涂红色的有几个？【解答】解：用边长为1厘米的正方体拼成一个边长为4，5，6厘米的长方体，则这个长方体的一个顶点的三条棱上有小正方体的个数分别为4，5，6，该长方体有8个顶点，每个顶点上的小正方体有三个面涂红色，即三个面涂红色的小正方体有8个；棱上除去在顶点上的小正方体有两个面图有红色，而棱上除去顶点的小正方体有4（42）+4（52）+4（62）36，即两个面涂红色的小正
12、方体有36个；不在棱上且在表面的小正方体有一个面涂有红色，而不在棱上且在表面的小正方体有2（42）（52）+2（62）（42）+2（62）（52）52，即一个面涂红色的小正方体有52个；故三个面涂红色的小正方体有8个；两个面涂红色的小正方体有36个；一个面涂红色的小正方体有52个14（1）在6点钟和7点钟之间的什么时刻，时针和分针两针重合；（2）在7点钟和8点钟之间的什么时刻，时针分针在一条直线上；（3）在4点钟和5点钟之间的什么时刻，时针分针成直角【解答】解：（1）设在6点过7分钟后，两针重合，由题意得：x-560x30，解这个方程得：x32811答：两针在6点32811分时重合（2）当时针
13、分针成0角时，即分针比时针多走35个单位长度；x-560x35x38211即7点38211分时分针和时针成直线；当时针分针成180角时，即分针比时针多走5个单位长度；x-560x5x5511，即7点5511分时分针和时针成直线；或分针比时针多走35+3065个单位长度；x-560x65 x701011即8点101011时分针和时针成直线（不合题意，舍去）答：7点5511分或7点38211分时分针和时针成直线解：时针每分钟走0.5度，而分针每分钟走6度，4点钟时针与分针角度为120度，设时针在四点x分钟时，时针与分针成直角，分两种情况讨论：（3）时针在分针前面时，1206x+0.5x90解得x5
14、511时针在分针后面时，6x1200.5x90解得x38211所以在4时5511分或4时38211分，时针与分针成直角15如图所示，已知OB，OC是AOD内部的两条射线，OM平分AOB，ON平分COD（1）若BOC25，MOB15，NOD10，求AOD的大小；（2）若AOD75，MON55，求BOC的大小；（3）若AOD，MON，求BOC的大小（用含，的式子表示）【解答】解：（1）OM平分AOB，ON平分CODAOB2MOB30，COD2NOD20AODAOB+BOC+COD30+25+2075（2）AOD75，MON55，AOM+DONAODMON20，BOM+CONAOM+DON20，BO
15、CMON（BOM+CON）552035，（3）OM平分AOB，ON平分COD，AOMBOM=12AOB，CONDON=12COD，BOCMONBOMCONMON-12AOB-12CODMON-12（AOB+COD）MON-12（AODBOC）-12（BOC）-12+12BOC，BOC216如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点点C对应的数为6，BC4，AB12（1）求点A、B对应的数；（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动M为AP的中点，N在线段CQ上，且CN=13CQ，设运动时间为t（t0）求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； t为
16、何值时，OM2BN【解答】解：（1）点C对应的数为6，BC4，点B表示的数是642，AB12，点A表示的数是21210（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是t，AP6t，CQ3t，M为AP的中点，N在CQ上，且CN=13CQ，AM=12AP3t，CN=13CQt，点A表示的数是10，C表示的数是6，M表示的数是10+3t，N表示的数是6+tOM|10+3t|，BNBC+CN4+t，OM2BN，|10+3t|2（4+t）8+2t，由10+3t8+2t，得t18，由10+3t（8+2t），得t=25，故当t18秒或t=25秒时OM2BN17用橡皮泥做一个棱
17、长为4cm的正方体（1）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方体通孔，打孔后的橡皮泥的表面积为cm2；（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个边长为1cm的正方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为 cm2；（3）如果把第（2）题中从前到后所打的正方形通孔扩大成一个长xcm、宽1cm的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为130cm2？如果能，请求出x；如果不能，请说明理由【解答】解：（1）表面积S1962+44110（cm2）；故答案为110（2）表面积S2S14+41.52118（cm2）；故答案为118（3）能使橡皮泥块的
18、表面积为130cm2，理由为：如图甲通孔，由题意，9622（4x）+3（2+2x）130，方程无解，不合题意如图乙通孔，由题意，9622x+43+4（2+2x）2130，解得x3，当边长改为3cm时，表面积为130cm218（1）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，其中，MON90，并在MON内部作射线OC如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且AOC130，若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分AON，且AOM3COM，求BON的度数（2）已知点A、O、B不在同一条直线上，AOB，BOC，
19、其中2，OM平分AOB，ON三等分BOC，用含，的式子表示MON的大小【解答】解：（1）MOCAOCAOM1509060，射线OC表示的方向为北偏东60；AOM3COM，设COMx，则AOM3x，AOC4x，OC平分AON，CONAOC4x，AON90，x+4x90，x18，AOM54，BON+AOM90，BON36；（2）如图，当OC在AOB外部时，BON=13BOC时，OAM=12，BON=13，MON=12+13；当OC在AOB外部时，BON=23BOC时，则MON=12+23；如图，当OC在AOB内部时，BON=13BOC时，MON=BOM-BON=12-13，当OC在AOB内部时，BON=23BOC时，则MON=12-23；综上所述：当OC在AOB外部时，MON=12+13或12+23；当OC在AOB内部时，MON=12-23或12-13
