1、专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 设计轴对称图案】1【题型2 利用轴对称性质求最值】4【题型3 翻折变换】12【题型4 两圆一线画等腰】21【题型5 等边三角形手拉手问题】24【题型6 分身等腰】32【题型7 一线分二腰】35【题型8 角平分线的综合应用】43【题型9 垂直平分线的综合应用】53【题型1 设计轴对称图案】【例1】（2023全国八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴【答案】见解析【分析】如图1，以线段AB的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，
2、然后顺次连接即可；如图2，以线段AB所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图3，以线段BC的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；如图4，以线段BC所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可【详解】解：如图所示：【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键【变式1-1】（2023春八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴（要求用两种不同的方法）【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的性质来画轴对称图形，先确定对称轴，再找出阴
3、影部分图形关键点的对称点，画出图形即可，图形的两部分沿对称轴折叠后可完全重合【详解】解：画图如下：【点睛】此题主要考查了作图-轴对称变换，关键是掌握轴对称图形的定义【变式1-2】（2023春吉林延边八年级阶段练习）图、图都是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图（1）在图中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；（2）在图中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据要求画图即可因为画的是等腰三角形，因此至少要有两条边相等；（2）利用已知
4、结合轴对称图形性质画出一个等腰三角形即可解：（1）如图所示：（2）如图所示：考点：利用轴对称设计图案【变式1-3】（2023春八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：三个图形形状各不相同，所设计的图案是轴对称图形【答案】详见解析【分析】利用轴对称图形性质分别得出图案即可【详解】如图所示：【点睛】本题考查了利用轴对称性质设计图案，利用轴对称图形是沿某条直线折叠后能够与直线的另一边完全重合的图形设计图案是解题的关键【题型2 利用轴对称性质求最值】【例2】（2023春全国八年级专题练习）如图，边长为a的等边ABC中，BF是AC上的中线
5、且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边ADE，连接EF，则AEF周长的最小值是 ，此时CFE= 【答案】 12a+b 90/90度【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（ACE=30），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E，此时AE+FE的值最小【详解】解：ABC，ADE均为等边三角形，AB=AC=a,AD=AE,BAC=DAE=ABC=60，BAD=CAE，BADCAE，ABD=ACE，AF=CF=12a,BF=b，ABD=CBD=ACE=30,BFAC点E在射线CE上运动（ACE=30）作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E，此时AE
6、+FE的值最小，CFE=90CA=CM,ACM=60ACM是等边三角形，AM=AC，BFAC，FM=BF=b，AEF周长的最小值是AF+FE+AE=AF+FM=12a+b，故答案为：12a+b，90【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题【变式2-1】（2023春湖北武汉八年级校考期末）如图，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 【答案】6【分析】作出点C关于AB的对称点F，连接FD，根据对称
7、性，得到BC=BF,CBA=ABF=45，证明RtACDRtFBD，得到PC+PD的最小值为DF，计算即可【详解】如图，AC=BC，ACB=90，D为BC中点，BD=CD,CAB=CBA=45；作点C关于AB的对称点F，连接FD，交AB于点E，当点P与点E重合时，PC+PD取得最小值，且最小值为DF，根据对称性，得到BC=BF,CBA=ABF=45，FB=AC,FBD=90；AC=FBACD=FBD=90CD=BD，RtACDRtFBD，AD=FD，AD=6，FD=6，PC+PD的最小值为6，故答案为：6【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称
8、性质是解题的关键【变式2-2】（2023春河北张家口八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上(1)画出ABC关于直线MN对称的A1B1C1；(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB-QA最大，直接写出这个最大值【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作图见解析；QB-QA最大值为3【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；（2）作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为点P；（3）由于QA=QA1，则|QB-QA=QB-QA1|
9、，而由三角形的三边关系可得QB-QA1A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号，从而可得答案【详解】（1）解：A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：（2）解：如图，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P；点C与D关于MN的对称，PC=PD，PB+PC=PD+PB，PB+PDBD，只有当点P、B、D三点共线时等号成立，当点P、B、D三点共线时，PB+PD最小，即PB+PC最小；（3）解：先作出A关于直线MN的对称点A1，连接BA1并延长交MN于一点，该点即为点Q，如图所示：QA=QA1，|QB-QA=QB-QA1|，根据三角形的三边关系可得QB-QA1A1B，当Q
