1、专题15 反比例函数一、反比例函数的图象及性质【高频考点精讲】1反比例函数（k0，k为常数）的图象是双曲线，两个分支无限接近x轴、y轴，但是与坐标轴没有交点。 2反比例函数的性质（1）增减性当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，y随x的增大而减小。当k0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，y随x的增大而增大。（2）轴对称性当k0时，双曲线的两支关于直线对称。当k0时，双曲线的两支关于直线对称。（3）中心对称性双曲线的两个分支关于原点成中心对称。【热点题型精练】1（2022贺州中考）已知一次函数ykx+b的图象如图所示，则ykx+b与y=bx的图象为（）A B C D解：根据一次函数
2、ykx+b的图象位置，可判断k0、b0所以k0再根据一次函数和反比例函数的图像和性质，答案：A2（2022襄阳中考）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数ybx+c和反比例函数y=ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D解：二次函数图象开口方向向下，a0，对称轴为直线x=b2a0，b0，与y轴的负半轴相交，c0，ybx+c的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=ax图象在第二四象限，只有D选项图象符合答案：D3（2022上海中考）已知反比例函数y=kx（k0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A（2，3）B（2，3）C（3
3、，0）D（3，0）解：因为反比例函数y=kx（k0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k0，A2360，故本选项不符合题意；B2360，故本选项符合题意；C300，故本选项不符合题意；D300，故本选项不符合题意；答案：B4（2022荆门中考）如图，点A，C为函数y=kx（x0）图象上的两点，过A，C分别作ABx轴，CDx轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点当AEC的面积为34时，k的值为（）A1B2C3D4解：点E为OC的中点，AEO的面积AEC的面积=34，点A，C为函数y=kx（x0）图象上的两点，SABOSCDO，S四边形CD
4、BESAEO=34，EBCD，OEBOCD，SOEBSOCD=（12）2，SOCD1，则12xy1，kxy2答案：B5（2022成都中考）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=k2x的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k2解：反比例函数y=k2x的图象位于第二、四象限，k20，解得k2，答案：k26（2022济宁中考）如图，A是双曲线y=8x（x0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则ABD的面积是 4解：点C是OA的中点，SACDSOCD，SACBSOCB，SACD+SACBSOCD+SOCB，SABDSOBD，点B在双曲线y=8x（x0）上
5、，BDy轴，SOBD=128=4，SABD4，答案：4二、反比例函数图象上点的坐标特征及系数k的几何意义【高频考点精讲】1图象上点的坐标特征（1）图象上的点（x，y）的横、纵坐标之积是定值k，即。（2）双曲线的两个分支关于原点对称，两个分支上的点也关于原点对称。2比例系数k的几何意义（1）在反比例函数图象上任取一点，过此点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是。（2）在反比例函数图象上任取一点，过此点向坐标轴作垂线，此点和垂足以及坐标原点构成的三角形面积是。 【热点题型精练】7（2022贵阳中考）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y=kx（k0）
6、的图象上根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y=kx的图象上的点是（）A点PB点QC点MD点N解：如图，反比例函数y=kx的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数k，即xyk，通过观察发现，点P、Q、N可能在图象上，点M不在图象上，答案：C8（2022长春中考）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx（k0，x0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQy轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60得到线段QM若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（）A32B3C23D4解：作MNx轴于N，P在反比例函数y=kx（k0，x0）的图象上，其纵坐标为2，
