1、专题14.7 全等三角形章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】1【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】2【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】4【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】5【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】8【题型6 全等三角形的动态问题】10【题型7 全等三角形与坐标系的综合运用】12【题型8 全等三角形中的多结论问题】14【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】【例1】（2023春北京朝阳八年级统考期末）如图，RtABC中，ACB=90，B=30，D，E为AB边上的两个动点，且AD=BE，连接CD，CE，
2、若AC=2，则CD+CE的最小值为 【变式1-1】（2023春八年级课时练习）如图，在RtABC中，A=90，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CGAB，交HM的延长线于点G，若AC=8，AB=6，则四边形ACGH周长的最小值是 【变式1-2】（2023春江苏盐城八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，A=90，AD=3，连接BD，BDCD，BD平分ABC若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 【变式1-3】（2023春八年级课时练习）如图，在直角ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分BAC，N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合
3、），则CM+MN的最小值为 【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】【例2】（2023春河南郑州七年级统考期末）回答问题（1）【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论是 ；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,B+D=180，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
4、（3）【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180,AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出EAF与DAB的数量关系【变式2-1】（2023春上海七年级期末）已知：等边ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BDCEa（0a3），将直线DE绕点E顺时针旋转60，得到直线EF交直线AC于点F(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF3的理由(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由(3)当点D在线段AB延长线上时，线
5、段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系【变式2-2】（2023春陕西西安八年级西安益新中学校考阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线l经过点A，BD直线l，CE直线l，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证
6、明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点【变式2-3】（2023春上海静安八年级校考期中）如图，在ABC中，BAC=10.5，AD是BAC的平分线，过点A作DA的垂线交BC延长线于点M，若BM=BA+AC，则ABC的度数是 【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】【例3】（2023春广东深圳八年级校考阶段练习）如图，ABC中，BC=10，AC-AB=5，AD是BAC的角平分线，CDAD，则SBDC的最大值为 【
7、变式3-1】（2023春黑龙江哈尔滨八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，BAC=ADC=90，AB=AC，若AD=5，则ABD的面积等于 【变式3-2】（2023春江苏南京八年级南京市科利华中学校考期中）如图，RtABC中，C=90，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3=12，则S4= 【变式3-3】（2023春江苏盐城八年级景山中学校考期末）已知：ABC中，ACB=90，AC=CB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AEAD，且AE=AD连接BE交直线AC
8、于M，若2AC=7CM，则SADBSAEM的值为 【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】【例4】（2023春全国八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF若BAF的平分线AH交直线l于点H，ABC=70，则AHB的度数为 【变式4-1】（2023全国八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等
9、”的两个三角形却不一定全等下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”探究：已知ABC，求作一个DEF，使EF=BC，F=C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：画EF=BC；在线段EF的上方画F=C；画DE=AB；顺次连接相应顶点得所求三角形(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有_个；其中三角形_（填三角形的名称）与ABC明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：_【变式4-2】（2023春山西八年级统考阶段练习）综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三
10、角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系如图，已知点D在ABC的边BC的延长线上，过点D作BDM=B且DM/AB，在DM上截取DE=AB，再作DEF=A交线段BC于点F实践操作（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；探究发现（2）勤奋小组在作出图形后，发现AC/EF，AC=EF，请说明理由；探究应用（3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得DF=5，CF=1，求线段BD的长【变式4-3】（2023春北京八年级校考期中）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆
11、规和直尺，来解决平面几何作图问题【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画，不能实现的 画（1）过一点作一条直线()（2）过两点作一条直线()（3）画一条长为3的线段()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆()【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程已知：A
12、OB求作：AOB使AOB=AOB作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，_；（4）过点D画射线OB，则AOB=AOB说理：由作法得已知：OC=OC,OD=OD,CD=CD求证：AOB=AOB证明：OC=OCOD=ODCD=CDOCDOCD()所以AOB=AOB()【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线已知：直线l与直线外一点A求作：过点A的直线l，使得l/l【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设
