1、专题15 线段数量关系问题1（2021内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点（1）如图1，当，且时，求点M的坐标：若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF若，求证：射线FE平分【答案】（1）；，见解析；（2）见解析【分析】（1）直接将点代入解析式，又有，即可解出坐
2、标；相等，先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线【详解】解：（1）如答案图6.点在抛物线上，且，解得，（舍去），点在该抛物线上，设直线MB交x轴于点H，解析式为，解得当时，过点M作轴，垂足为R，根据勾股定理得，（2）如答案图7.证明：对称轴，过点M作轴，垂足为Q，当时，解得，设直线E
3、M的解析式为，解得设直线EM交y轴于点S，过点S作，垂足为P 当时，当时，设，则在中，（负值舍去），射线FE平分【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力2（2021湖北武汉中考模拟预测）已知：抛物线ya（xm）（x3m）（a0，m0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l：ykxb经过点B，且与该抛物线有唯一公共点，平移直线l交抛物线于M、N两点（点M、N分别位于x轴下
4、方和上方）（1）若直接写出点A，点B的坐标和抛物线的解析式；如图1，连接AM、AN，取MN的中点P，连接PB，求证：PBAB；（2）如图2，连接MC若MCx轴，求的值【答案】（1）A(3，0)，B(1，0)，；见解析；（2）【分析】（1）分别将a=、代入求得m，再令y=0，确定A、B的坐标，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；联立，由直线l与该抛物线有唯一公共点，则=0，可得，即，设MN的解析式为，则，即，由根与系数的关系可得，即可证明；（2）先求出抛物线的对称轴、A、B的坐标，可得，即，由直线与抛物线有唯一的公共点可得，则，设MN的直线解析式为y4amxt则，可得，过N作NGLx轴于G，过
5、N作NGx轴于G，过M作MHx轴交x轴于H，交AN于P，设AN的直线解析式为，将点A与N代入可得，解得，即AN的解析式为，则PH=HM，再证明AHMAHP（SAS），进一步证得AGNAHM，则；【详解】解：（1）由题意得：，解得m=1y（x1）（x3）令y=0，解得x=-1或x=3A（3，0），B（1，0），抛物线的解析式；证明：设l：yk（x1）kxk（k0）即=，解得又MNl，设MN：即；（2）解：对称轴：MCx轴当y0时，即，得，即，由于直线与抛物线有唯一公共点B，所以=，且，解得又MNl，设MN：y4amxt，即，过N作NGx轴于G，过M作MHx轴交x轴于H，交AN于P设AN：， ，当
6、x2m时，当x0时，PHHM在AHM和AHP中AHMAHP（SAS），HAPHAM又AGNAHM90，AGNAHM【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的基本性质、直线与二次函数求交点问题、根与系数的关系等知识点，灵活运用根与系数的关系、将交点坐标与方程相结合是解答本题的关键3（2021浙江丽水中考真题）如图，已知抛物线经过点（1）求的值；（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M求点M的坐标；将抛物线L向左平移个单位得到抛物线过点M作轴，交抛物线于点NP是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧若，求m的值【答案】（1）；（2）；1或【分析】（
7、1）直接运用待定系数法求解即可；（2）求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可【详解】解：（1）把点的坐标分别代入，得解得的值分别为（2）设所在直线的函数表达式为，把的坐标分别代入表达式，得解得所在直线的函数表达式为由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，当时，点M的坐标是设抛物线的表达式是，轴，点N的坐标是点P的横坐标为点P的坐标是，设交抛物线于另一点Q，抛物线的对称轴是直线轴，根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是（i）如图1，当点N在点M下方，即时，由平移性质得，解得（舍去），（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点
8、P右侧，即时，解得（舍去），（舍去）（）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，即时，解得（舍去），综上所述，m的值是1或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键4（2021湖北青山中考三模）已知抛物线y kx24kx3k（k0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），在与y轴交于点C，顶点为D（1）如图1，当ABD为等边三角形时，求k的值；（2）点E为x轴下方抛物线y kx24kx3k（k0）上一动点如图2，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线交对称轴DH于点N，
