1、第3讲 带电粒子在复合场中的运动 磁场第十一章1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如图11-3-11所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计.磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直.A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压为U.加速过程中不考虑相对论效应和重力作用.图11-3-11(1)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；(2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；(3)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制.若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值
2、分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm.回旋加速器.(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为r1,速度为v1解得同理，粒子第2次经过狭缝后的半径则2111vqv Bm r112mUrBq214mUrBq212 1rr 2112qUmv(2)设粒子到出口处被加速了n圈t=nT解得(3)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即2122nqUmv2vqvBm R2mTqB22BRtU2qBfm当磁感应强度为Bm时，加速电场的频率应为粒子的动能当fBmfm时，粒子的最大动能由Bm决定解得当fBmfm时，粒子的最大动能由fm决定vm=2fmR解得Ekm=22mfm2R2mm2BqBf
3、m2k12Emv2mmmvqv Bm R222mkm2q BREm点评：正确分析带电粒子在复合场中的受力并判断其运动的性质及轨迹是解题的关键，在分析其受力及描述其轨迹时，要有较强的空间想象能力并善于把空间图形转化为最佳平面视图.当带电粒子在电磁场中做多过程运动时,关键是掌握基本运动的特点和寻找过程的边界条件.如图11-3-12所示，坐标系xOy位于竖直平面内，在该区域内有场强E=12N/C、方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场.一个质量m=410-5kg，电量q=2.510-5C带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原
4、点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点.取g=10m/s2，求：图11-3-12(1)P点到原点O的距离；(2)带电微粒由原点O运动到P点的时间.微粒运动到O点之前受到重力、电场力和洛伦兹力作用，在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零.由此可得FB2=FE2+(mg)2解得：v=10m/s微粒运动到O点之后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其合力为一恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，所以微粒在后一段时间内的运动为类平抛运动，可沿初速度方向和合力方向进行分解.代入数据得：tanEFmg 3tan4 设沿初速度方向的位移为s1，沿合力方向的位移为s2，如
5、图示：因为联立求解，代入数据可得P点到原点O的距离：OP=15mO点到P点运动时间t=1.2s2221121,2cosEFmgssvtst OPm，如图11-3-13,在宽度分别为l1和l2的两个相邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里,电场方向与电、磁场分界线平行向右.一带正电荷的粒子以速率v从磁场区域上边界的P点斜射入磁场,然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场,最后从电场边界上的Q点射出,已知PQ垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到PQ的距离为d.不计重力,求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比.图11-3-13本题考查带电粒子
6、在有界磁场、复合场中的运动.粒子在磁场中做匀速圆周运动（如图）.由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直，圆心O应在分界线上.OP长度即为粒子运动的圆弧的半径R.由几何关系得R2=l12+(R-d)2设粒子的质量和所带正电荷分别为m和q，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得设 P 为 虚 线 与 分 界 线 的 交 点，POP=,则粒子在磁场中的运动时间为式中2vqvBm R1Rtv1sinlR 粒子进入电场后做类平抛运动，其初速度为v，方向垂直于电场.设粒子加速度大小为a,由牛顿第二定律得qE=ma由运动学公式有l2=vt2式中t2是粒子在电场中运动的时间，由式得由式得2212dat22122Eld
7、vBl22111222212arcsin()2tlddltdlld如图11-3-14所示的区域中，左边为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，右边是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于OC且垂直于磁场方向.一个质量为m，电荷量为-q的带电粒子从P点以初速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角=60，粒子恰好从C孔垂直于OC射入匀强电场，最后打在Q点，已知OQ=2OC=2L，不计粒子的重力，求:图11-3-14(1)粒子从P运动到Q所用的时间t；(2)电场强度E的大小；(3)粒子到达Q点的动能EkQ.(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,轨迹为三分之一圆弧.由又
8、，由得带电粒子在磁场中运动的时间2000vmvBqvmrrqB得022rmTvBq233BTmtqB带电粒子在电场中做类平抛运动，OQ=2OC=2L=v0tE,tE是带电粒子在电场中运动的时间粒子由P运动到Q的时间033,22mvLrqB0002 3232EmvLmqBtvvqB2(3)3BEmtttqB(2)粒子在电场中沿电场方向做匀加速直线运动:解得:(3)根据动能定理，粒子到达Q点时的动能EkQ满足:EkQ=mv02212EqEOCLtm03BvE 2012kQqELEmv本题将带电粒子在磁场中做匀速圆周运动和在电场中做类平抛运动的问题有机结合起来，考查学生正确分析运动过程、综合运用知识
9、解决多过程问题的能力.本题中带电粒子先在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场进入电场后做类平抛运动，解决带电粒子在磁场中运动的问题，首先要确定其运动轨迹的圆心、半径和圆心角；解决带电粒子在电场中做类平抛运动的问题，要将其分解为两个方向上的直线运动问题进行研究.如图11-3-15所示，真空中有以O1为圆心，r为半径的圆形匀强磁场区域，坐标原点O为圆形磁场边界上的一点.磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.x=r的线右侧足够大的范围内有方向竖直向下,大小为E的匀强电场.从O点在纸面内向各个不同方向发射速率相同的质子，设质子在磁场中的偏转半径也为r，已知质子的电荷量为e，质量为m.求:图11-3-
10、15(1)质子射入磁场时的速度大小；(2)速度方向为y轴正方向射入磁场的质子到达x轴所需的时间；(3)如图所示，速度方向与y轴正方向成30角，与x轴正方向成120角射入磁场的质子到达x轴时的位置坐标.洛伦兹力、电场力、类平抛运动.(1)设质子射入磁场时的速度为v.质子射入磁场后做匀速圆周运动，有evB=mv2/r所以v=eBr/m(2)如图(a)所示，质子沿y轴正方向射入，在磁场中以O2为圆心转过1/4圆弧后从A点垂直于电场方向进入电场.在磁场中的运动周期为T=2m/(eB)所 以 质 子 在 磁 场 中 的 运 动 时 间t1=T/4=m/(2eB)质子进入电场后做类平抛运动，其竖直位移y=at22/2=r质子在电场中的加速度a=eE/m所以质子在电场中的运动时间故质子到达x轴所需的时间22/tmr eE12/22/tttmeBmr eE(3)质子射入磁场后，在磁场中以O3为圆心做匀速圆周运动，从P点射出磁场，如图(b)所示，OO1PO3为边长为r的菱形，PO3平行于y轴，质子射出磁场后速度方向与x轴平行.P点距x轴的距离h=r+rsin30质子垂直于电场方向进入电场做类平抛运动，到达x轴上的Q点.竖直方向的位移h=eEt2/2m水平方向的位移s=vt解得:所以Q点的坐标为3/sBrer mE(3/23/,0)rBrer mE