7、过点P作PQy轴，交x轴于点Q，P（k2，2），PQ2，将线段QP绕点Q顺时针旋转60得到线段QMQMQP2，PQM60，MQN906030，MN=12QM1，QN=2212=3，M（k2+3，1），点M也在该反比例函数的图象上，k=k2+3，解得k23，答案：C9（2022日照中考）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x0）的图象交于点B，连接OM，ON若四边形OMBN的面积为3，则k1k2（）A3B3C32D32解：y1、y2的图象均在第一象限，k10，k20，点M、N均在反比例函数y1=k1x（k
8、1是非零常数，x0）的图象上，SOAMSOCN=12k1，矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x0）的图象上，S矩形OABCk2，S四边形OMBNS矩形OABCSOAMSOCN3，k2k13，k1k23，答案：B10（2022宿迁中考）如图，点A在反比例函数y=2x（x0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中OAB90，AOAB，则线段OB长的最小值是（）A1B2C22D4解：三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，2a），OA=a2+4a2，(a2a)20，即：a2+4a240，a2+4a24，(a2a)20，两边同时开
9、平方得：a2a=0，当a=2a时，OA有最小值，解得a1=2，a2=2（舍去），A点坐标为（2，2），OA2，三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，OB=2OA22答案：C11（2022郴州中考）如图，在函数y=2x（x0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y=8x（x0）的图象于点B，连接OA，OB，则AOB的面积是（）A3B5C6D10解：点A在函数y=2x（x0）的图象上，SAOC=1221，又点B在反比例函数y=8x（x0）的图象上，SBOC=1284，SAOBSAOC+SBOC1+45，答案：B12（2022深圳中考）如图，已知直角三角形ABO中，AO1，将ABO绕O点
10、旋转至ABO的位置，且A在OB中点，B在反比例函数y=kx上，则k的值 3解：连接AA，作BEx轴于点E，由题意知OAOA，A是OB中点，AOBAOB，OBOB，AA=12OBOA，AOA是等边三角形，AOB60，OB2OA2，BOE60，OB2，OE=12OB1，BE=3OE=3，B（1，3），B在反比例函数y=kx上，k13=3答案：313（2022威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）若反比例函数y=kx（k0）的图象经过点C，则k的值为 24解：作CEOB于E，四边形ABCD是正方形，ABC90，ABBC，OBA+CBE
11、90，OBA+OAB90，OABCBE，AOBCEB，AOBBEC（AAS），OABE，OBCE，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）OA2，OB4，BE2，CE4，C（4，6），反比例函数y=kx（k0）的图象经过点C，k4624，答案：2414（2022株洲中考）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6若反比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为 3解：设BC交x轴于E，如图：x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则OEm，CE
12、n，矩形DOEC面积是3，mn3，C在反比例函数y=kx的图象上，n=km，即kmn，k3，答案：315（2022包头中考）如图，反比例函数y=kx（k0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点若ADBCABDO，连接CD，记ADC，DOC的面积分别为S1，S2，则S1S2的值为 4解：反比例函数y=kx（k0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，163b，b2，B（3，2），设直线AB的解析式为ymx+n，m+n=63m+n=2，解得：m=2n=8，y2x+8，令y0，2x+80，解得：x4，C（4，0），AB=(13
13、)2+(62)2=25，BC=(34)2+(20)2=5，ADBCABDO，AD5=25DO，AD2DO，S12S2，S1S2S2，S1+S2SAOC，S1S2S2=13SAOC=1312464答案：416（2022烟台中考）如图，A，B是双曲线y=kx（x0）上的两点，连接OA，OB过点A作ACx轴于点C，交OB于点D若D为AC的中点，AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 6解：因为D为AC的中点，AOD的面积为3，所以AOC的面积为6，所以k122m解得：m6答案：617（2022玉林中考）如图，点A在双曲线y=kx（k0，x0）上，点B在直线l：ymx2b（m0，b0）上