10、、A1、B三点共线时取等号，QB-QA的最大值为A1B=3【点睛】本题主要考查了作图轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键【变式2-3】（2023春广东深圳八年级校考开学考试）【初步感知】(1)如图1，已知ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）以AD为边向右侧作等边ADE，连接CE求证：ABDACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：AB与CE的位置关系为： ；线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；【拓展应用】(3)如图3，在等边ABC中，AB=3，点P是边A
11、C上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边DPE，连接CE、BE请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由【答案】(1)见解析(2) 平行 EC=AC+CD(3)有最小值，5【分析】（1）由ABC和ADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60，又因为BAC=DAE，则BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE，从而利用“SAS”证明ABDACE；（2）由（1）得ABDACE（SAS），得出B=ACE=60，CEBD，BAC=ACE，则ABCE；因为CE=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+C
12、D；（3）在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证EPCEDM（SAS），EC=EM，求得CEM=60，得出CEM是等边三角形，则ECD60，即点E在ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP=CP，当点E与点C重合时，BE+PE=BE+PEBP5，进而解答此题【详解】（1）证明：ABC和ADE是等边三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60，BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE ，ABDACE（SAS）；（2）平行，EC=AC+CD，理由如下：由（1）得ABDACE（SAS），B=ACE=60，
13、CEBD，BAC=ACE，ABCE，CE=BD，AC=BC，CE=BD=BC+CD=AC+CD；（3）有最小值，理由如下：如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，ABC和DPE是等边三角形，PE=ED，DEP=ACB=60， ACD=180-ACB=180-60=120，ACD+DEP=120+60=180，由三角形内角和为180，可知：PCE+CEP+EPC=180，ECD+CDE+CED=180，PCE+CEP+EPC+ECD+CDE+CED=360，又PCE+ECD+CEP+CED=ACD+DEP=180，EPC+CDE=360-180=180，EDM+CDE=180，EP
14、C=EDM，在EPC和EDM中，PE=EDEPC=EDMPC=DM ，EPCEDM（SAS），EC=EM，PEC=DEM，PEC+CEDDEP=60，CEM=DEM+CED=60，CEM是等边三角形，ECD=60，ACE=180-ECD-ACB=180-60-60=60，即点E在ACD的角平分线上运动，在射线CD上截取CP=CP，连接EP，在CEP和CEP中，PC=PCPCE=PCE=60CE=CE ，CEPCEP（SAS），PE=PE， 则BE+PE=BE+PE，由三角形三边关系可知，BE+PEBP，即当点E与点C重合，BE+PE=BP时，PE+BE有最小值BP，BP=BE+CP=BC+CP
15、=3+2=5，BE+PE=BE+PEBP=5，BE+PE最小值为5【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键【题型3 翻折变换】【例3】（2023春福建泉州八年级统考期末）在ABC中，ACB=90，A=50，点D是AB边上一点，将ACD沿CD翻折后得到ECD(1)如图1，当点E落在BC上时，求BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F如图2，若DEBC，试说明：CEAB；如图3，连接BE，EG平分BED交CD的延长线于点G，交BC于点H若BECG，试判断CFE与G之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)10(2)见解析
16、；4G-CFE=40【分析】（1）根据翻折可得A=CED=50，再利用外角即可求出BDE的度数；（2）根据翻折可得A=CED=50，再利用垂直可得B=ECF=40，即可得到CEAB；设G=x，根据角平分线和平行线可得G=DEG=BEG=x，ADC=CDE=DEB=2x，可求得BCD=90-ACD=90-180-A-ADC=2x-40，再利用外角可得CFE=BCD+CDE=4x-40，即可得到4G-CFE=40【详解】（1）ACB=90，A=50，B=40，将ACD沿CD翻折后得到ECD，A=CED=50，BDE=CED-A=50-40=10；（2）根据翻折可得A=CED=50，ADC=CDED
17、EBC，ECF=90-E=40=B，CEAB；4G-CFE=40，理由如下：设G=x，BECG，G=BEG=x，CDE=DEBEG平分BED，G=DEG=BEG=x，ADC=CDE=DEB=2x，ACD=180-A-ADC=130-2x，BCD=90-ACD=90-130-2x=2x-40，CFE=BCD+CDE=4x-40，CFE=4G-40，即4G-CFE=40【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系【变式3-1】（2023春辽宁丹东八年级统考期末）在锐角ABC中，AB=AC，将ABC沿AC翻折得到ABC，直线AB与直线BC相交于点E
18、，若AEB是等腰三角形，则BAC的度数为 【答案】5407或36【分析】分三种情形：当BA=BE，点E在CB和BA的延长线上，当AE=BE，点E在AB和BC的延长线上，分别画出图形，分别求解即可【详解】解：如图，当BA=BE，点E在CB和BA的延长线上，AB=AC，B=BCA，由折叠得：B=ABC，BCA=BCA，设B=x，则ABC=BCA=BCA=x，AEB=EAB=12x，EAC=2x，在AEC中，由三角形内角和定理得：x+2x+12x=180，x=3607，即B=3607，BAC=180-B-ACB=5407，3607540790，此时ABC为锐角三角形，符合题意；如图，当AE=BE，点