9、求的值；如图3，若k 1，点F在x轴上方的抛物线上，EF交x轴于G，且FBAEBA，FMx轴于M，求证：FM 2MG【答案】（1）；（2）2；见解析【分析】（1）令y=0，则x=1或3，求出A，B点的坐标，过点D作DPx轴，求出点D坐标，根据顶点坐标公式可得解；（2）设E（p，kp2-4kp+3k），分别求出AE、BE的解析式，进一步用含k的代数式表示MO，NH，DH，即可得出结论；设点F（xF，yF），E（xE，yE），根据三角函数列出比例关系，求出相关线段之间的数量关系，得出tanFGO的值，从而可得结论【详解】解：（1）令y=0，则x=1或3，A（1，0）、B（3，0），AB=2，ABD
10、为等边三角形，AB=BD=AD=2过点D作DPx轴，则有：AP= DP= OP=OA+AP=1+1=2D（2，），解得：k=；（2）设E（p，kp2-4kp+3k），AE解析式为：y=mx+n，BE解析式为y=sx+t由（1）知A（1，0），B（3，0），把A，E代入y=mx+n得： ，解得，AE解析式为y=k（p-3）x-k（p-3），当x=0时，y=k（p-3），MO=k（3-p），同理：BE解析式为y=k（p-1）x-3k（p-1），D（2，-k），当x=2时，y=-k（p-1），HN=k（p-1），又HD=k，；过点E作ELx轴于L，设F（xF，yF），E（xE，yE），设直线EF解析
11、式为y=ax+b，k=1，y=x2-4x+3，联立方程组，x2-（4+a）x+3-b=0，xE+xF=4+a，xExF=3-bFBA=EBA，FMB=ELB=90，tanFBA=tanEBA， ，又B（3，0），yF（3-xE）=-yE（3-xF），（axF+b）（3-xE）=-（axE+b）（3-xF），3a（xE+xF）-2axExF+6b-b（xE+xF）=0，3a2+6a+2b+ab=0，a（3a+b）+2（3a+b）=0，（a+2）（3a+b）=0，a=-2或3a+b=0，当3a+b=0时直线EF经过点B，不合题意，a=-2，y=-2x+b，G（，0），,【点睛】本题考查的是二次函数
12、综合运用，涉及到一次函数、等边三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏5（2021天津滨海新中考二模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点点是点关于抛物线对称轴的对称点过，两点的直线与轴交于点（）求，两点的坐标；（）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为线段与直线交于点，当时，求点的坐标；（）若点是轴上的点，且满足，求点的坐标【答案】（），；（）点的坐标为；（）点的坐标为或【分析】（）令y=0，解一元二次方程即可求解；（）先求出 C和D两点的坐标，可以求出直线AD的解析式，设出P点坐标后可同时得到M和N两点坐标，利用 M
13、N=2PN，建立方程求解即可；（）先分类讨论，当Q点在y轴正半轴上时，通过作垂线构造直角三角形，利用同一个角在不同的直角三角形中的三角函数值建立等式，得到 HE和HQ1的长，再利用勾股定理求解即可；当Q点在y轴负半轴上时，同理可用上述方法求出Q2E的长，即可求解【详解】（）令，得，解得，（）点为抛物线与轴的交点，点的坐标为，点是点关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为直线，点的坐标为设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为：如图，设点的坐标为（其中），则，当时，可得，解得：，（舍去）当时，点的坐标为（）直线与轴交于点，点坐标为分两种情况：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，
14、垂足为在中，在中，又，连接，点，点为抛物线上的对称点，轴，点的坐标为如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作，垂足为，在中，在中，又，由可知，点的坐标为综上所述：点的坐标为或【点睛】本题涉及到了抛物线的解析式、抛物线图像上的点的坐标、三角函数、勾股定理、待定系数法等内容，要求学生理解并掌握相关概念和计算公式，并能进行综合运用；本题综合性较强，有一定的计算要求，解决本题的关键是能正确理解题意，作出图像，抓住图中以及题设中的相等关系等，本题包含了数形结合和分类讨论的思想方法等6（2021山西中考三模）综合与探究：如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，三点（1）求二