14、，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：A（b，3b）；当b2时，k43；m=33；S四边形AOCB2b2则所有正确结论的序号是 解：如图，ymx2b中，当x0时，y2b，C（0，2b），OC2b，四边形AOCB是菱形，ABOCOA2b，A与B关于x轴对称，ABOD，ADBDb，OD=(2b)2b2=3b，A（3b，b）；故不正确；当b2时，点A的坐标为（23，2），k23243，故正确；A（3b，b），A与B关于x轴对称，B（3b，b），点B在直线ymx2b上，3bm2bb，m=33，故正确；菱形AOCB的面积ABOD2b3b23b2，故不正确；所以
15、本题结论正确的有：；答案：18（2022金华中考）如图，点A在第一象限内，ABx轴于点B，反比例函数y=kx（k0，x0）的图象分别交AO，AB于点C，D已知点C的坐标为（2，2），BD1（1）求k的值及点D的坐标（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围解：（1）点C（2，2）在反比例函数y=kx（k0，x0）的图象上，2=k2，解得k4，BD1点D的纵坐标为1，点D在反比例函数y=4x（k0，x0）的图象上，1=4x，解得x4，即点D的坐标为（4，1）；（2）点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在ABO的内部（
16、包括边界），点P的横坐标x的取值范围是2x4三、反比例函数与一次函数的交点问题【高频考点精讲】1反比例函数与一次函数交点坐标的求解方法把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交点。2反比例函数与一次函数在同一直角坐标系中交点个数的判断方法（1）当k1与k2同号时，两个函数在同一直角坐标系中有2个交点。（2）当k1与k2异号时，两个函数在同一直角坐标系中可能有0、1或2个交点。【热点题型精练】19（2022东营中考）如图，一次函数y1k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为1，则不等式k1x+bk2x的
17、解集是（）A1x0或x2Bx1或0x2Cx1或x2D1x2解：观察函数图象可知，当1x0或x2时，一次函数y1k1x+b的图象在反比例函数y2=k2x的图象的下方，不等式k1x+bk2x的解集为：1x0或x2，答案：A20（2022无锡中考）一次函数ymx+n的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（1m，2m）、B（m，1），则OAB的面积是（）A3B134C72D154解：点A（1m，2m）在反比例函数y=mx上，2m=m1m，解得：m2，点A的坐标为：（12，4），点B的坐标为（2，1），SOAB=12525121241221121=154，答案：D21（20
18、22怀化中考）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y=a1x（a1）的图象于A、B两点，过点B作BDy轴，垂足为点D，若SBCD5，则a的值为（）A8B9C10D11解：设点B的坐标为（m，a1m），SBCD5，且a1，12ma1m=5，解得：a11，答案：D22（2022随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点C，若ABBC，则k的值为 2解：过点C作CHx轴于点H直线yx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，A（1，0），B（0，1），OAOB1，OBCH，AOOH=ABCB=1，OAOH1，CH2OB2，C（
19、1，2），点C在y=kx的图象上，k2，答案：223（2022内江中考）如图，已知一次函数ykx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y=2x的图象在第一象限交于点Q（m，n）若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 23m2解：过点P作PAx轴，交双曲线于点A，过点P作PBy轴，交双曲线于点B，如图，P（2，3），反比例函数y=2x，A（23，3），B（2，1）一次函数y的值随x值的增大而增大，点Q（m，n）在A，B之间，23m2答案：23m224（2022巴中中考）将双曲线y=1x向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线yki（x2）1（ki0，i1，2，
20、3，1011）相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为 4044解：直线yki（x2）1（ki0，i1，2，3，1011）可由直线ykix（ki0，i1，2，3，1011）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，直线ykix（ki0，i1，2，3，1011）到直线yki（x2）1（ki0，i1，2，3，1011）的平移方式与双曲线y=1x双曲线的相同，新双曲线与直线yki（x2）1（ki0，i1，2，3，1011）的交点也可以由双曲线y=1x与直线ykix（ki0，i1，2，3，1011）的交点以同样的方式平移得到，设双曲线y=1x与直线ykix（ki0，i1，2，3，1011）的