13、计示意图假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】【例5】（2023春广东广州八年级统考期中）RtABC中，ABC90，ABBC，过点A作AEAB连接BE，CE，M为平面内一动点(1)如图1，若BC4，则SEBC (2)如图2，点M在BE上，且CMBE于M，过点A作AFBE于F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H求证：MFMH；(3)如图3，连接BM，EM，过点B作BMBM于点B，且满足BMBM，连接AM，MM，过点B作BGCE于点G，若SABC18，EM3，BG4，求线段AM
14、的长度的取值范围【变式5-1】（2023春四川乐山八年级统考期末）如图，在ABC中，BC=12，AD平分BAC，点E为AC中点，AD与BE相交于点F(1)若ABC=40，C=80，求ADB的度数；(2)如图1，若AB=10，求线段BE的长的取值范围；(3)如图2，过点B作BHAD交AD延长线于点H，设BFH，AEF的面积分别为S1，S2，若AB-AC=4，试求S1-S2的最大值【变式5-2】（2023春广东深圳八年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分AOB，P
15、为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF求证：PE=PF；(3)如图3，在ABC中，ABAC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB-PCBD-CD【变式5-3】（2023春湖南长沙八年级统考期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:延长AD到Q使得DQ=AD；再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在ABQ中；利用三角形的三边关系可得4AQ10，则AD的取值范围是_感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线
16、，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，AD是ABC的中线，AB=AE，AC=AF，BAE=FAC=90，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明【题型6 全等三角形的动态问题】【例6】（2023春江苏苏州八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8点P从A点出发沿ACB路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿BCA路径向终点运动，终点为A点点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过
17、P和Q作PEl于E、作QFl于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等【变式6-1】（2023春八年级课时练习）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 () 秒时，DEB与BCA全等（注：点E与A不重合）（）A4B4、8C4、8、12D4、12、16【变式6-2】（2023春安徽合肥八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在RtABC中，C=90，BC=9 cm，AC=12 cm，A
18、B=15 cm，现有一动点P，从点A出发沿着三角形的边ACCBBA运动回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts（1）如上图，当t= 时，APB的面积等于ABC面积的一半；（2）如图，在DEF中，E=90，DE=4 cm，DF=5 cm，D=A在ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边ABBCCA运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ与DEF全等，则点Q的运动速度是 cm/s【变式6-3】（2023春江苏苏州八年级苏州市立达中学校校考期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=BC=16，BD=24，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向
19、点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒6个单位的速度，沿CBC做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒DEG与BFG全等，t= 【题型7 全等三角形与坐标系的综合运用】【例7】（2023春八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B分别为x轴和y轴上一点，且OA=OB，过点B作BEAC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD，若点C在第一象限，点C的坐标为2,1.5，连接CD，AC与OD交于点F，则点D的坐标为 【变式7-1】（2023春湖北黄冈八年级校考阶段练习）如图所示，在平面直角
20、坐标系中，P(4,4)，(1)点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且PA=PB，求证：PAPB：求OA+OB的值；(2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且PA=PB，求OA-OB的值；点A的坐标为(10,0)，求点B的坐标【变式7-2】（2023春江苏盐城八年级统考期末）已知：如图1，OA=2，OB=4，以A点为直角顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC(1)求C点的坐标：(2)如图2，OA=2，P为y轴负半轴上一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰RtAPD，过D作DEx轴于E点，求OP-DE的值：(3)如图3，点F坐标为-3,-3，点G0,m在y轴负半轴，点Hn,0在
21、x轴的正半轴上，且FHFG，求m+n的值【变式7-3】（2023春辽宁大连八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(0，m)、点B(n,0)分别在y轴、x轴的正半轴上，若m、n满足m-n2+n-42=0(1)填空：m= ，n= ；(2)如图，点P是第一象限内一点，连接AP、OP，使APO=45过点B作BCOP于点D，交y轴于点C，证明：DP=DB(3)若在线段OA上有一点M（0，t），连接BM，将BM绕点B逆时针旋转90得到BN，连接AN交x轴于点E，请直接写出点E的坐标（用含有t的代数式表示）【题型8 全等三角形中的多结论问题】【例8】（2023春四川巴中八年级统考期末）如图，在ABC
22、和ADE中，AB=AC，AD=AE，ADAB，BAC=DAE=49，连接CE，BD，延长BD交CE于点F，连接AF下列结论：BD=CE；AD=BD；BFC=49；AF平分BFE其中正确的结论个数有（）个A4B3C2D1【变式8-1】（2023春全国八年级期中）如图，ABC中，BAC=60，ABC60，三条角平分线AD、BE、CF交于O，OHBC于H下列结论：BOC=120；DOH=OCB-OBC；OD平分BOC；BF+CE=BC其中正确的结论个数有（）A1个B2个C3个D4个【变式8-2】（2023春湖北武汉八年级校联考期中）如图，在直角三角形ABC中，ACB=90，ABC的角平分线AD、BE相交于点O，过点O作OFAD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：BOD=45；AD=OE+OF；若BD=3，AG=8，则AB=11；SACD:SABD=CD:BD其中正确的结论是 （只填写序号）【变式8-3】（2023春湖南衡阳八年级统考期末）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，BAF=CAG=90，AB=AF，AC=AG连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF则下列结论：BG=CF；BGCF；EF=EG；BC=2AE；SABC=SFAG，其中正确的有（）ABCD