15、次函数的表达式（2）是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴于点，交于点当时，求的值（3）在（2）的条件下，是直线上一点当是直角三角形时，求点的坐标【答案】（1）；（2）2；（3）点的坐标为或【分析】（1）根据一次函数的表达式求出点的坐标，把点，的坐标分别代入二次函数的表达式即可求解（2）分别用含的式子表示出线段和的长，根据列出方程求解即可（3）分、三种情况讨论即可【详解】解：（1）一次函数的图象与轴交于点，当时，解得把，分别代入，得解得二次函数的表达式为（2）点的横坐标为，直线轴于点，交于点，点在抛物线上，点在直线上，又，解得（舍去）或的值为2.（3）如图，当时，当时，轴又
16、轴，点与点重合此时的坐标为当时，过点作于点，又，点的横坐标为：，此时点的坐标为不成立综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用以及相似三角形的判定和性质，有一定难度；熟练掌握所学知识并能够灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键7（2020江苏仪征市实验初中三模）如图，已知二次函数yax2bx5（a，b是常数，a0）的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0）动直线yt（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q（点P在Q的左侧）（1）求抛物线的解析式； （2）动直线yt与y轴交于点C，若CQ=3CP，求t的值；（3）将抛
17、物线yax2bx5在x轴下方的部分沿x轴翻折，若动直线yt与翻折后的图像交于点M、N，点M、N能否是线段PQ的三等分点？若能，求PQ的长度；若不能，请说明理由【答案】（1） ；（2）-8或7；（3）能，【分析】（1）将点A，点B的坐标代入抛物线，解方程组即可求出抛物线解析式；（2）分yt在x轴的上方或在x轴下方两种进行讨论，根据抛物线的对称性和CQ=3CP即可求出点P，点Q的横坐标，将点Q的坐标代入抛物线即可求得t的值；（3）根据对称性可得翻折后的抛物线的解析式，再根据点P，点Q是直线y=t与抛物线，点M，点N是抛物线的交点，联立方程，求得点P，Q，M，N的坐标，再利用点M、N是线段PQ的三等
18、分点，得出PM=MN=NQ，据此求出t的值，即可求出线段PQ的长【详解】解：（1）A（1，0），B（5，0）在抛物线上，解得：， 二次函数关系式为yx24 x5； （2）当yt在x轴的上方，如图，抛物线的对称轴，与直线yt交于点H，CH=2，根据抛物线的对称性可得，PH=QH，CQ=3CP，PH=CH=2，QH=2CH=4，CQ=6，点Q的坐标为，点Q在抛物线yx24 x5上，代入得，当yt在x轴的上方，如图，此时，根据抛物线的对称性可得，CH=HQ，CQ=3CP，CP=PH=1，HQ=2CP=2，点P的坐标为，点P在抛物线yx24 x5上，代入得，综上所述，t或7 ； （3）点M、N可以是线
19、段PQ的三等分点，此时，抛物线的顶点坐标为，将抛物线yax2bx5在x轴下方的部分沿x轴翻折，点E与点D关于x轴对称，点E的坐标为，翻折后的抛物线解析式为：，直线y=t与抛物线交于P，Q两点， ，解得：，点P的坐标为，点Q的坐标为，直线y=t与抛物线交于M，N两点， ，解得：,点M的坐标为，点N的坐标为，要使点M、N是线段PQ的三等分点，则PM=MN=NQ，解得：，,【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数图像和性质，抛物线的对称性，分类讨论思想，抛物线与一次函数的交点坐标等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质以及分类讨论思想是解决本题的关键8（2020湖北武汉市九年级月考
20、）如图，抛物线与轴交于原点及点，且经过点，对称轴为直线（1）求抛物线的解析式；（2）连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标；（3）如图，点为轴负半轴上一点，直线与抛物线有且仅有一个公共点，过点作直线交抛物线于点点，连分别交抛物线于点若，线段的长为，求的值【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据对称轴公式、图象经过（0，0）、（4，8），代入计算；（2）根据题意求得直线OB、AB的解析式，取OB的中点C，假设P的坐标，因为PQ与OB平行，得到PQ与OC平行且相等，从而利用点P的坐标表示出点Q的坐标，结合AB的解析式求得；（3）用C、E的横坐标表示直线
21、解析式为：，同理直线为，为，由已知，可得到，即可表示出P的纵坐标；再由抛物线与直线CP相切，写出直线CP解析式，因此，两次求得的点P纵坐标相等建立等量关系，即可求解.【详解】解：（1）依题意有：，解得：解析式（2），设直线的解析式为：，则有，解得：，点是抛物线与的交点，令，则，解得：，设直线的解析式为：，则有，解得：，取中点设点且在上在轴下方，（3）设直线解析式为：与抛物线联立直线解析式为：同理直线为为设直线解析式为与抛物线联立直线与抛物线相切，即方程有两个相同的解直线解析式且点在第一象限，【点睛】本题综合性很强且难度、计算量都很大，涉及到待定系数法求二次函数解析式、坐标的变化规律、一次函数解