21、交点的横坐标为xi，xi，（i1，2，3，1011），则新双曲线与直线yki（x2）1（ki0，i1，2，3，1011）的交点的横坐标为xi+2，xi+2（i1，2，3，1011），根据双曲线y=1x与直线ykix（ki0，i1，2，3，1011）图像都关于原点对称，可知双曲线y=1x与直线ykix（ki0，i1，2，3，1011）的交点也关于原点对称，xi+xi0，（i1，2，3，1011），（xi+2）+（xi+2）4（i1，2，3，1011），即新双曲线与直线yki（x2）1（ki0，i1，2，3，1011）的交点的横坐标之和都是4，这2022个点的横坐标之和为：410114044答案：
22、404425（2022绵阳中考）如图，一次函数yk1x+b与反比例函数y=k2x在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和PMN面积的最小值解：（1）反比例函数y=k2x过点M（2，8），k22816，反比例函数的解析式为y=16x，设N（m，16m），M（2，8），SOMB=1228=8，四边形OANM的面积为38，四边形ABMN的面积为30，12（8+16m）（m2）30，解得m1
23、8，m2=12（舍去），N（8，2），一次函数yk1x+b的图象经过点M、N，2k1+b=88k1+b=2，解得k1=1b=10，一次函数的解析式为yx+10；（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y=16x有唯一公共点P时，PMN的面积最小，设与直线MN平行的直线的关系式为yx+n，当与y=16x在第三象限有唯一公共点时，有方程x+n=16x（x0）唯一解，即x2nx+160有两个相等的实数根，n241160，解得n8或x8（舍去），与直线MN平行的直线的关系式为yx8，方程x8=16x的解为x4，经检验，x4是原方程的解，当x4时，y=164=4，点P（4，4），如图，过点P作AN
24、的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，PD4，DQ8，CD2，MC8+412，NQ2+46，SPMNSMPC+S梯形MCQNSPNQ=12612+12（12+6）61212636+543654，答：点P（4，4），PMN面积的最小值为5426（2022乐山中考）如图，已知直线l：yx+4与反比例函数y=kx（x0）的图象交于点A（1，n），直线l经过点A，且与l关于直线x1对称（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积解：（1）点A（1，n）在直线l：yx+4上，n1+43，A（1，3），点A在反比例函数y=kx（x0）的图象上，k3，反比例函
25、数的解析式为y=3x；（2）易知直线l：yx+4与x、y轴的交点分别为B（4，0），C（0，4），直线l经过点A，且与l关于直线x1对称，直线l与x轴的交点为E（2，0），设l：ykx+b，则3=k+b0=2k+b，解得：k=1b=2，l：yx+2，l与y轴的交点为D（0，2），阴影部分的面积BOC的面积ACD的面积=124412217四、反比例函数的应用【高频考点精讲】1利用反比例函数解决实际问题（1）把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型。（2）注意自变量和函数值的实际意义。2跨学科的反比例函数应用题熟练掌握物理或化学中的一些具有反比例函数关系的公式。3反比例函数中的图表信息
26、题正确认识图象，找到关键点，运用数形结合。【热点题型精练】27（2022丽水中考）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A设选用灯泡的电阻为R（），下列说法正确的是（）AR至少2000BR至多2000CR至少24.2DR至多24.2解：电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（）成反比例，I=UR已知电灯电路两端的电压U为220V，I=220R通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，220R0.11，R2000答案：A28（2021自贡中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例
27、函数关系，它的图象如图所示下列说法正确的是（）A函数解析式为I=13RB蓄电池的电压是18VC当I10A时，R3.6D当R6时，I4A解：设I=kR，图象过（4，9），k36，I=36R，蓄电池的电压是36VA，B均错误；当I10时，R3.6，由图象知：当I10A时，R3.6，C正确，符合题意；当R6时，I6，D错误，答案：C29（2022山西中考）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示当S0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 400Pa解：设p=kS，函数图象经过（0.1，1000），k100，p=100S，当S0.25m2时，物体所受的压强p=1000.25=400（Pa），答案：40030（2022广州中考）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16d25，求储存室的底面积S的取值范围解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式得500=V20，V10000（2）由（1）得S=10000d，S随d的增大而减小，当16d25时，400S625，