19、E在AB和BC的延长线上，AB=AC，ABC=BCA，由折叠得：ABC=ABC，BCA=BCA，AE=BE，ABC=BAB，ABC=ACB=ACB=ABC=BAB，ABC+ACB+ACB+ABC+BAB=360，ABC=ACB=ACB=ABC=BAB=72，BAC=180-ABC-ACB=36，3672180当DF=DE时，点F在AC的下方，不符合题意；又CDF=200-180=20，CDFFDEDEF与CDF不全等，ADE=100舍去；如图2当DF=FE=AD时，ADE为等腰三角形，DEF为等腰三角形A=DFE，EDF=ADE FDE=FED=180-DFE2=180-402=70EFAD，
20、EF=AD=CD四边形AEFD、CDEF均是平行四边形EFD与CDF全等ADE=FDE=70当DF=FE时，EFD与CDF全等，ADE=70；综上所述，若 DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，ADE的值为70（3）解：由（2）中图2可知当ADE=70时，DEF在ABC内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；如图3，DEG为DEF与ABC重合的等腰三角形DE=DG，DEG=DGEFDE=ADE=1，DEG=ADE+A，1+DEG+DGE=180DEG=180-12=1+A=1+401=1003ADE=1003；如图4，DEG为DEF与ABC重合的等腰三角形DE=EG，EDG=DGE=1F
21、DE=ADE=1，DEG=ADE+A，1+DEG+DGE=180DEG=180-21=1+A=1+401=1403ADE=1403；综上所述，当DEF和ABC的重叠部分为等腰三角形时，ADE的值为1003或1403或70【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识解题的关键在于正确的分析可能存在的情况【变式3-3】（2023春湖北武汉八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F(1)如图1，若BCD=40，直接写出CFE的度数；(2)如图1，若CF=10，AF=4，求A
22、E的长；(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明【答案】(1)60(2)2(3)AF+BF=CF，证明见解析【分析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出ACE的值以及CAE=E，在ACE根据三角形内角和定理求出E的值，然后在CEF中根据三角形内角和定理求解CFE的值即可；（2）方法同（1）先求出CFE=60，然后在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，BF，如图1，可知EFH是等边三角形，根据ABF=180-CFB-BCF-ABC=60-BCF，CEH=AEC-60=120-BCF-60=60-BCF，得到ABF=CEH，证明ABFCEH
23、SAS，最后根据AE=EF-AF=FH-AF计算求解即可；（3）由（2）可得AF+BF=CF，证明过程同（2）【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得BC=CE=AC，ACB=B=BAC=60，BCF=ECF=40，CAE=E，ACD=ACB-BCF=20，ACE=ECF-ACD=20，CAE=E=180-ACE2=80，CFE=180-ECF-E=180-40-80=60，CFE的度数为60（2）解：由（1）可得CFE=180-E-ECF=180-E-BCF，E=180-ACE2，ACE=ECF-ACF=BCF-60-BCF=2BCF-60，E=180-2BCF+602=120-BCF，
24、CFE=180-120+BCF-BCF=60，如图1，在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，BF，由题意知BF=EF，CFB=CFE=60，EFH是等边三角形，ABF=180-CFB-BCF-ABC=60-BCF，CEH=AEC-60=120-BCF-60=60-BCF，ABF=CEH，在ABF和CEH中BF=EHABF=CEHAB=CE，ABFCEHSAS，CH=AF=4，FH=CF-CH=6，AE=EF-AF=2，AE的长为2（3）解：AF+BF=CF；证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，CFE=60是定值，如图2，在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，同理（2）可知EFH是
25、等边三角形，ABF=180-CFB-BCF-ABC=60-BCF，CEH=AEC-60=120-BCF-60=60-BCF，ABF=CEH，在ABF和CEH中BF=EHABF=CEHAB=CE，ABFCEHSAS，CH=AF，CF=FH+CH=BF+AF，AF+BF=CF【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，翻折的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键【题型4 两圆一线画等腰】【例4】（2023春广西钦州八年级校考期中）如图，在RtABC中，ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
26、A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论【详解】解：如下图，作AB垂直平分线与AC相交于点P，可得PA=PB，以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有P1、P2两个交点，可得P1A=AB,P2A=AB，以B为圆心，AB为半径画圆，交AC有P3一个交点，可得P3A=AB，故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论【变式4-1】（2023春河南驻马店八年级统考期中）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使ABC为一个等腰三角形满足条件的点C有（）
27、A2个B4个C6个D8个【答案】D【详解】以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D.【变式4-2】（2023春山东泰安八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。【答案】8【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.【详解】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、
28、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点故使ABC是等腰三角形的格点C有8个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题【变式4-3】（2023春广东湛江八年级统考期末）如图，ABC中，ACB=90，CAB=60，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A6个B5个C4个D3个【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可【详解】解：如图所示：以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，