22、析式的求法、交点的计算，要结合图象进行综合分析判断，巧妙地运用坐标进行计算解答.9（2020江苏镇江中考真题）如图，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数yax22ax+c（a、c是常数，a0）的图象经过点M(1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点（1）当a1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图，E是x轴上位于点B右侧的点，BC2BE，DE交抛物线于点F若FBFE，求此时的二次函数表达式【答案】（1）N(4，4)，；（2）不变，理由见解析；（3）yx2+x+【分析】（1）
23、证明DMEDAC，DCBDFN，则，求出AC，BC，即可求解；（2）点D(1，14a)，N(4，1+5a)，则ME2，DE4a，由（1）的结论得：AC，BC，即可求解；（3）利用FHEDCE，求出F(，)，即可求解【详解】解：（1）分别过点M、N作MECD于点E，NFDC于点F，MEFNx轴，DMEDAC，DCBDFN，a1，则yx2+2x+c，将M(1，1)代入上式并解得：c4，抛物线的表达式为：yx2+2x+4，则点D(1，5)，N(4，4)，则ME2，DE4，DC5，FN3，DF9，解得：AC，BC，；（2）不变，理由：yax22ax+c过点M(1，1)，则a+2a+c1，解得：c12a
24、，yax22ax+(13a)，点D(1，14a)，N(4，1+5a)，ME2，DE4a，由（1）的结论得：AC，BC，；（3）过点F作FHx轴于点H，则FHl，则FHEDCE，FBFE，FHBE，BHHE，BC2BE，则CE6HE，CD14a，FH，BC，CH，F(，)，将点F的坐标代入yax22ax+(13a)a(x+1)(x3)+1得：aa(+2)(2)+1，解得：a，故yx2+x+【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的综合运用等知识综合性强10（2021广东惠州中考一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点，对称轴交轴于点（1）请直
25、接写出这条抛物线和直线、直线的解析式；（2）连接、，判断的形状，并说明理由；（3）如图2，点是抛物线上一动点，它的横坐标为，且，过点作轴于点，分别交线段、于点、在点的运动过程中，、这三条线段能否相等？若相等，请求出点的坐标；若不相等，请说明理由；在的条件下，判断与的数量关系，并直接写出结论【答案】（1），；（2）为直角三角形，见解析；（3）相等，；【分析】（1）抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4=a（x2+2x+1）+4，即可求抛物线的解析式，再根据A、E、C的坐标得出直线AE与AC的解析式；（2）再根据A、E、C的坐标得出AC2=18，CE2=2，AE2=20，即可求解；（3）设出点D
26、、G、H的坐标，求出：DG=-x2-2x+3-2x-6=-x2-4x-3；HK=x+3；GH=2x+6-x-3=x+3，即可求解；根据点C、G、A、E的坐标得出AE和CG的长即可【详解】解：（1）抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：；将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：；同理可得：直线的表达式为：；（2）点、的坐标分别为：、，则，故，则为直角三角形；（3）设点、的坐标分别为：、，则；当时，解得：或（舍去），故，当时，故、这三条线段相等时，点的坐标为：；，故.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数
27、和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系11（2021江苏扬中九年级月考）已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴于、两点(点在点的侧)，与轴交于点，连接，（1）如图1，求的值；（2）如图2，是轴上一点(不与点、重合)，过点作轴的平行线，交抛物线于点，交直线于点当点在点右侧时，连接AF，当时，求的长当点在运动时，若、中有两条线段相等，此时点的坐标_【答案】（1）；（2）；的坐标为，【分析】（1）由ax2ax3a0，可得A（1，0），B（3，0），OA1，再根据tanACO，可求得C（0，3），即可求出a的值；（2）构造全等三角形，由此ADED，设，建立方程求解；分两种情况讨论，分别建立方程进行求解即可得到答案.【详解】（1）令，即，解得，又，；（2）由（1）得抛物线，BC所在直线，设，轴，为等腰直角三角形，又，而，当，当，即，D（-2，0），综上，的坐标为，【点睛】本题考查了二次函数的综合，求抛物线解析式，运用三角函数解直角三角形及勾股定理，全等三角形性质与判定等，关键要善于利用题目中条件构造直角三角形，运用勾股定理和解直角三角形知识解题