29、BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合因此出现等腰三角形的点P的位置有4个故选：C【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法【题型5 等边三角形手拉手问题】【例5】（2023春内蒙古呼伦贝尔八年级校考期中）已如图，ABC、CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BEAD(2)AOB的度数【答案】(1)证明见详解(2)60【分析】（1）利用“边角边”证明ACD和BCE全等，即可得出BEAD（2）由BCEACD可得CADCBE，根据“八字型”证明AOPPCB60即可【
30、详解】（1）证明：ABC和ECD都是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE60，ACB+ACEDCE+ACE即BCEACD，在BCE和ACD中，AC=BCBCE=ACDCE=CD，BCEACD（SAS），BEAD（2）由（1）可得BCEACDCADCBE，APOBPC，AOPBCP60，即AOB60【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型【变式5-1】（2023春山东济宁八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：图1是边长分别为a和bab的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）的图形操
31、作与证明：(1)操作：固定ABC，将CDE绕点C按顺时针方向旋转25，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的CDE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度0360，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当为多少度时，线段AD长度最小是多少？【答案】(1)BE=AD，证明见解析(2)BE=AD，证明见解析(3)当=180时，线段AD的长度最大为a+b，当=0或=360时，线段AD的长度最小为a-b
32、【分析】（1）根据旋转的性质及等边三角形的性质，证明BCEACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE=AD；（2）与（1）的思路方法一样，证明BCEACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE=AD； （3）根据前面的旋转得到当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，则此时旋转的角度为180，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD长度最小，等于a-b，旋转的角度0或360【详解】（1）解：BE=AD，理由如下：CDE绕点C按顺时针方向旋转25，BCE=ACD=25，ABC与CDE等边三角形，CA=CB，CE=CD，在BCE和ACD中，CA=CBBCE=A
33、CDCE=CDBCEACD，BE=AD；（2）BE=AD，理由如下：CDE绕点C按顺时针方向旋转a，BCE=ACD=a，ABC与CDE等边三角形，CA=CB，CE=CD，在BCE和ACD中，CA=CBBCE=ACDCE=CDBCEACD，BE=AD；（3）由题意可知：当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，所以=180，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值a-b，所以=0或=360【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转
34、中心的连线段的夹角等于旋转角【变式5-2】（2023春广东广州八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ以下结论：AD=BE；PQAE；AOB=60；CPQ是等边三角形；BQ=AB恒成立的是 【答案】【分析】由等边三角形的性质可证明ACDBCE，则可得正确；由ACDBCE可得CAP=CBO，由APC=BPO，则由三角形内角和可得AOB=ACB=60，则可得正确；证明ACPBCQ，可得CP=CQ，由PCQ=60可得正确；由等边三角形的性质可得正确；由A
35、CPBCQ知，BQ=APAB，即可判定不正确，从而可确定答案【详解】解：ABC，CDE都是等边三角形，AC=BC，CD=ED，ACB=DCE=60，ACD=180-DCE=180-ACB=DCE，ACDBCE，故正确；ACDBCE，CAP=CBO，APC=BPO，由三角形内角和得：AOB=ACB=60，故正确；BCQ=180-ACB-DCE=60即ACB=BCQ=60，AC=BC，CAP=CBO，ACPBCQ，CP=CQ，PCQ=60，CPQ是等边三角形，故正确；CPQ是等边三角形，QPC=60=ACB，PQAE，故正确；ACPBCQ，BQ=AP，当点P位于ABC的边BC上时，始终有APAB，
36、即BQAB，故不成立；正确的是，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质三角形内角和等知识，证明三角形全等及等边三角形的判定与性质是解题的关键【变式5-3】（2023山东八年级专题练习）已知，ABC为等边三角形，点D在边BC上【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连结CE可得CE+CD=AC（不需证明）【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角DEF求证：CE+CD=CF【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角DEF试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写
37、出你的结论并说明理由【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析【分析】基本图形：只需要证明BADCAE得到CE=BD，即可证明；迁移运用：过点D作DGAB，交AC于点G，然后证明CDEGDF得到CE=GF，即可推出CE+CD=GF+CG=CF；类比探究：过点D作DGAB，交AC于点G，然后证明CDEGDF，得到CE=GF，再由GF=CF+CG=CF+CD，即可得到CD+CF=CE【详解】基本图形：证明：ACB与ADE都是等边三角形，AC=AB=CB，CAB=60，AD=AE，DAE=60，CAE=DAE-CAD=60-CAD，BAD=CAB-CAD=60-CAD，CAE=BAD，在BAD与CAE中，
